Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh ninh bình năm học 2016 2017 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: TỐN Ngày thi: 21/02/2017 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu (4,0 điểm): Cho biểu thức: M  x  16 x  x 1 với x  0; x  4; x  16   x 6 x 8 2 x x 4 a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm x để M  c) Tìm số nguyên x để M số nguyên Câu (6,0 điểm): Giải phương trình, hệ phương trình sau: a) x  2x  2x  2x  x  2x  10  b) x   x  x  10 c) x  2y  2xy  4x  3y   , x, y số nguyên dương  4x  (1  )3  x  y 1  d)   4y  (1  ) 1  x  y 1 Câu (2,0 điểm): Cho phương trình: x  2(m  1)x  m2  2m   ( x ẩn; m tham số khác 0) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;x thỏa mãn: 10   0 x  x x1x 9m Câu (6,0 điểm): Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định C điểm thay đổi đường tròn (C khác A B) Gọi H hình chiếu C AB, I trung điểm AC Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O; R) M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn (O;R) c) Chứng minh IK song song với AB d) Xác định vị trí điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn Câu (2,0 điểm): Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q  a  b3  c3 HẾT Họ tên thí sinh : Số báo danh:…………… Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2016-2017 Môn: TOÁN - Ngày thi 21/2/2017 (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) I Hướng dẫn chung Bài làm học sinh đến đâu cho điểm đến Học sinh sử dụng kết câu trước làm câu sau Đối với hình, vẽ sai hình khơng vẽ hình khơng cho điểm Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho điểm đủ phần hướng dẫn, thang điểm chi tiết tổ chấm thống Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch đảm bảo thống thực toàn hội đồng chấm Điểm toàn thi lẻ đến 0,25 II Hướng dẫn chi tiết Câu Đáp án x  16 x  x 1   với x  0; x  4; x  16 x 6 x 8 2 x x 4 a) Rút gọn biểu thức M Điểm Cho biểu thức M  (1,25 điểm) x  16 x  x 1   ( x  2)( x  4) x 2 x 4 0.25  x  16  ( x  4)( x  4)  (2 x  1)( x  2) ( x  2)( x  4) 0.25  x x 2 ( x  2)( x  4) 0.25  ( x  2)( x  1) ( x  2)( x  4) 0.25 - Ta có M   x 1 x 4 Câu 1(4đ) b) Tìm x để M = x 1 6 Ta có: M   x 4  x   6( x  4)  x 5  x  25 c) Tìm số x nguyên để M số nguyên 0.25 (1,25 điểm) 0.5 0.25 0.25 0.25 (1,5 điểm) x 45  1 x 4 x 4 Để M số nguyên  Z  ( x  4) ước x 4 Ta có: M  0.5 0.25  ( x  4) 5;5; 1;1  x 1;9;3;5 0.25 Suy ra: x  9; 25; 81 0.25 Vậy: x  9; 25; 81 M  Z 0.25 Giải phương trình, hệ phương trình sau a) GPT: x  x3  x  x  x  x  10  - Điều kiện x  R (hoặc x2  2x  10  ) (1,5 điểm) 0.25 0.25 - Phương trình  ( x4  x3  x2 )  ( x2  x  1)  x2  x  10   ( x  x)  ( x  1)  ( x  1)   Câu (6đ) 0.25 ( x  x )   Do x  R : ( x  1)2   ( x  x)  ( x  1)  ( x  1)     ( x  1)   ( x  x )   Dấu xẩy ( x  1)2   x  1 (tmđk)   ( x  1)   0.25 0.25 Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x = -1 0.25 b) GPT: x   x  x  10 - Điều kiện x  2 (1,5 điểm) - Phương trình:  ( x  2)( x  x  4)  x  x   3( x  2) 4 0.25 x2 3( x  2)  1 x  2x  x  2x  0.25 t  x2 Đặt t  (t  0) , ta có 4t   3t   t  x  2x   2 +) TH1: t   x   x  x   x  3x    x  1; 2 (tm : x  2) 0.25 0.25  11  177 (tm : x  2) x  2 +) TH2: t   9( x  2)  x  x   x  11x  14     11  177 (tm : x  2) x     - Vậy tập nghiệm pt: S  1; 2;   0.25  11  177 11  177  ;  2   0.25 *Cách khác: - Điều kiện x  2 - Phương trình  ( x  2)( x  x  4)  ( x  x  4)  3( x  2) 0.25 Đặt u  x2  x  4; v  x  2;; u  0, v  Khi ta có 4uv  u  3v2 0.25 u  v Học sinh lập luận  u  3v 0.25 +) TH1: u  v  x  x   x   x  3x    x  1; 2 (tm : x  2) 0.25  11  177 11  177   ;  2     +) TH2: u  3v  x  x   9( x  2)  x  11x  14   x     - Vậy tập nghiệm pt: S  1; 2; 0.25 11  177 11  177   ;  2     2 c) GPT: x  y  2xy  4x  y   , x, y số nguyên dương 0.25 (1,5 điểm) Viết lại pt dạng: x2  2x( y  2)  y  y   (*) Coi (*) pt bậc hai ẩn x Pt (*) có nghiệm nên 0.25 '   ( y  2)2  (2 y2  y  2)   y  y    3  y  0.25 Do y số nguyên dương nên y  1; 2 0.25  x  1 x  +) TH1: y   x  x     0.25 Cặp số x = 3; y = thỏa mãn pt ban đầu +) TH2: y   x2   x  (ktm : x  0) - Vậy nghiệm pt: ( x; y)  (3, 1)   x  2(1  x  y  1)   d) GHPT:   y  2(1  ) 1  x  y 1 0.25 0.25 (1.5 điểm) - Điều kiện: x   ; y   ; x  y   0.25 2  1  x  y   x  (a)  - Hệ phương trình   1 1   (b)  x  y  4y  Từ hệ phương trình suy x   ; y   0.25  (1) 4x  4y  2 Trừ vế theo vế pt (a) cho pt (b), ta được:   (2) x  y 1 4x  4y  Nhân tương ứng hai vế (1) (2):   x  y 1 4x  y   4(4 x  2)(4 y  2)  ( x  y  1)(4 x  36 y  16) Cộng vế theo vế pt (a) pt (b), ta được:  0.25 0.25  x  xy  y  5( x  y )   ( x  y)( x  y  5)  +) TH1: x  y Thay vào (a):  4y    y    1   (4y  2)   4y    2y  4y   4y    y   1 1 1 1 1 1 y    x   (tm : x  ; y  ); y   x  (tm : x  ; y  ) 4 2 2 2 1 +) TH2: x  y   loại x   ; y   2   1   );( , )  - Vậy nghiệm hệ là: ( x; y )  ( , 2  0.25 0.25 Cho phương trình x  2(m  1) x  m2  2m   ( x ẩn; m tham số khác 0) Tìm m để Câu 3(2đ) phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 10   0 x  x2 x1 x2 9m (2 điểm) Phương trình phải có nghiệm phân biệt x1; x2 0.25   '   (m 1)2  (m2  2m  1)   4m   m  Theo Viet: x1  x2  2(m  1); x1 x2  m2  2m  10   x1 x2   m  2m    m  1 Để tồn đẳng thức 2  x1  x2 x1 x2 9m 0.25 (Học sinh không lập luận phần cho điểm) Ta có: 10 10   0   0 2 x  x x1x 9m (x1  x )  2x1x x1x 9m 10 1 10    0   0 2 4(m  1)  2(m  2m  1) m  2m  9m m  6m  m  2m  9m 1 10 1 10  (   )0   0 1 m m6 m2 m6 m2 m m m m Đặt t  m  Do m  0; m  1 nên t  0; t  2 Khi ta có phương trình m  t  3 (tm : t  0; t  2) 1 10     10t  22t  156    26 t  t 6 t 2 (ktm: t  0; t  2)  0.25 Với t  3  m  0.25 0.25 0.25   3  3     3  m2  3m    m   ;  m     0.25   3  3    ;  giá trị cần tìm     Vậy m   0.25 Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định C điểm thay đổi đường tròn (C khác A B) Gọi H hình chiếu C AB, I trung điểm AC Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O; R) M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH K M C Câu 4(6đ) I K A O H B a) Chứng minh điểm C, I, O, H thuộc đường tròn (1,5 điểm) 0.5 +) CH  AB  CHO  900 nên H thuộc đường tròn đường kính CO +) OA  OC; IA  IC  AOC cân O có trung tuyến OI nên OI  AC  OIC  90 0.5  I thuộc đường tròn đường kính CO Vậy: điểm O, I, C, H thuộc đường tròn đường kính CO b) Chứng minh MC tiếp tuyến của (O; R) Tam giác OAC cân O, có OI đường trung tuyến nên OI đường trung trực Mà M  OI  MA  MC 0.5 (1,5 điểm) 0.5 OA  OC  Xét hai tam giác AMO CMO có OM chung  OAM  OCM (c.c.c)  MA  MC  Vì MAO  900  MCO  900  MC  CO , hay MC tiếp tuyến (O;R) c) Chứng minh IK song song với AB 0.5 0.5 (1,5 điểm) CH  AB KH BH BH  KH / / MA    (1) MA AB R  MA  AB Ta có  0.25 Do ACB  900  BC  AC  BC / /OM Xét hai tam giác BCH OMA có 0.25  CH BH BH  BHC  OAM  BCH OMA    (2)  MA OA R CBH  MOA   Từ (1) (2) suy CH  2KH  K trung điểm CH  IC  IA  IK đường trung bình CAH  IK / / AH  IK / / AB CAH có:   KC  KH 0.25 0.25 0.5 d) Xác định vị trí điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn (1,5 điểm) Chu vi tam giác ABC (2P)  AB  BC  CA  2R  (CB  CA) 0.25 2 2 2 Mặt khác ta có (CB  CA)  (CB  CA )(1  )  AB  8R 0.25 0.25  CA  CB  2 R Suy (2P)  2R  2R  (2  2) R 0.25 0.25 Dấu “=” xảy  CA  CB  C điểm cung AB 0.25 Vậy: Max(2 P)  2(1  2) R  C điểm cung AB Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức (2,0 điểm) Q  a3  b3  c3 a, b, c    a, b, c  a  b  c  Do  0.25 Ta có b3  c3  (b  c)3  3bc(b  c)  (3  a)3  3(a  3)bc 0.25 a   3   3(a  3)bc  (a  3)(3  a)   (3  a)3 Do  bc 2 4 bc  ( )  (3  a)   Câu 3 3 3 5(2đ) Suy b  c  (3  a)  (3  a)  (27  27a  9a  a ) 4 Khi Q  a3  b3  c3  a3  (27  27a  9a  a3 )  (a3  3a  9a  9) 4 3    (a3  3a  9a  5)     (a  1)2 (a  5)   4 0.25 0.25 0.25 0.25  a     a   a  Dấu xẩy  b  c   a  b  c 1  a  b  c  a   a  b  c   0.25 Vậy giá trị nhỏ Q a = b = c = 0.25 ... VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2016- 2017 Mơn: TỐN - Ngày thi 21/2 /2017 (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) I Hướng dẫn chung Bài làm học sinh đến... x2 x1 x2 9m 0.25 (Học sinh không lập luận phần cho điểm) Ta có: 10 10   0   0 2 x  x x1x 9m (x1  x )  2x1x x1x 9m 10 1 10    0   0 2 4(m  1)  2(m  2m  1) m  2m  9m m  6m... sinh đến đâu cho điểm đến Học sinh sử dụng kết câu trước làm câu sau Đối với hình, vẽ sai hình khơng vẽ hình khơng cho điểm Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho điểm đủ phần hướng