Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 cấp huyện huyện thanh oai word

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (6,0 điểm)  x y x  y   x  y  xy     :     xy   xy  xy    Cho P =  a, Rút gọn P P b, Tính giá trị P với x=  c, Tìm giá trị lớn Bài 2: (4,0 im) a) Giải phơng trình 3+x+ 6x - √(3+x)(6−x) =3 b)Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + y2 = xy + x + y Bài 3: (4,0 điểm) a b c x y z   0   1 x y z a b c a) Cho 2 x y z   1 Chứng minh : a b c b) Cho a,b,c cạnh mét tam gi¸c 1 2 Chứng minh rằng: P= a +bc + b + ac + c +ab ¿ a+b+ c abc Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường trịn tâm (O) đường kính CD = 2R Điểm M di động đoạn OC Vẽ đường trịn tâm (O’) đường kính MD Gọi I trung điểm đoạn MC , đường thẳng qua I vng góc với CD cắt (O) E F Đường thẳng ED cắt (O’) P Chứng minh điểm P, M , F thẳng hàng Chứng minh IP tiếp tuyến đường trịn (O’) Tìm vị trí M OC để diện tích tam giác IPO’ lớn Bài 5: (1,0 điểm) Tìm số nguyên x, y ,z thỏa mãn : (x  1 1 ) 3( y  ) 2( z  )  xyz  y z x xyz ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOÁN Câu 1: (6 điểm)  x y x  y   x  y  xy     :     xy    xy  xy   Cho P=  a, Rút gọn P (2 điểm) Điều kiện để P có nghĩa : x 0 ; y 0 ; xy 1 Ta có : (0,5 đ)  x y x y    :   x  y  xy      xy  xy   xy   P=    = =   x  y 1  xy 1  xy  x  y  xy  1  x y x y y x x  xy xy  :  xy  x  y  xy  xy (0,5đ) y  x y  y x x  y  xy  :  xy x  2y x  xy  xy 1  x  y  1 = = (0,5đ) x 1  y  x  1  x 1  y   x (0,5đ) b, Tính giá trị P với x=  (1,5điểm) Ta thấy x=  thoả mãn điều kiện x 0   (0.25đ) 2 Ta có : x=  =   =4-2 =( -1)2 x Thay x vào P = x  , ta có:    31  P=       23  1 23 31      = = 25  12 = c, Tìm giá trị lớn P (2 điểm) Với x 0, ta có:    (0,5đ)  52 5 = 5 52 25 6 5 52     (0,5đ)  1 13 (0,25đ)  x  0 x (0,25đ)  x  0 x+1  x (0,5đ) x 1 x x 1 1 x P 1     ( x+1>0) 0.25đ) (0,25đ)  Vậy giá trị lớn P =1  x  0  x 1   x=1  x  0 0.25đ (0,5đ) C©u 2: (4 điểm) a)(2 điểm) ĐK : -3 ¿ x ¿ Đặt (0,25đ) √ 3+x+ √6−x Suy t2=3+x+6-x+2 =t >0 √(3+x)(6−x) ⇔ t −9 √(3+x)(6−x) = t −9 =3 ⇔ t2-2t-3=0 ⇔ t=-1 (loại) t=3 Ta có pt: t- (0,25đ) (0,25đ) 3+x+ 6−x =3 ⇔ ⇔ x=-3 x=6 t=3 suy b) (2đ) x2 + y2 = xy + x + y  (x - y)2 + (x - 1)2 + (y - 1)2 = Vì x, y Z nên : x+y 0 0 1 1 x-1 -1 -1 0 -1 y-1 1 -1 -1 -1 0 (x;y) √ (0,25đ) √ (0,5đ) -1 -1 -1 -1  x y z x y z 2 xy xz yz x y z         1   1   ab ac bc ⇔ a b c ⇔ a2 b2 c2 Từ a b c x y z 2cxy 2bxz 2ayz      1 abc abc abc ⇔ a2 b2 c2 (1) (1đ) a b c ayz bxz cxy   0   0  ayz+bxz+cxy=0 ⇔ xyz xyz xyz Từ x y z (2) (0,5đ) x2 y z   1 a2 b2 c2 Theo bất đẳng thức COSI: a2+bc 2a bc (0,5đ) ⇔ a +bc ¿ -1 -1 (0;1) (1;2) (2;1) (1;0) (0;0) (2;2) Câu 3:(4đ) a) (2đ) Từ(1) (2) ⇔ b)(2đ) Do a,b,c lµ cạnh tam giác nên a,b,c>0 0,5 0,25 0,25đ 0,25đ 0,25đ (0,25đ) a √ bc (0,5đ) 0, 5đ T¬ng tù: Suy (0,25đ) 1 a +bc + c +ab a +bc + 1 a +bc + c +ab b+c +a+ c+ a+b abc 2b √ ac ; ¿ a +bc + 2 ⇔ b + ac ¿ c √ ab 1 a √ bc + 2b √ ac + c √ ab ¿ (0,5đ) √bc + √ ac + √ ab = c +ab 2abc ¿ ¿ a+b +c 2abc (0,5đ) C©u 4: (5đ) a)Vẽ hình chứng minh câu a 2đ E P C D O/ M I F a) Do P thuộc (O’) mà MD đường kính suy góc MPD vng hay MP vng góc với ED Tương tự CE vng góc với ED Từ PM//EC (1) Vì EF dây cung, CD đường kính mà CD  E F nên I trung điểm E F Lại có I trung điểm CM nên tứ giác CE M F hình bình hành Vậy FM//CE.(2) Từ (1) (2) suy P, M , F thẳng hàng (2đ) Ta có  EDC =  EFP (góc có cạnh tương ứng vng góc) Do tam giác PO’D cân O’ nên  EDC =  O’PD Lại có  EFP =  IPF (do tam giácIPF cân)  I PF=  O’PD mà  FPD =1v, suy  IPO’ =900 nên IP  O’P Hay IP tiếp tuyến (O’) (2đ) Vì O’M =1/2 MD IM =1/2MC nên IO’ =1/2 CD vậyIO’ =R áp dụng định lý Pytago có PI2 + PO’2 = IO’2 =R2 (không đổi ) Mặt khác 4S2 =PI2.PO’2 ( S diện tích tam giác IO’P) Vậy 4S2 Max hay S Max PI = PO’ =R mà DM =2 PO’ DM = R , Vậy M cách D khoảng R (1đ ) Câu :(1điểm)  x   1 1  6( x  ) 3( y  ) 2( z  )  xyz  k   y  y z x xyz   z   Đặt k  y k  z k  x 0.25đ Xét tích : 1 k3 k3 1 1 ( x  )( y  )( z  )    xyz   ( y  )  (x  )  (z  ) y z x 36 36 xyz z y x k3 k k k k3 k     0  k 0 36 36 ( xyz ) 1  xyz 1  x  y  z 1     xy  yz  zx 1  x  y  z   xy  yz  zx 1  0,5đ 0,5đ Vậy (x, y , z) = (1,1,1) =(-1,-1,-1) cần tìm 0,25đ Học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa