2.2.1. Bài dạy 1:
Hệ thức lƣợng trong tam giác – Định lý hàm số Cosin – Định lý hàm số Sin 1. Mục tiêu
1.1. Kiến thức
Qua bài học này học sinh biết được các kiến thức về: - Định lý Cosin, định lý Sin trong tam giác và các hệ quả.
Học sinh vận dụng được các công thức trên để giải các bài toán chứng minh và tính toán có liên quan trong tam giác.
1.2. Kỹ năng
Vận dụng thành thạo định lý Cosin và định lý Sin để tính các góc, các cạnh chưa biết của tam giác khi đã biết ba cạnh hoặc hai cạnh và góc xen giữa, hoặc một cạnh và hai góc kề.
1.3. Thái độ
- Liên hệ với nhiều vấn đề có trong thực tế, nhất là trong đo đạc. - Có nhiều sáng tạo trong hình học.
- Nhận thức tốt hơn trong tư duy hình học.
62
Bài toán 1
Hai tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí với vận tốc , theo hai hướng hợp với nhau một góc (như hình vẽ). Hỏi sau một giờ hai tàu cách nhau bao xa?
63
3. Thực hiện mô hình hóa bài toán thực tiễn ở trên
- Sau một giờ thì hai thuyền ở vị trí B và C (như hình vẽ) cách vị trí A lần lượt là đoạn AB=30km và AC=50km. Góc tạo vị trí giữa hai tàu và điểm xuất phát chính là .
- Bài toán đặt ra: Cho tam giác ABC với các đoạn AB=30km, AC=50km và góc . Tính độ dài đoạn BC?
4. Xây dựng chiến lƣợc giải bài toán thực tiễn
Vận dụng các kiến thức đã được học về véctơ, tổng hiệu của véctơ, tích vô hướng của hai véctơ có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C
5. Giải quyết bài toán và chuyển về lời giải của bài toán thực tiễn
2 2 2 2 2 2 2 . 2 30 50 2.30.50. 1278, 67( ) 2 35, 76 BC AC AB BC AB AC AB AC BC Km BC km
Vậy khoảng cách giữa hai tàu thủy khi đó là 35, 76km
6. Đánh giá bài học
Từ bài toán trên ta thấy trong một tam giác, giữa các cạnh và góc có mối quan hệ lẫn nhau và khi biết hai cạnh và góc xen giữa ta sẽ tính được cạnh còn lại đó chính là định lý cosin.
Định lý Cosin trong tam giác
64
Bài toán 2
Người ta muốn đo các khoảng cách BC và AC để lên kế hoạch xây dựng một cây cầu, nhưng vì thiếu thốn kinh phí nên họ chỉ có thể đo được các
số liệu như sau: Độ dài .
Liệu người ta có hoàn thành được yêu cầu không? Và các giá trị khoảng cách BC và AC là khoảng bao nhiêu?
3. Thực hiện mô hình hóa bài toán thực tiễn ở trên
Cho tam giác ABC biết (như hình vẽ).
Tính độ dài các cạnh BC và AC?
4. Xây dựng chiến lƣợc giải bài toán thực tiễn
Giải pháp 1: Dùng công thức trong bài định lý Cosin:
Dùng các công thức trên tính toán rất phức tạp dẫn đến sai số lớn, không phù hợp với thực tế tính toán.
Giải pháp 2: Thiết lập một công thức khác phù hợp với bài toán mà lại đơn giản và ít có sai số khi thực hiện các phép toán.
65
Nhiệm vụ đặt ra trong giải pháp này là phải tìm mối liên hệ (hay công thức) giữa các cạnh và góc trong một tam giác bất kỳ và công thức này khả thi hơn công thức của định lý Cosin (ít sai số hơn và đơn giản hơn). Cụ thể là ta sẽ tìm ra mối liên hệ giữa các cạnh và hàm Sin của các góc trong tam giác.
Dựa vào phầm mềm Geometer‟s Sketchpad ta phát hiện ra các tỷ số giữa cạnh và sin góc đối diện với cạnh đó đều bằng nhau và bằng hai lần bán kính.
Phát biểu định lý hàm số Sin:
Trong tam giác ABC bất kỳ, với ký hiệu các cạnh và các góc như hình vẽ, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta luôn có:
66
5. Giải quyết bài toán và chuyển về lời giải của bài toán thực tiễn
Ta có góc ở đỉnh C:
Áp dụng định lý hàm số sin:
Vậy khoảng cách giữa hai điểm người ta định xây cầu là: ;
6. Đánh giá bài học
Vận dụng hai định lý hàm số cosin và sin một cách hợp lý trong từng bài toán cụ thể.
Vận dụng định lý hàm số cosin và sin trong các bài toán ứng dụng thực tế về đo khoảng cách giữa hai điểm, chiều cao cây, tháp,..
2.3. Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán thực trong môn Đại số
2.3.1.Bài dạy 2.3.1
Hàm số bậc nhất 1. Mục tiêu
1.1. Kiến thức
Qua bài học này giúp học sinh nắm được
- Tái hiện và củng cố vững các tính chất và độ thị của hàm số bâc nhất (đặc biệt là khái niệm về hệ số góc và điều kiện để hai đường thẳng song song).
- Hiểu cấu tạo và cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất trên từng khoảng mà hàm số dạng là một trường hợp riêng.
1.2. Kỹ năng
67
Biết vận dụng các tính chất của hàm số bậc nhất để khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của các hàm số bậc nhất trên từng khoảng, đặc biện là đối với các hàm số dạng
1.3. Thái độ
Thông qua khái niệm hàm số mà học sinh liên hệ được mối quan hệ giữa hàm số và một vài vấn đề của cuộc sống thực tiễn như lãi suất ngân hàng, mức tăng trưởng kinh tế.
Hiểu và liện hệ được một số thông tin hàng ngày với hàm số: tăng giảm tai nạn giao thông, lượng tiêu thụ hàng hóa, giá cả tăng giảm... và phần biện chính xác thông tin trên.
2. Thiết kế bài toán thực tiễn:
Bài toán thiết kế phí thuê xe: Một nhóm học sinh đi tham quan dã ngoại từ Hà Nội đến rừng Cúc Phương (Ninh Bình) với quãng đường là 250km và nhóm học sinh cần phải lựa chọn các loại hình thuê xe nào với chi phí rẻ hơn với các bảng giá thuê sử dụng xe như sau:
BẢNG CHI PHÍ THUÊ CÁC LOẠI XE
Đơn vị tính: 1000 VNĐ
3. Thực hiện mô hình hóa bài toán thực tiễn:
Tính được giá thành thuê mỗi loại xe để xem chi phí thuê loại xe nào là rẻ hơn?
Xe Kia Morning Xe Kia Forte
Giá thuê xe 100 60
Số km miễn phí. 0 100
Phí áp dụng cho km sau
miễn phí 0,2 0,5
68
Thuê xe Kia Morning
Giá đặt thuê một chiếc xe Kia Morning là : 100 (nghìn đồng). Số km miễn phí là : 0 (km).
Phí áp dụng cho từng km sau miễn phí là : 0,2 (nghìn đồng/km). Quãng đường di chuyển là : 250 (km).
Tính chi phí T cần phải trả nếu thuê để đi 250 (km) ?
Thuê xe Kia Forte
Giá đặt thuê một chiếc xe Kia Forte là : 60 (nghìn đồng). Số km miễn phí là : 100 (km).
Phí áp dụng cho từng km sau miễn phí là : 0,5 (nghìn đồng/km). Quãng đường di chuyển là : 250 (km).
Tính chi phí T cần phải trả nếu thuê để đi 250 (km) ?
4. Xây dựng chiến lƣợc giải bài toán thực tiễn
Đối với bài toán này chúng ta có thể giải bằng cách tính giá thành thuê từng loại xe để so sánh hoặc chúng ta sử dụng đồ thị để thấy rõ hơn chi phí thuê từng loại xe trên mỗi quãng đường đi.
5. Giải quyết bài toán và chuyển về lời giải của bài toán thực tiễn
Cách giải thứ nhất ta cần tính giá tiền cụ thể chi phí của từng loại xe: Chi phí cần để thuê xe Kia Morning là:
(nghìn đồng) Chi phí cần để thuê xe Kia Morning là:
(nghìn đồng)
Cách giải thứ hai vẽ biểu đồ và hướng dẫn học sinh sử dụng phần mềm Excel để tính và vẽ Biểu đồ chi phí thuê xe:
Lập phương trình chi phí thuê xe cho xe Kia Morning:
Lập phương trình chi phí thuê xe cho xe Kia Forte Đối với quãng đường dưới 100km thì:
69
Đối với quãng đường trên 100km thì:
Từ đó ta lập và vẽ được biểu đồ:
Qua hai cách giải trên cho ta thấy được đối với đi quãng đường là 250km thì thuê xe Kia Morning rẻ hơn thuê xe Kia Forte. Những khi nhìn vào biểu đồ hình vẽ ở trên cho chúng ta thấy khi di chuyển với quãng đường dưới 220km thì ta nên thuê xe Kia Forte thì chi phí rẻ hơn so với xe Kia Morning.
6. Đánh giá bài học
a) Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát về chi phí thuê xe
Tổng quát hoá bài toán
Xe Kia Morning Xe Kia Forte
Giá thuê xe 100 60
Số km miễn phí. 0 100
Phí áp dụng cho km sau miễn phí 0.2 0.7
Quãng đường di chuyển 250 250
Tổng giá trị 150 165
70
Giá đặt thuê một chiếc xe X là : a (nghìn đồng) Số km miễn phí là : b (km)
Phí áp dụng cho từng km sau miễn phí là : c (nghìn đồng). Quãng đường di chuyển là : s (km)
Tính chi phí T cần phải trả nếu thuê để đi s (km).
T = (s – b)*c + a
b) Vẽ biểu đồ
Đối với việc phải lựa chọn chi phí của nhiều loại xe ta sẽ lập biểu đồ xe nhìn thấy ngay được đi trong khoảng quãng đường nào thì chi phí thuê xe rẻ hơn. Đây cũng là ứng dụng về vẽ đồ thị hàm số bậc nhất.
c) Sử dụng phần mềm Excel
Sử dụng phần mềm Excel hỗ trợ đắc lực trong việc tính toán và vẽ đồ thị.
2.3.2. Luyện tập: Phương trình bậc nhất và phương trình bậc 2 một ẩn
1. Mục tiêu:
a. Kiến thức
Giúp HS:
Củng cố các kiến thức đã học trong bài 2 về phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai, hệ phương trình. Định lý Pitago trong tam giác vuông.
b. Kỹ năng
Rèn luyện các kỹ năng: giải phương trình, hệ phương trình chứa căn.
Ôn tập thành thạo cách giải phương trình.
2. Giáo viên thiết kế bài toán thực tiễn tƣơng ứng
b S - b
71
Bài 2.3.2.1. Chim di cư. Một nhà khoa học chuyên nghiên cứu về các loài
chim đã phát hiện ra rằng một số loài thường tránh bay xuyên qua một vùng nước rộng lớn vì không khí thường bay từ đất liền ra vùng nước rộng vào ban ngày nên khi bay sẽ tốn nhiều sức hơn. Một con chim ở vị trí điểm A trên 1 hòn đảo cách điểm B trên đất liền 5 dặm (điểm gần nhất từ đất liền tới hòn đảo). Con chim bay tới điểm C trên bờ biển vào sau đó bay dọc từ bờ biển tới chỗ làm tổ ở D như chỉ ra ở hình phía dưới. Nó sử dụng 10 kcal/ dặm để bay trên bờ biển vào 14 kcal/ dặm để bay trên mặt biển. Hỏi:
a) Giả sử con chim bay 10 dặm trên biển, tính lượng kcal mà con chim đó phải sử dụng đến chỗ làm tổ?
b) Giải sử con chim có 170kcal năng lượng dự trữ. Con chim có đủ năng lượng dự trữ nếu bay thẳng từ A đến D không?
c) Điểm C ở vị trí nào thì con chim sử dụng vừa hết 170 kcal năng lượng dự trữ?
1 dặm (mile) = 1,609344 km
3. Học sinh thực hiện mô hình hóa bài toán thực tiễn
Mô hình hóa ở đây chính là chuyển tất cả các dữ kiện của bài toán tương ứng với Sơ đồ hình vẽ giống đề bài.
72
Để giải quyết nội dung bài toán thì phải tính được quãng đường chim bay trên biển chính là đoạn AC và quãng đường chim bay trên đất liền chính là đoạn CD.
5. Học sinh giải quyết vấn đề của bài toán thực tiễn:
Lời giải:
a) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABC :
Từ đó ta có:
Số năng lượng con chim cần để bay đến điểm D là:
b)Theo định lý Pytago, khoảng cách AD= dặm. Năng lượng con chim cần
tiêu thụ là: . Do đó con chim sẽ không đủ năng
lượng dự trữ để bay thẳng từ A đến D
c) Đặt Ta có hệ phương trình
Từ đó có , thay vào được phương trình bậc hai
Từ đó kết hợp với điều kiện ta có . Từ đó ta có: Vậy điểm C ở vị trí cách gần B 11,45 dặm.
6. Học sinh giải quyết vấn đề của bài toán thực tiễn
a) Lượng kcal mà con chim đó bay đến chỗ làm tổ
b) Con chim sẽ không đủ năng lượng dự trữ để bay thẳng từ A đến D c) Điểm C ở vị trí cách B 11,45 dặm
7. Giáo viên và học sinh đánh giá bài học
73
Đây là bài toán tổng hợp kết hợp giữa Đại số và Hình học và vận dụng các kiến thức của học sinh lớp 10 sau khi học xong phần giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bài toán này có thể hỏi thêm một câu hỏi khó hơn dành cho học sinh lớp 12 sau khi học xong phần khảo sát hàm số.
d) Tìm vị trí của điểm C trên đất liền sau cho loài chim đó bay từ điểm A đến điểm D qua điểm C sao cho loài chim đó tốn ít lượng kcal nhất ?
2.3.2. Một số bài toán thực tiễn
Nhiều vấn đề trong khoa học, kinh tế, tài chính, y tế và nhiều ngành khác có thể dùng đại số là một trong những công cụ hữu ích để giải. Sau đây là các bài toán, mà tôi dùng phương trình như các mô hình toán học để giải quyết một số các vấn đề thực tế trong cuộc sống.
Trong một số lời giải ở đây: đã gộp một số thao tác quy trình ở trên.
Tiếp theo chúng tôi xin đưa ra một số bài toán tương tự và trong một số bài toán có lời giải ở dưới đây: đã gộp một số thao tác quy trình ở trên.
Bài 2.3.2.1. Một nhà sản xuất nước giải khát quảng cáo “Nước cam hương vị tự nhiên”, mặc dù trong đó chỉ chứa 5% nước cam nguyên chất. Một quy định mới của chính phủ để nước uống gọi là “tự nhiên” thì thức uống đó chứa ít nhất 10% nước ép trái cây. Hỏi nhà máy nước giải khát phải thêm vào bao nhiêu gallon nước cam nguyên chất vào 900 gallon “Nước cam hương vị tự nhiên” để phù hợp với quy định mới của chính phủ?
Lời giải:
74
Bây giờ chúng ta sẽ dịch ra theo ngôn ngữ toán học đại số:
In Words In Algebra
Lƣợng nƣớc cam nguyên chất đƣợc thêm vào Lƣợng nƣớc nƣớc cam nguyên chất trong thùng đầu tiên (hình vẽ)
Lƣợng nƣớc nƣớc cam nguyên chất trong thùng thứ hai (hình vẽ)
Lƣợng nƣớc nƣớc cam nguyên chất trong thùng thứ ba (hỗn hợp) (hình vẽ) + =
Vậy nhà máy cần đổ thêm 50 gallon nước cam nguyên chất để thỏa mãn.
Bài 2.3.2.2.Đánh thuế thu nhập
Thuế là thu lợi ích cho xã hội, nhờ có nguồn thu nhập thuế mà người dân được hưởng nhiều lợi ích: khám chữa bệnh miễn phí; xây cơ sở hạ tầng như bệnh viện, công viên đường xá, cầu cống… Sau đây là mức thuế thu nhập cá nhân trính trên một người trong một năm. Một người có mức lương không lớn hơn 10 000$ / năm sẽ không bị đánh thuế thu nhập cá nhân. Một người có mức lương lớn hơn 10 000$ và không vượt quá 20 000$ sẽ bị đánh thuế thu
Lượng nước cam nguyên chất ở thùng thứ nhất Lượng nước cam nguyên chất ở thùng thứ hai Lượng nước cam nguyên chất ở thùng thứ ba
75
nhập 8% số lương của họ. Trên 20 000$ thì sẽ bị đánh thuế 15% lương và thu thêm 1600$ tiền phúc lợi xã hội.
a) Bạn An kiếm được một tháng 5000$/ năm, bạn Bình kiếm được 12 000$/ năm, bạn Cường kiếm được 25 000$/ năm, hỏi tiền thuế của các bạn đó là bao nhiêu?
b) Lập công thức hàm thuế với là số tiền. Vẽ biểu đồ biểu thị tiền thuế thu nhập cá nhân tương ứng với hàm .
c) Xét mức lương của các bạn sau đây biết tiền thuế của họ: