Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9

WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a+b ³ ab bc ca ab + + ³a+b+c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a + b > a - b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x - 4x + 17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính) : a) + 15 b) c) 23 - 19 27 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn d) 17 + + và 45 nhỏ 19 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = - 2x - x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 - k + 1) 1998 - 1998 Hãy so sánh S 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vô tỉ 21 Cho S = 23 Cho số x y dấu Chứng minh : www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU x y + ³2 y x ỉ x y2 ỉ x y b) ỗ + ữ - ỗ + ÷ ³ x ø èy xø èy a) æ x y4 ö æ x y2 ö ổ x y + ữ-ỗ + ữ+ỗ + ữ ³ y4 x ø è y2 x ứ ố y x ứ ố c) ỗ 24 Chng minh số sau số vô tỉ : a) 1+ b) m + với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ khơng ? ỉx x y2 26 Cho số x y khác Chứng minh : + + ³ ç + ÷ y x èy xø 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : x y2 z2 x y z + + ³ + + y2 z2 x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : [ x ] + [ y ] £ [ x + y ] x - 6x + 17 x y z 33 Tìm giá trị nhỏ : A = + + với x, y, z > y z x 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vơ tỉ khơng : a số vô tỉ b a b) a + b số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b a) ab c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d + + + ³2 b+c c+d d+a a +b 39 Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] + 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM A= x - B= MAI TRỌNG MẬU x + 4x - C= D= x - 2x - 1 E= x+ 1- x2 - + -2x x G = 3x - - 5x - + x + x + 42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M = x + 4x + + x - 6x + 4x + 20x + 25 + x - 8x + 16 = x + 18x + 81 c) Giải phương trình : 43 Giải phương trình : 2x - 8x - x - 4x - = 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A = x2 + x + E= B= G= 2x + + x 45 Giải phương trình : 1 - 3x C = - - 9x x + x-2 x -4 D= x - 5x + H = x - 2x - + - x 2 x - 3x =0 x -3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x +x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B = - x + x +1 48 So sánh : a) a = + b= b) - 13 + c) n + - n + n+1 - n (n số nguyên dương) -1 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = - - 6x + 9x + (3x - 1) 50 Tính : a) 4-2 b) 11 + d) A = m + 8m + 16 + m - 8m + 16 c) 27 - 10 e) B = n + n - + n - n - (n ≥ 1) 51 Rút gọn biểu thức : M = 41 45 + 41 + 45 - 41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x - y) + (y - 2)2 + (x + y + z) = 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 25x - 20x + + 25x - 30x + 54 Giải phương trình sau : a) x - x - - x - = d) x - x - 2x + = b) x - + = x e) x + 4x + + x - = h) x - 2x + + x - 6x + = k) x + - x - + x + - x - = c) x - x + x + x - = g) x - + x - = -5 i) x + + - x = x - 25 l) 8x + + 3x - = 7x + + 2x - www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x + y2 ³2 x-y 56 Rút gọn biểu thức : a) 13 + 30 + + b) m + m - + m - m - c) + + + + + + - + + 2+ = 57 Chứng minh 58 Rút gọn biểu thức : a) C = 6+2 ( d) 227 - 30 + 123 + 22 + 2 ) + + - 6-2 ( 6- 3+ ) 9-6 - b) D = 59 So sánh : a) + 20 1+ b) 17 + 12 +1 c) 28 - 16 - 60 Cho biểu thức : A = x - x - 4x + a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : a) c) 11 - 10 b) - 14 + 11 + - + + + - + 10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : 63 Giải bất phương trình : 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c x - 16x + 60 < x - 64 Tìm x cho : x - + £ x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A = x - 2x - 67 Cho biểu thức : A = 16 - x b) B = + x - 8x + 2x + x + x - 2x x - x - 2x - x - x - 2x x + x - 2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 72 Cho biểu thức A = + + - Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( + + 5)( + - 5)( - + 5)(- + + 5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3+ ; 3- ; 2 +3 75 Hãy so sánh hai số : a = 3 - b=2 - ; 76 So sánh + +1 + - - - số 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 77 Rút gọn biểu thức : Q = 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x - y + y - x = 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = - x + + x 81 Tìm giá trị lớn : M = ( a+ b ) với a, b > a + b ≤ 82 CMR số 2b + c - ad ; 2c + d - ab ; 2d + a - bc ; 2a + b - cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N = + + + 18 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh : ( a+ b ) ³ 2(a + b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (x + 2) - 8x xx a +2 89 Chứng minh với số thực a, ta có : ³ Khi có đẳng thức ? a +1 88 Rút gọn : a) A = ab - b a b b b) B = 90 Tính : A = + + - hai cách 91 So sánh : a) 92 Tính : P = +5 6,9 b) 2+ 2- + + 2+ - 2- 13 - 12 7- x + + 2x - + x - - 2x - = 2 1.3.5 (2n - 1) 94 Chứng minh ta ln có : Pn = < ; "n Ỵ Z+ 2.4.6 2n 2n + 93 Giải phương trình : www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU a2 b2 a+ b£ + b a 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : A= x - 4(x - 1) + x + 4(x - 1) æ ỗ1 ữ ố x -1 ứ x - 4(x - 1) a b +b a : = a - b (a, b > ; a ≠ b) ab a- b æ 14 - æ a + a ưỉ a - a 15 - b) ỗ + = -2 c) ỗ + ữ: ữỗ ữ = - a (a > 1- ø - a + øè a -1 ø è 1- è 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) 0) - - 29 - 20 98 Tính : a) ổ c) ỗ ố ; b) + - 13 + 48 ö 28 - 16 ÷ + 48 ø 99 So sánh : a) + 15 b) + 15 12 + 16 c) 18 + 19 d) 25 + 48 - 100 Cho đẳng thức : a± b = a + a2 - b a - a2 - b ± (a, b > a2 – b > 0) 2 Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2+ + 2+ + 2- - 2- ; b) 3- 2 17 - 12 - 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 - 2 - : 10 - 2 -1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A = b) B = xy - x - y - xy + x - y - a + bx + a - bx a + bx - a - bx vi x = vi x = 1ổ 1ử ỗa + ữ , y = 2ố aứ 1ổ 1ử ỗ b + ÷ (a > ; b > 1) 2è bø 2am , m < b (1 + m ) 2x - x - 102 Cho biểu thức P(x) = 3x - 4x + a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A = x+2-4 x -2 + x +2+4 x -2 4 - +1 x2 x www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) - x e) - - 3x b) x - x (x > 0) c) + - x g) 2x - 2x + 105 Rút gọn biểu thức : A = h) - - x + 2x + x + 2x - - x - 2x - , ba cách ? + 48 - 10 + 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) d) x - - i) 2x - x + + 10 + + - 10 + c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ ( ) a) a + b ± a - b = a ± a2 - b b) 94 - 42 - 94 + 42 b a + a2 - b a - a2 - b a± b = ± 2 108 Rút gọn biểu thức : A = 109 Tìm x y cho : x + 2x - + x - 2x - x+y-2 = x + y - 110 Chứng minh bất đẳng thức : a + b2 + c2 + d ³ (a + c) + (b + d) a2 b2 c2 a+b+c 111 Cho a, b, c > Chứng minh : + + ³ b+c c+a a +b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 113 CM : (a + c )( b + c2 ) + b) (a a +b + b+c + c+a £ + d )( b + d ) ³ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x 115 Tìm giá trị nhỏ : A = (x + a)(x + b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + - x 118 Giải phương trình : x - - 5x - = 3x - 119 Giải phương trình : x + x -1 + x - x -1 = 120 Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = - 2x - x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : - ; 2+ 121 Giải phương trình : 123 Chứng minh x - + - x £ 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a + b b + c ³ b(a + c) với a, b, c > www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 125 Chứng minh (a + b)(c + d) ³ ac + bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (a + b)2 a + b 127 Chứng minh + ³ a b + b a với a, b ≥ a b c 128 Chứng minh + + > với a, b, c > b+c a+c a+b 129 Cho x - y + y - x = Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A = x - x -1 + x + x -1 131 Tìm GTNN, GTLN A = - x + + x 132 Tìm giá trị nhỏ A = x + + x - 2x + 133 Tìm giá trị nhỏ A = - x + 4x + 12 - - x + 2x + 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 2x + - x ( b) A = x 99 + 101 - x 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn ) a b + = (a b số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx + + với x, y, z > , x + y + z = z x y x2 y2 z2 138 Tìm GTNN A = + + biết x, y, z > , xy + yz + zx = x+y y+z z+x 137 Tìm GTNN A = 139 Tìm giá trị lớn : a) A = b) B = ( a+ b ) ( + a+ c ) ( + ( a+ b a+ d ) với a, b > , a + b ≤ ) ( + b+ c ) ( + b+ d ) ( + c+ d ) với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = b c + với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ c+d a+b 141 Tìm GTNN A = 142 Giải phương trình sau : a) x - 5x - 3x + 12 = d) x - - x + = b) x - 4x = x - e) x - x - - x - = h) x + - x - + x + - x - = k) - x - x = x - m) x + = x - x - o) x - + x + + c) 4x + - 3x + = g) x + 2x - + x - 2x - = i) x + x + - x = l) 2x + 8x + + x - = 2x + n) x + + x + 10 = x + + x + ( x - 1) ( x - 3x + 5) = - 2x www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU p) 2x + + x + + 2x + - x + = + x + q) 2x - 9x + + 2x - = 2x + 21x - 11 ( 143 Rút gọn biểu thức : A = 2 - + )( 144 Chứng minh rằng, "n Ỵ Z+ , ta ln có : + 145 Trục thức mẫu : a) 1+ + ) 18 - 20 + 2 ( ) 1 + + + > n +1 -1 n b) x + x +1 146 Tính : - - 29 - 20 a) ( 147 Cho a = - + 148 Cho b = a) c) ( 3- 2 17 - 12 - b) + - 13 + 48 )( ) 17 + 12 149 Giải phương trình sau : ) (5 - x ) - x + ( x - 3) x - 5- x + x -3 b) =2 - - 29 - 12 10 - Chứng minh a số tự nhiên 3+ 2 -1 x - x + - = c) ( b có phải số tự nhiên khơng ? ) -1 x = ( ) +1 x - 3 d) x + x - = 150 Tính giá trị biểu thức : M = 12 - 29 + 25 + 21 - 12 + 29 - 25 - 21 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n -1 + n 1 1 152 Cho biểu thức : P = + - + 2- 3- 4- 2n - 2n + 151 Rút gọn : A = a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ? 1 1 + + + + +1 + + 100 99 + 99 100 1 154 Chứng minh : + + + + > n n 155 Cho a = 17 - Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh : a - a - < a - - a - (a ≥ 3) 157 Chứng minh : x - x + > (x ≥ 0) 158 Tìm giá trị lớn S = x - + y - , biết x + y = 153 Tính : A = 159 Tính giá trị biểu thức sau với a = + 2a - 2a : A= + + + 2a - - 2a www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 160 Chứng minh đẳng thức sau : ( )( 10 - ) - 15 = ( + )( 10 - ) = d) a) + 15 c) - b) + = + 48 = 2 ( ( ) +1 ) + e) 17 - + = - 161 Chứng minh bất đẳng thức sau : 5+ 5- + - 10 < 5- 5+ ỉ +1 - ưỉ c) ỗ + + ữ 0, - 1,01 > ữỗ - ố + + + - øè ø + -1 2- 3ỉ 3 d) + + + 3- > ỗ ÷2+ 6 è 2- 2+ ø 27 + > 48 a) 2+2 e) h) ( 3+ b) -1 + 5+ -2 ) - ( - > 1,9 ) 3+ 5+ - + + 2- < 0,8 < n - n - Từ suy ra: n 1 2004 < + + + + < 2005 1006009 2+ 3+ 163 Trục thức mẫu : a) b) 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ + 3+ 3- 164 Cho x = y= Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 3- 3+ 2002 2003 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : + > 2002 + 2003 2003 2002 x - 3xy + y 166 Tính giá trị biểu thức : A = với x = + y = - x+y+2 6x - 167 Giải phương trình : = + x - x2 x - 1- x 162 Chứng minh : n + - n < 168 Giải bất pt : a) 3 + 5x ³ 72 b) 10x - 14 ³ c) + 2 + 2x ³ 169 Rút gọn biểu thức sau : a) A = - - 29 - 12 c) C = 10 x + + x2 - 2x - + x - b) B = - a + a(a - 1) + a d) D = a -1 a x + 5x + + x - x 3x - x + (x + 2) - x www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 1 = Þ A= 10 (n + 1) n + n n + n n +1 1 1 154 + + + + + > n = n n n 155 Ta có a + = 17 Biến đổi đa thức ngoặc thành tổng lũy thừa số a + 153 Ta chứng minh : A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000 = (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1)2000 = 156 Biến đổi : a - a -1 = a + a -1 a -2 + a -3 ; a -2 - a -3 = 2 1 ỉ 1ư ỉ 1ư 157 x - x + = x - x + + x - x + = ỗ x - ữ + ỗ x - ÷ ³ 4 è 2ø è 2ø 1 Dấu “ = “ không xảy khơng thể có đồng thời : x = x = 2 168 Trước hết ta chứng minh : a + b £ 2(a + b ) Áp dụng (*) ta có : S = (*) (a + b ≥ 0) x - + y - £ 2(x - + y - 2) = ì x= ï éx -1 = y - ï max S = Û ê Ûí ëx + y = ïy = ï ỵ * Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy 180 Ta phải có | A | ≤ Dễ thấy A > Ta xét biểu thức : B = = - - x Ta có : A £ - x2 £ Þ - £ - - x2 £ Þ - £ - - x2 £ B = - Û = - x Û x = Khi max A = = 2+ Û 2- Û max B = Û - x = Û x = ± Khi A = 2x - x 181 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B = + Khi : 1- x x ì 2x - x = (1) 2x - x ï B³2 = 2 B = 2 Û í1 - x x 1- x x ï0 < x < (2) ỵ 2 Giải (1) : 2x = (1 – x) Û | x | = | – x | Do < x < nên x = – x Û Û x= = - +1 Như B = 2 Û x = - 1 ö æ 2x - x ö - 2x - + x æ Bây ta xột hiu : A - B = ỗ + ữ-ỗ + + = +1 = ÷= x ø 1- x x è1- x x ø è1- x 35 www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU Do A = 2 + x = - 182 a) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : a+b ³ ab Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : a + b £ 2(a + b ) A = x - + y - £ 2(x - + y - 3) = ìx - = y - ì x = 1,5 max A = Û í Û í ỵx + y = ỵ y = 2,5 Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích : x - , y - tích : Ta xem biểu thức x - = 1.(x - 1) , y - = x - 1.(x - 1) + x - 1 = £ = x x 2x y-2 2.(y - 2) + y - = £ = = y y 2y 2 ìx - = 1 2+ max B = + = Û í Û 4 ỵy - = a+b 2(y - 2) ab £ Theo bất đẳng thức Cauchy : ìx = í ỵy = 1 ,b= Ta thấy 1997 + 1996 1998 + 1997 1997 + 1996 < 1998 + 1997 183 a = Nên a < b 184 a) A = - với x = max A = b) B = với x = ± max B = với x = ± với x = x + (1 - x ) = 2 2 ìx = - x max A = Û í Û x= 2 ỵx > 185 Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét ≤ x ≤ A = x (1 - x ) £ 186 A = | x – y | ≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki : ỉ ỉ 1ư A = (x - y) = ỗ1.x - 2y ữ Ê ỗ1 + ữ (x + 4y ) = è ø è 4ø 2 ì ì 5 ì 2y ïx = ïx = ï =ï ï 5 í max A = Û íx Û í 2 ï x + 4y = ïy = ïy = - î ï ï 10 10 î î 187 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết : 36 www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU ìx £ x ì0 £ x £ ï Û í Û x + y3 £ x + y = í ïy £ y ỵ0 £ y £ ỵ ìx3 = x ï max A = Û í Û x = 0, y = V x = 1, y = ïy = y ỵ x+y b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = Þ x + y ≤ Þ £ Do : ( x + y3 ) ( x + y ) Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 3 x +y ³ 2 2 2 é ù (x + y3 )(x + y) = ê x + y3 ú é x + y ù ³ x x + y3 y = (x2 + y2) = ú ë û ë ûê ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A = 188 Đặt Û x=y= 2 x = a ; y = b , ta có a, b ≥ 0, a + b = A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab Do ab ≥ nên A ≤ max A = Û a = b = Û x = x = 1, y = Ta có ab £ (a + b) 1 1 = Þ ab £ Þ - 3ab ³ A = Û x = y = 4 4 4 189 Điều kiện : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có : x -1 =3 x-2 - x + (x - 1)(x - 2) - (x - 1)(x - 2) = Û - x = Û x = -8 - x + (x - 1)(x - 2) - x - Û 190 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình x + 2x + = y ≥ 0, phương trình có dạng : éy = y2 - y - 12 = Û (y - )(y + 2 ) = Û ê ê y = -2 (loai y ³ ë xác định với giá trị x Đặt Do x + 2x + = Û x2 + 2x + = 18 Û (x – 3)(x + 5) = Û x = ; x = -5 191 Ta có : 1 ỉ ỉ1 = k = kỗ + ữ= kỗ (k + 1)k (k + 1) k è k k +1ø è k æ k ửổ 1 ổ = ỗ1 + < 2ỗ ữỗ ữ Do ú : (k + 1) k k +1 øè k k +1 ø è è 1 1 ỉ ỉ Vậy : + + + + < ỗ1 ữ + 2ỗ (n + 1) n 2ứ ố ố ổ = ỗ1 ÷ < (đpcm) n +1 ø è 37 ửổ 1 ữỗ ữ k + ứố k k +1 ø 1 ÷ k k +1 ø 1 ư ỉ ÷ ữ + + ỗ 3ứ n +1 ø è n www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU > (a, b > ; a ≠ 0) ab a + b 192 Dùng bất đẳng thức Cauchy 193 Đặt x – y = a , x + y = b (1) a, b Ỵ Q y ÎQ x-y a a = Þ x - y = Î Q (2) b x+ y b a) Nếu b = x = y = 0, b) Nếu b ≠ Từ (1) (2) : 199 Nhận xét : ( 1ỉ x = ỗb + ữ ẻ Q ; 2ố bứ ( x2 + a2 + x ) x + x2 + a £ Do a ≠ nên : x , )( 1ổ aử y = ỗb - ữ ẻ Q 2è bø ) x + a - x = a Do : ) ( 5a (1) Û x + x + a £ x2 + a2 x + a + x > x + x = x + x ³ Suy : ( x2 + a2 + x )( x2 + a2 - x ) x2 + a2 x + a + x > , "x éx £ ê Vì : (1) Û x + a £ x + a - x Û 5x £ x + a Û ê ì x > ê í25x £ 9x + 9a ëỵ éx £ Ûê Û x£ a ê0 < x £ a ë - 2a 207 c) Trước hết tính x theo a x = Sau tính + x a(1 - a) a(1 - a) ( ) Đáp số : B = d) Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương tự : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = 2x + Suy điều phải chứng minh x 1 209 Ta có : a + b = - , ab = nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + = 2 17 a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = - = ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - = 4 17 ỉ 239 Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = - - ỗ - ữ ( -1) = è 64 ø 64 208 Gọi vế trái A > Ta có A = 210 a) a = ( - 1) = - 2 = - a = ( - 1)3 = 2 - + - = - = 50 - 49 )n = A - B ; (1 + )n = A + B với A, B Ỵ N Suy : A2 – 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )]n = (- 1)n b) Theo khai triển Newton : (1 - Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) 38 www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU Bây ta xét an Có hai trường hợp : * Nếu n chẵn : an = ( - 1)n = (1 A2 – 2B2 = thỏa mãn (1) )n = A - B = A - 2B2 Điều kiện * Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 - )n = B - A = 2B2 - A Điều kiện 2B2 – A2 = thỏa mãn (2) 211 Thay a = vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c = Û (b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 – 2x – 2a = Û x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = Û (x2 – 2)(x + a) = Các nghiệm phương trình cho là: ± - a 1 + + + n a) Chứng minh A > n - : Làm giảm số hạng A : 2 = > = k +1 - k k k+ k k +1 + k Do A > é - + + - + + + - n + n + ù = ë û 212 Đặt A = ( =2 ( ( ) ) ( ) ) ( ) n +1 - = n +1 - 2 > n +1 - > n - b) Chứng minh A < n - : Làm trội số hạng A : ( ) 2 = < = k - k -1 k k+ k k + k -1 Do : A < é n - n - + + - + - ù = n - ë û ( ) ( ) ( ) 213 Kí hiệu a n = + + + + có n dấu Ta có : a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = + a < + = a100 = + a 99 < + = Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + )2 = + Ta có = 48 nên < < Þ 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 x = + Xét biểu thức y = (2 - )2 y = - Suy x + y = 14 Dễ thấy < - < nên < (2- )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a ] = 51 215 Đặt x – y = a ; x + y = b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : a) Nếu b ≠ 39 x-y a = Þ x+ y b x- y= a số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có : b www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MU 1ổ aử 1ổ aử x = ỗ b + ữ l s hu t ; y = ỗ b - ÷ số hữu tỉ 2è bø 2è bø b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ n ưỉ 1 ỉ ổ1 = = nỗ + ữ= nỗ ữỗ ữ= (n + 1) n n(n + 1) n + øè n n +1 ø è n n +1ø è n ỉ n ưỉ 1 ư ỉ = ỗ1 + ữỗ ữ < 2ỗ ữ Từ ta giải tốn n +1 øè n n +1 ø n +1 ø è n è 216 Ta có 217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng qt, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … a25 ≥ 25 Thế : < 1 1 1 + + + £ + + + a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ 2 2 + + + + = 25 - 24 + 24 - 23 + + - + = 24 + 24 23 + 23 2+ ( =2 Từ (1) (2) suy : ( ) 25 - + = ) (2) 1 + + + < , trái với giả thiết Vậy tồn hai số a1 a2 a 25 25 số a1 , a2 , … , a25 218 Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt + x = a ³ ; - x = b ³ Ta có : ab = - x , a2 + b2 = Phương trình : Þ a2 - a2b + b2 + ab2 = Þ a2 b2 + = 2 +a -b (2 - b + a - ab) (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) Þ 2 (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a + b2 = 4) Þ a – b = (do ab + ≠ 0) 2 Bình phương : a + b – 2ab = Þ 2ab = Þ ab = Þ - x = Tìm x = a -1 219 Điều kiện : < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn : - x = a +1 a Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối : x = a +1 Điều kiện x ≤ thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) Kết luận : Nghiệm x = a Với a ≥ a +1 220 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > Từ hệ phương trình cho ta có : 40 x= 2y 2y £ = y 1+ y y www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU Tương tự y £ z ; z £ x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh tốn, cần tìm số B cho < B < 107 A + B số tự nhiên Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy : (8 + ) < ( Þ 8-3 107 ) < 107 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b Ỵ N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên Do < B < A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy 107 Chú ý: 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự câu a 222 Ta thấy với n số phương n số vơ tỉ, nên n số tự nhiên, n khác số phương n khơng có dạng ,5 Do ứng với số n Ỵ N* có số nguyên an gần n Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : < 2- < 3- < 1 Tổng quát : k - < x < k + 2 với : k2 – k + < x < k2 + k + 1- có hai nghiệm tự nhiên x < + có bốn nghiệm tự nhiên x < + có sáu nghiệm tự nhiên x < 1+ có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tương đương Rõ ràng bất phương trình có 2k nghiệm tự nhiên : k2 – k + ; k2 – k + ; … ; k2 + k Do : ỉ ỉ ỉ ç 1 1 1 ÷ ç1 1÷ ç 1 1 ÷ + + + = + + ỗ + + + ữ + + ỗ + + + ữ = 2.44 = 88 a1 a2 a1980 ỗ 1 ữ ỗ 14 244 ÷ 2 44 44 44 {÷ 4 ỗ 1442444 ữ ỗ soá soá 88 soá è ø è ø è ø 223 Giải tương tự 24 a) < an < Vậy [ an ] = b) ≤ an ≤ Vậy [ an ] = c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n ≥ 45 < an < 46 Như với n = [ an ] = 44, với n ≥ [ an ] = 45 41 www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 224 Cần tìm số tự nhiên B cho B ≤ A < B + Làm giảm làm trội A để hai số tự nhiên liên tiếp Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 Þ 4n + < 16n + 8n + < 4n + 16n + 8n + < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + Þ 4n2 + 4n + < 4n2 + Þ (2n + 1)2 < 4n2 + 16n + 8n + < (2n + 2)2 Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 225 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 x + y số tự nhiên có tận (2) Ta chọn y = ( 3- ) 200 - < 0,3 nên < y < 0,1 Điều kiện (1) Ta có < chứng minh Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có : x+y= ( 3+ ) 200 + ( (1) 3- ) 200 ( = 5+2 ) 100 ( + 5-2 ) 100 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức : a2 = 10a – (3) ; b2 = 10b – (4) Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn), tức Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 º - Sn+1 (mod 10) Do Sn+4 º - Sn+2 º Sn (mod 10) (5) Ta có S0 = (5 + ) + (5 - )0 = + = ; S1 = (5 + ) + (5 - ) = 10 Từ cơng thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 226 Biến đổi ( 3+ ) 250 ( = 5+2 ) 125 Phần nguyên có chữ số tận (Giải tương tự 36) 227 Ta có : ( ) ( ) ( ) ( A = é ù + + é ù + é ù + + é ù + é ù + + é 15 ù + é 16 ù + + é 24 ù ë û ë û ë û ë û ë û ë û ë û ë û Theo cách chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 x x (3 – x) Áp dụng bất đẳng thức 2 ỉx x ç + +3- x ÷ x x x x Cauchy cho số không âm , , (3 – x) ta : (3 – x) ≤ ç ÷ = 2 2 ç ÷ è ø 228 a) Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = Do A ≤ (1) b) Xét x > 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận : 42 www.MATHVN.com ) WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU ìx ï = 3-x max A = Û í Û x = ïx ³ ỵ 229 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : x + + - x + 3 (x + 1)(7 - x).2 = Û (x + 1)(7 - x) = Û x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt x - = y ; x + = z Khi x – = y2 ; x + = z2 nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ : ì y + z = (2) ï íz - y = (3) ïz ³ (4) ỵ Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y3 – y2 + 6y – = Û (y – 1)(y2 + 6) = Û y = Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 1 + = 2 230 a) Có, chẳng hạn : a + b = Bình phương hai vế : a + b + ab = Þ ab = - (a + b) b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2 – 2(a + b) Þ 2(a + b) Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn = + (a + b)2 – 4ab m m3 (phân số tối giản) Suy = Hãy chứng minh n n m m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết phân số tối giản n m b) Giả sử + số hữu tỉ (phân số tối giản) Suy : n m3 m 6m = + = + 3 = + Þ m = 6n3 + 6mn (1) Þ m M Þ m M n n n 231 a) Giả sử ( số hữu tỉ ) Thay m = 2k (k Ỵ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 Þ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho Þ n3 chia hết cho Þ n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết m phân số tối giản n 232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh a+b+c ³ abc x3 + y3 + z3 ³ xyz hay x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập sbt) a+b+c Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : ³ abc tương đương với Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có : 43 www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU a+ b+ c+d 1æa+ b c+d = ỗ + ab + cd ab cd = abcd ÷³ 2è 2 ø a+b+c ỉa+ b+ c+d Trong bất đẳng thc ỗ ta c : ữ abcd , t d = è ø ( ) a+b+c ổ ỗa+ b+ c+ ữ a+b+c a+b+c ổa+ b+cử ị ỗ ỗ ữ abc ữ abc 3 ố ứ ỗ ữ è ø a+b+c Chia hai vế cho số dương (trường hợp số a, b, c 0, tốn 3 a+b+c ỉa+b+cư chứng minh) : ỗ abc ữ abc 3 è ø a+b+c Xảy đẳng thức : a = b = c = Û a=b=c=1 b c d a 233 Từ giả thiết suy : + + £ 1= Áp dụng bất đẳng thức b +1 c +1 d +1 a +1 a +1 b c d bcd Cauchy cho số dương : ³ + + ³ 3 Tương tự : a +1 b +1 c +1 d +1 (b + 1)(c + 1)(d + 1) acd ³ 3 b +1 (a + 1)(c + 1)(d + 1) abd ³ 3 c +1 (a + 1)(b + 1)(d + 1) abc ³ 3 d +1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) Nhân từ bốn bất đẳng thức : ³ 81abcd Þ abcd £ 234 Gọi A = x2 y2 z2 + + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : y2 z2 x2 81 ỉ x2 y2 z2 ổx y zử 3A = ỗ + + ữ (1 + + 1) ỗ + + ÷ (1) z x ø èy z xø èy x y z x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : + + ³ 3 = y z x y z x (2) Nhân vế (1) với (2) : ỉx y zư ỉx y zư x y z 3A ỗ + + ữ ỗ + + ữ ị A + + y z x èy z xø èy z xø 235 Đặt x = 3 + 3 ; y = 3 - 3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : 44 www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n n(n - 1) n(n - 1)(n - 2) n(n - 1) 2.1 ỉ 1ư 2+ + + n ỗ + ữ = + n + n 2! n 3! n n! n è nứ 1ử ổ1 < + + ỗ + + + ÷ n! ø è 2! 3! 1 1 1 Dễ dàng chứng minh : + + + £ + + + = 2! 3! n! 1.2 2.3 (n - 1)n 1 1 1 = - + - + + - = 1- < 2 n -1 n n Do (1 + )n < n b) Với n = 2, ta chứng minh n Với n ≥ 3, ta chứng minh (2) Û ( n +1 n +1 ) n(n +1) < n > n +1 n + ( n) n > (1) Thật vậy, (1) Û n(n +1) ( ) ( ) 3 > Û 32 > 22 (2) Thật : n n Û (n + 1) < n n +1 (n + 1)n ổ 1ử < n ỗ + ÷ < n (3) n n è nø n ổ 1ử Theo cõu a ta cú ỗ + ÷ < , mà ≤ n nên (3) chứng minh è nø Do (2) chứng minh ( ) 237 Cách : A = x + + x + x + ³ A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A ³ (x + x + 1)(x - x + 1) = x + x + ³ A = với x = 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm : ỉx x ç + +x-2÷ A x x ỉ 2x - ö - = (x - 2) £ ç ÷ = ç ÷ £ 2 ố ứ ỗ ữ ố ứ - A ≤ 32 Þ A ≥ - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện : x ≤ ỉ x2 x2 ç + +9-x ÷ x2 x2 A = x (9 - x ) = (9 - x ) Ê ỗ ữ = 4.27 2 ỗ ữ ỗ ữ ố ø max A = với x = ± 240 a) Tìm giá trị lớn : 45 www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM Cách : Với ≤ x < MAI TRỌNG MẬU A = x(x2 – 6) ≤ ≤ x ≤ Þ ≤ x2 ≤ Þ ≤ x2 – ≤ Với x ≥ Ta có Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 )3 = = (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) – 6x - 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - ≥ - A = - với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + 2 + 2 ≥ 3 x3 2.2 = 6x Suy x3 – 6x ≥ - A = - với x = 241 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : x x æ 4x + - 2x + - 2x ÷ = è ø max V = Û 4x = – 2x Û x = b) Đặt c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± x x x Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 x 3-2x 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ỗ x 3-2x x dm 2 - x = a ; x - = b Đáp số : ; ; 10 2x - = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = -1 ± Û x = y Đáp số : ; e) Rút gọn vế trái : x - x - Đáp số : x = g) Đặt - x = a ; x - = b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải d) Đặt ( ) a3 - b a - b a3 - b phương trình cho Phương trình cho trở thành : = a+b a - b a3 - b 3 Do a + b = nên = Þ (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) a+b a +b Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = h) Đặt x + = a ; x - = b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2) Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = 46 www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho Đặt x +1 =a ; x+2 Cách : Đặt 3 x+2 x+3 = b Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm x+2 x + = y Chuyển vế : y3 - + y3 + = -y Lập phương hai vế ta : y3 – + y3 + + 3 y - (- y) = - y3 Û y3 = y y6 - Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y2 = y - Lập phương : y6 = y6 – Vô n0 Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng : x x < -2 x > -x x +1 < -1 > -1 x+2 < > k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), mn £ Theo bất đẳng thức Cauchy m+n , ta có : x+3 < > Vế trái < > ab + a + b = (2) a + b 1+ a 1+ b + + = 2 1+ a 1+ b a+b = a + b +1£ + +1 = +2 = 2 3= a b + a + b £ Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt a - x = m ³ ; b - x = n ³ m4 + n4 = a + b – 2x Phương trình cho trở thành : m + n = m + n Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) Đặt x + x y + y x + 2x y + y - 2x y = = x + xy + y x + xy + y a = x ; b = y , ta có : A = (x = + y ) - (xy) 2 x + xy + y 2 (x = + y + xy )( x + y - xy ) x + y + xy 2 = x + y - xy Vậy : A = a + b - ab (với a2 + b2 ≠ 0) 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A = x2 - x +1 + x2 + x +1 ³ x - x + x + x + = (x - x + 1)(x + x + 1) = = x + x + ³ Đẳng thức xảy : ìx + x + = x - x + ï Û x = í x + x2 +1 = ï ỵ Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = Û x = 47 www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : 3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = 245 Vì + Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn : (4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b Ỵ Z nên p = 4a + b + 42 Ỵ Z q = 2a + b + 18 Ỵ Z Ta phải tìm số ngun a, b cho p + q = Nếu q ≠ =- p , vơ lí Do q = từ p + q = ta suy p = q nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = : ì 4a + b + 42 = Suy a = - 12 ; b = í ỵ 2a + b + 18 = Vậy + p p p3 246 Giả sử số hữu tỉ ( phân số tối giản ) Suy : = Hãy chứng minh p q q q p q chia hết cho 3, trái với giả thiết phân số tối giản q 247 a) Ta có : Do : 3 1+ = ( 1+ ) = 1+ 2 + = + 2 ( + - 2 = + 2 - 2 = 32 - 2 ) = b) + - = -1 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a = 20 + 14 + 20 - 14 + 3 (20 + 14 2)(20 - 14 2).a Û a = 40 + 3 202 - (14 2) a Û a3 – 6a – 40 = Û (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên Þ a = 249 Giải tương tự 21 250 A = + - 251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3 + Suy x3 = 12 + 3.3x Û x3 – 9x – 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25 b) Đặt u = c) Đặt : ì u = v3 + ï x - , v = x - , ta : í Û u = v = - Þ x = ïv = u + ỵ x + 32 = y > Kết x = ± 254 Đưa biểu thức dạng : A = x3 + + + x + - Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = Û -1 ≤ x ≤ 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 Đặt x = y x = y 258 Ta có : P = 48 (x - a) + Þ P = 23 x + ( x - b) = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ Û a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a Û a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a + b - c) + (b + c - a) =b (b + c - a) + (c + a - b) (b + c - a)(c + a - b) £ =c (c + a - b) + (a + b - c) (c + a - b)(a + b - c) £ =a (a + b - c)(b + c - a) £ Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b – c = b + c – a = c + a – b Û a = b = c (tam giác đều) 260 x - y = (x - y) = (x + y)2 - 4xy = + = 2 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = 262 Đưa pt dạng : ( ) ( 263 Nếu ≤ x ≤ y = 264 Đặt : ) ( 2 x - -1 + x - = y ³ M = x - y-3 -2 + ( ) z - - = )( ) x -1 + - x -1 265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64 Û x = y = 266 Với a, b ta ln có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 ≥ 2ab Û 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab Û 2c2 ≥ (a + b)2 Û c ≥ a + b Û c ≥ Dấu đẳng thức xảy a = b 267 Biến đổi ta : ( a 'b - ab ' ) +( a 'c - ac' ) +( b 'c - bc' a+b ) =0 268 – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ -Hết - 49 www.MATHVN.com ... a+b 2(y - 2) ab £ Theo bất đẳng thức Cauchy : ìx = í ỵy = 1 ,b= Ta thấy 199 7 + 199 6 199 8 + 199 7 199 7 + 199 6 < 199 8 + 199 7 183 a = Nên a < b 184 a) A = - với x = max A = b) B = với x = ± max B... Đặt 0 ,99 9 99 = a Ta chứng minh 20 chữ số thập phân a chữ số 24 c) A < Û 20 chữ số a < Thật ta có : < a < Þ a(a – 1) < Þ a2 – a < Þ a2 < a Từ a2 < a < suy a < a < Vậy 0 ,99 9 99 = 0 ,99 9 99 24 24... = + 4x + 2x 1 1 + + + + < 2 (n + 1) n 1 1 182 Cho A = + + + + Hãy so sánh A 1 ,99 9 1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 183 Cho số x, y x + y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số 181 CMR, "n Î Z+ , ta có