Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 Chuyên đề bất đẳng thức

1- §Þnh nghÜa 2- TÝnh chÊt 3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương 3-[r]

Chuyên đề: Bất đẳng thức a.môc tiªu: 1-Học sinh nắm vững số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 2-Một số phương pháp và bài toán liên quan đến phương trình bậc hai sử dụng công thøc nghiÖm sÏ cho häc sinh häc sau 3-Rèn kỹ và pp chứng minh bất đẳng thức B- néi dung PhÇn : c¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý 1- §Þnh nghÜa 2- TÝnh chÊt 3-Một số bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương 3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phương pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phương pháp làm trội 7- Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác 8- Phương pháp đổi biến số 9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phương pháp quy nạp 11- Phương pháp phản chứng PhÇn :c¸c bµi tËp n©ng cao PHầN : ứng dụng bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý 1-§inhnghÜa Lop8.net A  B  A  B   A  B  A  B  2-tÝnh chÊt + A>B  B  A + A>B vµ B >C  A  C + A>B  A+C >B + C + A>B vµ C > D  A+C > B + D + A>B vµ C >  A.C > B.C + A>B vµ C <  A.C < B.C + < A < B vµ < C <D  < A.C < B.D + A > B >  A n > B n n + A > B  A n > B n víi n lÎ + A > B  A n > B n víi n ch½n + m > n > vµ A >  A m > A n + m > n > vµ <A <  A m < A n +A < B vµ A.B >  1  A B 3-một số bất đẳng thức + A  víi  A ( dÊu = x¶y A = ) + An  víi  A ( dÊu = x¶y A = ) + A  víi A (dÊu = x¶y A = ) + -A <A= A + A  B  A  B ( dÊu = x¶y A.B > 0) + A  B  A  B ( dÊu = x¶y A.B < 0) Phần II : số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp : dùng định nghĩa KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M  với M VÝ dô  x, y, z chøng minh r»ng : a) x + y + z  xy+ yz + zx b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3  (x + y + z) Lop8.net Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x + y + z - xy – yz - zx = ( x  y )  ( x z )  ( y  z )  đúng với x;y;z  R = ( x + y + z - xy – yz – zx)   V× (x-y)2  víix ; y DÊu b»ng x¶y x=y (x-z)2  víix ; z DÊu b»ng x¶y x=z (y-z)2  víi z; y DÊu b»ng x¶y z=y VËy x + y + z  xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)  đúng với x;y;z  R Vậy x + y + z  2xy – 2xz + 2yz đúng với x;y;z  R DÊu b»ng x¶y x+y=z c) Ta xÐt hiÖu x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1)  DÊu(=)x¶y x=y=z=1 VÝ dô 2: chøng minh r»ng : a2  b2  a  b  a)   ;b)   a2  b2  c2  a  b  c    3   c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n gi¶i a2  b2  a  b      a  b a  2ab  b  = 4 = 2a  2b  a  b  2ab = a  b 2  a) Ta xÐt hiÖu    a2  b2  a  b   VËy     DÊu b»ng x¶y a=b Lop8.net b)Ta xÐt hiÖu a2  b2  c2  a  b  c    3   = a  b 2  b  c 2  c  a 2    a2  b2  c2  a  b  c   VËy  3   DÊu b»ng x¶y a = b =c c)Tæng qu¸t a12  a 22   a n2  a1  a   a n    n n   Tóm lại các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A  B VÝ dô:(chuyªn Nga- Ph¸p 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta có m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Gi¶i:  m2   m2   m2   m2     mn  n     mp  p     mq  q     m  1          2 2 m  m  m  m     n     p     q     1  (luôn đúng) 2  2  2  2  m  n 0 m   p0 DÊu b»ng x¶y   m  q 0 2 m    m  n   m  m2 p    n  p  q   m q    m  22  phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương L­u ý: Lop8.net Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã chứng minh là đúng Chú ý các đẳng thức sau:  A  B 2  A  AB  B  A  B  C 2  A  B  C  AB  AC  BC  A  B 3  A3  A B  AB  B VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng b2 a) a   ab b) a  b   ab  a  b c) a  b  c  d  e  ab  c  d  e  Gi¶i: b2  ab  4a  b  4ab  4a  4a  b  (bất đẳng thức này luôn đúng)  2a  b   a) a  b2  ab (dÊu b»ng x¶y 2a=b) b) a  b   ab  a  b  2(a  b    2(ab  a  b)  a  2ab  b  a  2a   b  2b   Bất đẳng thức cuối đúng  (a  b)  (a  1)  (b  1)  2 VËy a  b   ab  a  b VËy a  DÊu b»ng x¶y a=b=1 c) a  b  c  d  e  ab  c  d  e   4 a  b  c  d  e   4ab  c  d  e   a  4ab  4b  a  4ac  4c  a  4ad  4d  a  4ac  4c        a  2b   a  2c   a  2d   a  2c   2    Bất đẳng thức đúng ta có điều phải chứng minh VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: a 10  b10 a  b   a  b a  b  Gi¶i: a         b10 a  b  a  b a  b  a 12  a 10 b  a b10  b12  a 12  a b  a b  b12  a 8b a  b  a 2b b  a   a2b2(a2-b2)(a6-b6)   a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  10   Bất đẳng thứccuối đúng ta có điều phải chứng minh VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x.y Lop8.net Chøng minh x2  y2 2 x y Gi¶i: x y  2 v× :x  y nªn x- y   x2+y2  2 ( x-y) x y 2  x2+y2- 2 x+ 2 y   x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2   x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy  v× x.y=1 nªn 2.x.y=2  (x-y- )2  Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh VÝ dô 4: 1)CM: P(x,y)= x y  y  xy  y   x, y  R 2)CM: (gợi ý :bình phương vế) a2  b2  c2  a  b  c 3)choba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n: x y.z   1 1     x yz  x y z Chứng minh :có đúng ba số x,y,z lớn (đề thi Lam Sơn 96-97) Gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 x y z 1 x y z x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(   )=x+y+z - (   )  (v×   < x+y+z theo gt)  số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương Nếủ trường hợp sau xảy thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp trên tức là có đúng ba số x ,y ,z là số lớn Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x  y  xy b) x  y  xy dÊu( = ) x = y = c) x  y 2  xy a b b a d)   2)Bất đẳng thức Cô sy: a1  a  a3   a n n  a1 a a3 a n n 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski a 2   Víi   a22   an2 x12  x22   2n  a1 x1  a2 x2   an xn  4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: Lop8.net abc A  B  C abc NÕu  A  B  C abc DÊu b»ng x¶y  A  B  C NÕu   aA  bB  cC a  b  c A  B  C  3  aA  bB  cC a  b  c A  B  C  3 b/ c¸c vÝ dô vÝ dô Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Gi¶i: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: x  y 2  xy Tacã a  b 2  4ab ; b  c 2  4bc ; c  a 2  4ac  a  b  b  c  c  a   64a b c  8abc   (a+b)(b+c)(c+a)  8abc 2 2 DÊu “=” x¶y a = b = c 1   9 a b c CMR:x+2y+z  4(1  x)(1  y )(1  z ) vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: CMR: a b c    bc ca ab 4)Cho x  ,y  tháa m·n x  y  vÝ dô 3: (403-1001) ;CMR: x+y  Cho a>b>c>0 vµ a  b  c  chøng minh r»ng a3 b3 c3    bc ac ab Gi¶i:  a2  b2  c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a  b  c   a  b  c  b  c a  c a  b ¸p dông B§T Trª- b­-sÐp ta cã a2 a b c a2  b2  c2  a b c   b2  c2     = = bc ac ab bc a c a b 2 a3 b3 c3    VËy bc ac ab DÊu b»ng x¶y a=b=c= vÝ dô 4: Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng : a  b  c  d  ab  c   bc  d   d c  a   10 Gi¶i: Lop8.net Ta cã a  b  2ab c  d  2cd 1 (dïng x   ) ab x Ta cã a  b  c  2(ab  cd )  2(ab  )  ab MÆt kh¸c: ab  c   bc  d   d c  a  Do abcd =1 nªn cd = (1) =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =  ab      1    ac     bc      ab   ac   bc   2 2 VËy a  b  c  d  ab  c   bc  d   d c  a   10 vÝ dô 5: Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (a  c)  (b  d )  a  b  c  d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacã ac+bd  a  b c  d mµ a  c 2  b  d 2  a  b  2ac  bd   c  d    a2  b2  a2  b2 c2  d  c2  d  (a  c)  (b  d )  a  b  c  d vÝ dô 6: Chøng minh r»ng a  b  c  ab  bc  ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã 1   (a  b  c )  1.a  1.b  1.c  a  b  c   a  b  c  2ab  bc  ac  2 2 2   a  b  c  ab  bc  ac Phương pháp 4: L­u ý: 2 2 2 §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y a=b=c Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu A>B vµ b>c th× A>c 0< x <1 th× x <x vÝ dô 1: Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc Gi¶i: a  c  d b  c  d Tacã    a  c  d    b  d  c  (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd Lop8.net ab> ad+bc  (®iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 2: 2 Cho a,b,c>0 tháa m·n a  b  c  Chøng minh 1 1    a b c abc Gi¶i: Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  2 ( a +b +c ) 1 1     ac+bc-ab   Chia hai vÕ cho abc > ta cã a b c abc  ac+bc-ab  vÝ dô Cho < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Gi¶i: Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nªn ab>0 (1)  (1-a).(1-b) > 1-a-b Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã  (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 1- Cho <a,b,c <1 Chøng minh r»ng 2a  2b  2c   a b  b c  c a Gi¶i : Do a <  a  vµ Ta cã 1  a .1  b    1-b- a + a b >  1+ a b > a + b mµ 0< a,b <1  a > a , b > b Tõ (1) vµ (2)  1+ a b > a + b VËy a + b < 1+ a b Tương tự b + c   b c c + a3   c2a Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a  2b  2c   a b  b c  c a b)Chøng minh r»ng : NÕu a  b  c  d  1998 th× ac+bd =1998 (Chuyªn Anh –98 – 99) Gi¶i: Ta cã (ac + bd) + (ad – bc ) = a c + b d  abcd  a d = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 Lop8.net  b c - 2abcd = rá rµng (ac+bd)2  ac  bd 2  ad  bc 2  1998  ac  bd  1998 2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ….;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1  c høng minh r»ng : a 12 + a 22  a32   a 2003 ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003 2003- 2004Thanh hãa ) 2,Cho a;b;c  tháa m·n :a+b+c=1(?) a b c Chøng minh r»ng: (  1).(  1).(  1)  Phương pháp 5: dïng tÝnh chÊtcña tû sè KiÕn thøc 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a a ac  th×  b b bc a a ac b – NÕu  th×  b bc b a – NÕu 2)NÕu b,d >0 th× tõ a c a ac c     b d b bd d ` vÝ dô : Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng 1 a b c d    2 abc bcd cd a d ab Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã a a ad 1  abc abc abcd a a  MÆt kh¸c : abc abcd (1) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã a a ad < < abcd abc abcd (3) Tương tự ta có b b ba   abcd bcd abcd c c bc   abcd cd a abcd (4) (5) Lop8.net 10 d d d c   abcd d ab abcd (6) céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã 1 a b c d     ®iÒu ph¶i chøng minh abc bcd cd a d ab vÝ dô : a c a ab  cd c vµ b,d > Chøng minh r»ng <  b d b b d2 d a c ab cd ab ab  cd cd c Tõ <       b d b d b b d2 d2 d a ab  cd c < ®iÒu ph¶i chøng minh  b b2  d d Cho: < Gi¶i: VËy ví dụ : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a c t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña  gi¶i : b d Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : a b a b a ab b Tõ :      c d c d c cd d a  v× a+b = c+d c b a b  998    999 d c d a b 999 b, NÕu: b=998 th× a=1   =  §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt d= 1; c=999 c d c d a b VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña  =999+ a=d=1; c=b=999 c d 999 a, NÕu :b  998 th× Phương pháp 6: Phương pháplàm trội L­u ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tæng h÷u h¹n hoÆc tÝch h÷u h¹n (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2   un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk  ak  ak 1 Khi đó : S = a1  a2   a2  a3    an  an 1   a1  an 1 (*) Phương pháp chung tính tích hữu hạn P = u1u2 un Biến đổi các số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: uk = ak ak 1 Lop8.net 11 Khi đó P = a a1 a2 a n  a2 a3 an 1 an 1 VÝ dô : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1      n 1 n  nn Gi¶i: Ta cã Do đó: 1   n  k n  n 2n víi k = 1,2,3,…,n-1 1 1 n         n 1 n  2n 2n 2n 2n VÝ dô : Chøng minh r»ng: 1   1     n 1 1 n Gi¶i : Víi n lµ sè nguyªn  2    k 1  k k k k  k 1 Ta cã Khi cho k chạy từ đến n ta có >   1  2 3 2  ………………   n 1  n n  Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có 1   1     n 1 1 n VÝ dô : Chøng minh r»ng n k k 1 2 n  Z Gi¶i: Ta cã 1 1    k k k  1 k  k Cho k chạy từ đến n ta có Lop8.net 12  1  1 2 1   32 1   n n 1 n 1      n VËy n k k 1 2 Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức tam giác L­u ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a VÝ dô1: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i a)V× a,b,c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã 0  a  b  c  0  b  a  c 0  c  a  b  a  a (b  c)  b  b(a  c)  c  c ( a  b)   Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta cã a > b-c   a  a  (b  c) > b > a-c   b  b  (c  a) > c > a-b   c  c  (a  b)  Nhân vế các bất đẳng thức ta     a 2b c  a  b  c  b  c  a  c  a  b  2  a b c  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc  a  b  c  b  c  a  c  a  b 2 2  VÝ dô2: (404 – 1001) 1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng ab  bc  ca  a  b  c  2(ab  bc  ca) Lop8.net 13 2) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng Chøng minh r»ng a  b  c  2abc  Phương pháp 8: đổi biến số VÝ dô1: Cho a,b,c > Chøng minh r»ng a b c    (1) bc ca ab Gi¶i : yzx zx y x yz §Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= ; b= ;c= 2 yzx zx y x yz    ta cã (1)  2x 2y 2z y z x z x y  1  1  1   x x y y z z y x z x z y (  )(  )(  )6 x y x z y z y x z y z x Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2;   nªn ta cã ®iÒu   2; x y y z x z ph¶i chøng minh VÝ dô2: Cho a,b,c > vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng 1   9 a  2bc b  2ac c  2ab (1) Gi¶i: §Æt x = a  2bc ; y = b  2ac ; z = c  2ab Ta cã x  y  z  a  b  c 2  1 x y z (1)     Víi x+y+z < vµ x ,y,z > Theo bất đẳng thức Côsi ta có x  y  z  3 xyz 1 1    x y z xyz  x  y  z .     x y z Mµ x+y+z < VËy 1    (®pcm) x y z VÝ dô3: Lop8.net 14 Cho x  , y  tháa m·n x  y  CMR x  y  Gîi ý: §Æt x  u , y v  2u-v =1 vµ S = x+y = u  v  v = 2u-1 thay vµo tÝnh S Bµi tËp 1) Cho a > , b > , c > CMR: 25a 16b c   8 bc ca ab   2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc    bc ca ab Phương pháp 9: m  n  p  m  n  p  dïng tam thøc bËc hai L­u ý : Cho tam thøc bËc hai f x   ax  bx  c NÕu   th× a f x   x  R b a víi x  x1 hoÆc x  x2 víi x1  x  x2 NÕu   th× a f x   x   NÕu   th× a f x   a f  x   VÝ dô1: Chøng minh r»ng f  x, y   x  y  xy  x  y   Gi¶i: Ta cã (1)  x  x2 y  1  y  y     2 y  1  y  y   y2  y 1 5y2  y    y  1   VËy f x, y   víi mäi x, y VÝ dô2: Chøng minh r»ng   f  x, y   x y  x  y  xy  x  xy Lop8.net 15 (1) ( x2  x1 ) Gi¶i: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   x y  x  y  xy  x  xy   ( y  1) x  y 1  y  x  y  2 2 Ta cã   y 1  y   y y  1  16 y  V× a = y  1  vËy f x, y   (®pcm) 2 Phương pháp 10: dùng quy nạp toán học KiÕn thøc: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0 ta thực các bước sau : – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh gọi là giả thiÕt quy n¹p ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) – kết luận BĐT đúng với n  n0 VÝ dô1: Chøng minh r»ng 1 1      2 n n n  N ; n  Gi¶i : Víi n =2 ta cã    (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 ThËt vËy n =k+1 th× (1)  1 1      2 2 k (k  1) k 1 Theo gi¶ thiÕt quy n¹p   1 1 1      2   2 2 2 k (k  1) k k  1 k 1 1 1      2 (k  1) k  k  1 k Lop8.net 16 (1)  k 11   k (k  2)  (k  1)  k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng Vậy bất k (k  1) đẳng thức (1)được chứng minh VÝ dô2: Cho n  N vµ a+b> n an  bn ab Chøng minh r»ng  (1)     Gi¶i Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 ThËt vËy víi n = k+1 ta cã ab (1)      k 1  a k 1  b k 1 k a k 1  b k 1 ab ab (2)    2   a k  b k a  b a k 1  ab k  a k b  b k 1 a k 1  b k 1    VÕ tr¸i (2)  2 k 1 k 1 k 1 k k k 1 a b a  ab  a b  b  0   a k  b k a  b   (3)   Ta chøng minh (3) (+) Gi¶ sö a  b vµ gi¶ thiÕt cho a  -b  a  b k  ak  b  bk  a k   b k a  b   (+) Gi¶ sö a < b vµ theo gi¶ thiÕt - a<b  a  b k  a k  b k  a k  b k .a  b   Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm) k Phương pháp 11: Chøng minh ph¶n chøng L­u ý: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược Từ đó suy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G  K” phép toán mệnh đề cho ta : Như để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luËn cña nã Ta thường dùng hình thức chứng minh phản chứng sau : Lop8.net 17   A - Dùng mệnh đề phản đảo : K  G B – Phủ định rôi suy trái giả thiết : C – Phủ định suy trái với điều đúng D – Phủ định suy điều trái ngược E – Phủ định suy kết luận : VÝ dô 1: Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > Chøng minh r»ng a > , b > , c > Gi¶i : Giả sử a  thì từ abc >  a  đó a < Mµ abc > vµ a <  cb < Tõ ab+bc+ca >  a(b+c) > -bc > V× a < mµ a(b +c) >  b + c < a < vµ b +c <  a + b +c < tr¸i gi¶ thiÕt a+b+c > Vậy a > tương tự ta có b > , c > VÝ dô 2: Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iÒu kiÖn ac  2.(b+d) Chứng minh có ít các bất đẳng thức sau là sai: , c  4d a  4b Gi¶i : Giả sử bất đẳng thức : a  4b , c  4d đúng đó cộng các vế ta (1) a  c  4(b  d ) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d)  2ac (2) Tõ (1) vµ (2)  a  c  2ac hay a  c 2  (v« lý) Vậy bất đẳng thức a  4b và c  4d có ít các bất đẳng thức sai VÝ dô 3: Cho x,y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng NÕu x+y+z > 1   th× cã mét ba sè nµy lín h¬n x y z Gi¶i : Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 x y z =x + y + z – (   ) v× xyz = theo gi¶ thiÕt x+y +z > 1   x y z nªn (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 có số dương Thật ba số dương thì x,y,z >  xyz > (trái giả thiết) Còn số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) Lop8.net 18 VËy cã mét vµ chØ mét ba sè x , y,z lín h¬n PhÇn iii : c¸c bµi tËp n©ng cao 1/dùng định nghĩa a2 1) Cho abc = vµ a  36 Chøng minh r»ng  b2+c2> ab+bc+ac 3 Gi¶i a2 Ta cã hiÖu:  b2+c2- ab- bc – ac a2 a2 =   b2+c2- ab- bc – ac 12 a2 a2 = (  b2+c2- ab– ac+ 2bc) +  3bc 12 a  36abc a =( -b- c)2 + 12a a  36abc a =( -b- c)2 + >0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn 12a a2 VËy :  b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 2) Chøng minh r»ng a) x  y  z   x.( xy  x  z  1) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã a  5b  4ab  2a  6b   a  2b  2ab  2a  4b   c) Gi¶i : a) XÐt hiÖu H = x  y  z   x y  x  xz  x = x  y   x  z 2  x  12 H  ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = a  2b  12  b  12   H > ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = a  b  12  b  12  H  ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Ii / Dùng biến đổi tương đương 1) Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng Lop8.net 19 a >0 ) x   y2 8 x  y 2 Gi¶i : Ta cã x  y   x  y   xy   x  y   2 x  2 y   x  y  2 (v× xy = 1)  4. x  y   Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với   x  y 4  4x  y 2   8.x  y 2 x  y 4  4x  y 2   x  y 2  22  BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy  Chøng minh r»ng 1   2 1 x 1 y  xy Gi¶i : 1   2 1 x 1 y  xy  1   1         2     x  y    y  xy  Ta cã xy  x xy  y  0  x 1  xy   y 1  xy  x( y  x) y( x  y)  0  x 1  xy   y 1  xy             y  x  xy  1  1  x   y .1  xy   BĐT cuối này đúng xy > Vậy ta có điều phải chứng minh Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 Chøng minh r»ng a  b  c  Gi¶i : ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho sè (1,1,1) vµ (a,b,c) Ta cã   1.a  1.b  1.c 2  1   1.a  b  c  a  b  c 2  3.a  b  c  a2  b2  c2  (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 2) Cho a,b,c là các số dương Chøng minh r»ng a  b  c .     a b Lop8.net c 20 (1)