Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm số nguyên m để đồ thị hàm số y x.. Chøng minh AM = AN.[r]
(1)Phßng GD&§t Qu¶NG tr¹ch K× THI CHäN HäC SINH GIáI huyÖn LíP THCS N¡M HäC 2012 – 2013 M¤N THI: TO¸N Thêi gian lµm bµi: 150 phót §Ò THI CHÝNH THøC C©u (2,0 ®iÓm) 1) Cho a, b, c, a b c kh«ng ©m tháa m·n 2011 a 2011 b 2011 c 2011 a b c minh r»ng: 2) Chứng minh bất đẳng thức: a b c a b c Chøng ab c a c c b c (víi a > c, b > c, c > 0) C©u (2,0 ®iÓm) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh x x 2 x x 2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc M y x 1x y xy C©u (2,0 ®iÓm) 1) Cho hàm số y = (m - 3)x + - m có đồ thị (d) Tìm số nguyên m để đồ thị hàm số y x 6 10 2 1 song song với đờng thẳng 2) Cho hàm số bậc y mx (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox và trôc Oy lÇn lît t¹i A vµ B cho tam gi¸c AOB c©n C©u (3,0 ®iÓm) µ 1) Cho tam gi¸c c©n ABC ( AB = AC; A < 90A0 ) KÎ BK AC A sin A = 2.sin cos µ · 2 a) Chøng minh : A = 2.KBC ; · sin KBC = , tÝnh sinA b) BiÕt 2) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC nhän Trªn ®o¹n HB, HC lÊy hai ®iÓm M, N cho gãc AMC vµ gãc ANB cïng lµ gãc vu«ng Chøng minh AM = AN y C©u (1,0 ®iÓm) T×m c¸c sè tù nhiªn x, y cho x 3026 -HÕt Phßng GD&§T qu¶ng tr¹ch C©u ý H¦íNG dÉn chÊm §Ó THI CHäN HäC SINH GiáI M¤N TO¸N N¡M HäC 2012 - 2013 Nội dung đáp án §iÓm (2) a b c a b c a b c ab ac bc a b c 1) 2c ab ac bc 0 b c a c 0 0,5 0,5 Xét hai trờng hợp xảy ta có điều phải cm ab c a c c b c Ta cã (víi a > c, b > c, c > 0) 0,25 ab c a c c a c c b c c b c ab ac c c a c c b c bc c 2) c 2c a c b c ab bc ac c 0 a c b c b a c c a c 0 c 2c a c b c a c b c 0 c 2c c a c b c 0,25 0,25 0 (luôn đúng với a > c, b > c, c > 0) ab c a c c b c VËy (víi a > c, b > c, c > 0) x x 2 x x (1) §KX§: x 0,25 0,25 (1) 2x2 – 5x -1 - x x =0 0,25 2x2 – 5x – –( x - 1) – ( x -1) = x 3 x 0 x 1 (2x + 1)(x-3) - x 1 x 1 0 x 1 x 1 (x-3) 1) 1 x 1 x 1 > x 1 V× x nªn x = 3(Tho¶ m·n §K) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt xx =3 Víi 0,25 y y Víi ®iÒu kiÖn x 1, y 4 ta cã: M = x m,n 0 m n 0 m n 2 mn 0,25 0,25 mn mn 0,25 DÊu ”=” m=n 1 x x x 1 x 1 x 1 2 x (v× x d¬ng) Ta cã: 2) 1 y y y 1 y y 4 y (v× y d¬ng) 2 Vµ: y x 1 y 4 Suy ra: M = x VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña M lµ x = 2, y = 8(tháa m·n) 0,25 0,25 Xét hàm số y = (m - 3)x + - m có đồ thị là (d) Ta cã: B 6 10 2 10 2 0,25 (3) 1 10 1 1 10 10 10 10 10 Từ đó ta có: (d’) có phơng trình: y = 10x + m 10 m 13 m m 4 Ta cã: (d)//(d’) m 13 VËy m = 13 th× (d) // (d’) Vì hàm số đã cho là hàm số bậc nên m khác 2 A ;0 Cho y = th× x = -2/m => m Cho x = th× y = => B(0;2) a Tam gi¸c AOB vu«ng t¹i O nªn tam gi¸c AOB c©n OA = OB Do đó: 2 2 m * m (tháa m·n) 2 m 1 * m (tháa m·n) Vậy m =1, m =-1 thì đồ thị hàm số (1) tạo với trục tọa độ tam gi¸c c©n 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Kẻ đờng cao AH => AH là đờng trung tuyến, là phân giác BAC A 1 A HA HB BC,A 2 => A C 90o ;KBC KBC C 90o A Ta cã Mµ BAC 2A BAC 2KBC BK BK sin A AB AC (1) Trong tam gi¸c vu«ng ABK ta cã: (v× AB=AC,gt) A KB cos KBC cos BC Trong tam gi¸c vu«ng CBK ta cã: sin A HC BC sin A AC 2AC Trong tam gi¸c vu«ng CBK ta cã: (V× BC=2BH) 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) A A BK BC BK cos 2 2 2 BC 2AC AC Do đó: A A sin A = 2.sin cos 2 Tõ (1) vµ (2) ta cã: Ta cã 2sin 2 A A sin KBC sin cos 3 b 3 sin A = 2.sin Do đó : 0,25 3 A A 2 cos = = 2 3 0,25 0,25 0,25 Gäi E lµ giao ®iÓm cña CH vµ AB, F lµ giao ®iÓm cña BH vµ AC áp dụng hệ thức cạnh và đờng cao tam giác AMC, ANB ta cã: AM AF.AC;AN AE.AB (3) Các tam giác ABF và ACE đồng dạng nên:AF.AC=AE.AB(4) 2 Tõ (3) vµ (4) AM AN AM AN XÐt y = x2 + 30 = 3026 x2 = 3025 x 55 vi x N XÐt y > y ⋮ 3, x2 chia cho d hoÆc y x chia cho d hoÆc y Mµ 3026 chia cho d nªn kh«ng x¶y ra: x 3026 VËy nghiÖm (x,y) = (55,0) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (5)