de thi hoc sinh gioi mon toan 9

2 Cho hình bình hành ABCD, qua đỉnh D kẻ một đường thẳng cắt các đường thẳng AC, AB, BC tại M, N, K... LỜI GIẢI VÀ THANG ĐIỂM Lời giải.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC ĐỨC CƠ TRƯỜNG PTCS LƯƠNG THẾ VINH KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS Năn học 2009-2010 Đề thi Môn : Toán Thời gian: 150 phút Bài 1( 4đ) P 1) Rút gọn biểu thức sau: x2 y ( x  y)2  xy x y 2 x  2 x  2 2  x2    x  x 2 2) Giải phương trình: Bài 2( 4đ) 1) Phân tích thành nhân tử: a3 +b3 +c3 -3abc x y2 y      1   0 2) Cho a b c và abc ≠ Chứng minh biểu thức: bc ac ab M 2 2 a b c không phụ thuộc vào a,b,c Bài (4đ) 1) Cho: 1 1 A     1 2 3 120  121 1 B 1    35 Hãy so sánh A và B 2) Cho a,b,c là số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1   2(   ) p a p b p c a b c với p là nửa chu vi tam giác đó Bài 4(8đ) 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn vẽ đường cao BE và AD Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC AD a) Chứng minh rằng: tgB.tgC = HD b) Chứng tỏ HG//BC  tgB.tgC = 2) Cho hình bình hành ABCD, qua đỉnh D kẻ đường thẳng cắt các đường thẳng AC, AB, BC M, N, K chứng minh rằng: a) DM = MN MK DM DM  1 b) DN DK LỜI GIẢI VÀ THANG ĐIỂM Lời giải Điểm Bài 1) Với Đk x 0; y 0; x y ta có: x2 y ( x  y )2 P  xy x y  x2    x  xy x  y  x y       xy x  y  x y  y2 y (2  x )3  (2  (2  x )3  (2  0.25 0.25 0.5 x )3 3 x 0.25 0.25 0.5 x )3  (4  x)3 18 x 0.5 (4  x)3 3 x   3x – > và (4  x) (3x  8) x  và x  x 0 Vậy x = thỏa đk đầu bài Bài 2: 1) a3 +b3 +c3 -3abc = =(a3+3a2b+3ab2+b3) +c3 (3abc+3a2b+3ab2) =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)  (a  b)2  (a  b)c  c  3ab  =(a+b+c)  =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 2) Theo câu a ta có a+b+c = thì a3 +b3 +c3 -3abc = 0=> a3 +b3 +c3 = 3abc áp dụng kết trên nếu: 1 1 1   0    3 a b c a b c abc ta có: 0.5 0.5 2) Đk: < x < Quuy đồng mẫu thức khử mẫu ta đưa pt dạng: Điểm Bài     Xét TH: Xy > => P = Xy < => P = Vậy P = Lời giải 1 A    1 2 3  120  121      120  121  121  10 1 B 1    35 2     2 2 35 2     1 2 35  35 1  B  2(    1 2 35  36 B  2(6  1) 10 Vậy B >A 1   2) Ta chứng minh : x y x  y Áp dụng bđt trên ta có: 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1 4    p  a p  b 2p  a  b c 1 4    p  b p  c 2p  b c a 1 4    p c p a 2p c a b 1 1 1 2(   ) 4(   ) p a p b p c a b c 1 1 1   2(   ) p a p b p c a b c (có thể có nhiều cách khác để chứng minh) 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.75 0.5 0.25 bc ac ba abc abc abc      a b2 c a b c 1 abc(   ) abc 3(abc 0) a b c abc M 0.75 0.25 Bài 1) =>Kết luận 0.5 AD AD a) tìm tgB= BD ,tgC= CD AD => tgB.tgC= BD.CD BDH ADC  BD.CD  AD.DH AD =>tgB.tgC= DH AM 3 b) chứng minh : GM ( M là 0.5 0.5 0.5 0.5 trung điểm BC)  ADM có HG//BC  HG // DM AM AH   GM HD  tgB.tgC 0.5 (nếu hs cm hai chiều thì chiều thứ 0.75đ, chiều ngược lại 0.75đ) 2) a) chứng minh MD AM MD CM  (1),  (2) MK MC MN MA MD DM MA CM   MK MN MC MA MD MK MN Từ (1) => MK MC MK MC    MK  MD AM  MC KD AM  MC (1') 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Từ (2)=> MD MC MD MC    MN  MD AM  MC ND AM  MC (2 ') MK DM  DK DN Từ (1’,2’) => DM DM MK DM DK      1 DN DK DK DK DK 0.5 0.5 0.5