T 50 ôn tập toán lớp 10

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Câu (2,0 điểm) x2 x 1 x 1   với x ≥ x ≠ x x  x  x 1 x  a  a2 1 2) Cho a2 – 4a +1 = Tính giá trị biểu thức P = a2 1) Rút gọn biểu thức: P  Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x  x   x  x  1 2) Giải bất phương trình: 2x3 – 5x2 + 5x – < Câu (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị lớn biểu thức M  y x 1 x y xy 2) Tìm tất cặp số nguyên (x;y) tho¶ m·n: x  y 4 x 4  xy Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD (AB = a), M điểm cạnh BC Tia Ax vng góc với AM cắt đường thẳng CD K Gọi I trung điểm đoạn thẳng MK Tia AI cắt đường thẳng CD E Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI N Tứ giác MNKE hình ? Chứng minh Chứng minh: AK2 = KC KE Chứng minh điểm M di chuyển cạnh BC tam giác CME ln có chu vi khơng đổi Tia AM cắt đường thẳng CD G Chứng minh 1  không AM AG phụ thuộc vào vị trớ ca im M Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z > Chứng minh: x2 y2 z2 x y z      y2 z2 x2 y z x Hết -Họ tên học sinh: …………………………………… Số báo danh:………… Họ tên giám khảo: ………………………………… Chữ ký: …………… PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Hướng dẫn chấm gồm 03 trang Câu Phần Đáp án P x2 x 1 x 1   x x  x  x 1 x   x2 x 1   x x  x  x 1  x2 x 1   x x  x  x 1  x2 ( x  1)( x  1) x  x 1   ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1)  x   x  1 x  x  x x  ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1)  x ( x  1) x  ( x  1)( x  x  1) x  x  1 x 1   x1  x 1 0,25 x1 Vậy với x ≥ x ≠ 1, P = 0,25 0,25 x x  x 1 Ta thấy a 0, a = = (vơ lý) Nên, từ a2 - 4a + =  a2 + = 4a Biểu điểm 1 4  a  14  a   15 a a a a  a 1 P a   15 a a  a Vậy P = 15 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 ( x  x 1  x  x  1   x  1   x  3 1  x   x  1 0,25 Xét trường hợp: - Trường hợp 1: Nếu x < x – < x – < 0, PTcó dạng: 2 ( loại) x  0 x - x + – x + =  2x =  x = - Trường hợp 2: Nếu  x x –  0, PT có dạng: x - + x - =  2x =  x = 2,5 (loại) Vậy phương trình cho vơ nghiệm 2x – 5x + 5x – <  x  x  x  3x  x  < 0,25 0,25 0,25  x  x  3  x  x    x  <   x  3  x  x  1 < (1) 0,25 1 3     Với giá trị x 2 4  Nên (1)  x  <  x < Vậy x < y x Víi ®iỊu kiƯn x 1, y 4 ta cã: M = x  y 1 x  x x 1 x   x        (Cô Si) Ta cã: 2 x 1 4 y y y Vµ: y    y       y  (Cô Si) y 1 x Suy ra: M = x  y     x = 2, y = Vậy giá trị lớn M Vì x  x   x  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x  y 4 x 4  xy 2  ( x  2)  ( y  x) 8(1)  ( x  2) 8  x   Vì x + số nguyên, nên ta có bảng sau: số nguyên, nên ta có bảng sau: nguyên, nên ta có bảng sau:ng sau: x+2 -2 -1 x -4 -3 -2 -1 (y-x)2 Lo¹i Lo¹i Lo¹i Víi x = -4 (y- x)2 = ta đợc y =-2 y = -6 (TM) Víi x = vµ (y-x)2 = ta đợc y = y= -2 (TM) VËy (x;y) = (-4;-2); (-4;-6) ; (0;2); ( 0; -2) A 0,25 0,25 0,25 0,25 B 0,25 M N I K D E C G + Từ MN // AB // CD MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE 0,25 + Chỉ tam giác AMK vuông cân A để có AE  KM 0,25 + Tứ giác MNKE hình bình hành có hai đường chéo vng góc với 0,25 nên MNKE hình thoi + Từ tính chất hình vng có  ACK = 45 + Chứng minh hai tam giác AKE CKA đồng dạng, suy (ĐPCM.) + Từ hai tam giác ABM ADK ta có MB = DK nên EK = MB + ED + Tam giác AMK vng cân A có MI = IK nên AI trung trực MK ME = EK + Từ ME = MB + ED, suy ME + CM + CE = 2a 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 + Tam giác AMK vuông cân A nên AM = AK; 1 1   (1) 2 = AM AG AK AG 0,25 Tam giác AKG vng A, đường cao AD nên ta có 1 1    (2) 2 AK AG AD a 1   khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Từ (1), (2) suy 2 AM AG a x y z Áp dụng định lý CoSi ta có: y  z  x 3 (1) 0,25 0,25 0,25 Áp dụng định lý Bunhiacopxky ta có: ( x y z x y z x y z x2 y z   )(12+12+12) (   )2 = (   )(   ) (2) y z x y z x y z x y z x Từ (1) (2) suy ra: x2 y z x y z      y2 z2 x2 y z x Dấu "=" xảy x = y = z 0,25 0,25 0,25