S GD&T QUNG BèNH CHNH THC H v tờn: S BO DANH: K THI CHN HSG TNH NM HC 2015-2016 Khúa ngy 23 thỏng nm 2016 Mụn thi: TON LP Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) gm cú 01 trang Cõu (2.0 im) Cho biờu thc: P = x2 x x + x 2( x 1) + vi < x x + x +1 x x a Rut gon biờu thc P b Tim x biờu thc P at gia tri nho nhõt Cõu (3.0 im) a Cho phng trinh: x + 2mx + m = (tham sụ m) Tim m phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 thoa man | x1 x2 + x1 + x2 |= b Giai hờ phng trinh: { x3 x y + x = y xy + y x + x = y x + 11 Cõu (2.5 im) Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O) v ngoi tip ng trũn (I), AI ct (O) ti M (khỏc A), J l im i xng vi I qua M Gi N l im chớnh gia ca cung ẳ ABM , NI v NJ ln lt ct (O) ti E v F a Chng minh MI = MB T ú suy BIJ v CIJ l cỏc tam giỏc vuụng b Chng minh I , J , E, F cựng nm trờn mt ng trũn Cõu (1.5 im) Cho a, b > tha a + b Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc sau: M= 1 + a + b2 b + a2 Cõu (1.0 im) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng m v n tha iu kin: n + n + = ( m + m 3) ( m m + ) -hết - S GD&T QUNG BèNH K THI CHN HSG TNH NM HC 2015-2016 Khúa ngy 23 thỏng nm 2016 Mụn thi: TON HNG DN CHM LP ap an gm cú 04 trang YấU CU CHUNG * ỏp ỏn ch trỡnh by mt li gii cho mi bi Trong bi lm ca hc sinh yờu cu phi lp lun lụgic cht ch, y , chi tit v rừ rng * Trong mi bi, nu hc sinh gii sai bc gii trc thỡ cho im i vi nhng bc gii sau cú liờn quan cõu nu hc sinh khụng v hỡnh hoc v hỡnh sai thỡ cho im * im thnh phn ca mi bi núi chung phõn chia n 0,25 im i vi im thnh phn l 0,5 im thỡ tu t giỏm kho thng nht chit thnh tng 0,25 im * Hc sinh cú li gii khỏc ỏp ỏn (nu ỳng) cho im ti a tu theo mc im ca tng bi * im ca ton bi l tng (khụng lm trũn s) ca im tt c cỏc bi Cõu Nụi dung x x x + x 2( x 1) + vi < x x + x +1 x x a Rut gon biờu thc P Vi < x ta co: x2 x x ( x 1)( x + x + 1) = = x ( x 1) = x x x + x +1 x + x +1 2x + x x (2 x + 1) = = x +1 x x Cho biờu thc: P = iờm 2( x 1) 2( x 1)( x + 1) = = 2( x + 1) x x P = ( x x ) (2 x + 1) + 2( x + 1) = x Kờt luõn: P = x x + 1, < x 0,25 0,25 0,25 x +1 b Tim x biờu thc P at gia tri nho nhõt Vi < x ta co: 3 P = x x + = ( x )2 + 4 1 Dõu = xay va chi x = x = 1,0 Kờt luõn: P at gia tri nho nhõt va chi x = 2 a Cho phng trinh: x + 2mx + m = (tham sụ m) Tim m 0,25 1,0 0,50 0,50 1,50 phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 thoa man | x1 x2 + x1 + x2 |= Ta co: = m 2(m 2) = m Phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 m m m2 Theo inh ly Viet ta co: x1 + x2 = m; x1.x2 = Theo bai ra: m2 | x1 x2 + x1 + x2 |= m4 =6 2 | m m |= m2 m = m m = m m 12 = m = (loại) m = (loại) m = m = m m =0 m = m = Kờt luõn: m = ; m = b Giai hờ phng trinh: { { x3 x y + x = y xy + y x + x = y x + 11 x20 KX: x x x3 x y + x = y xy + y (1) x + x = y x + 11 (2) T (1) ta co: x3 x y + x = y xy + y x3 x y + x y + xy y = ( x3 y ) xy ( x y ) + ( x y ) = ( x y )[( x + xy + y ) xy + 1] = ( x y )( x xy + y + 1) = x y = (do x xy + y + > x, y Ă ) x= y { Thay x = y vao (2) ta co: x + x = x x + 11 (3) VP = x x + 11 = ( x 3) + 2, x [2; 4] Dõu = xay x = VT = x + x = ( x 2).1 + (4 x).1 ( x 2) + (4 x) + + = 2, x [2; 4] 2 Dõu = xay x = { x2+ x = x =3 x x + 11 = Do x = nờn y = Kờt luõn: ( x; y ) = (3; 3) Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O) v ngoi tip ng trũn (3) (I), AI ct (O) ti M (khỏc A), J l im i xng vi I qua M Gi 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 1,50 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 1,50 N l im chớnh gia ca cung ẳ ABM , NI v NJ ln lt ct (O) ti E v F a Chng minh MI = MB T ú suy BIJ v CIJ l cỏc tam giỏc vuụng 0,25 àA ã ã ã Ta cú: MBC (AM l phõn giỏc gúc BAC ) = MAC = àA àB ã ã ã (1) MBI = MBC + CBI = + 2 à ãMIB = IAB ã + IBA ã = A+ B (2) (tớnh cht gúc ngoi tam giỏc) 2 T (1) v (2) suy tam giỏc MBI cõn ti M, ú MI = MB Tng t ta co: MI = MC Xet tam giac BIJ ta co: MB = MI = IJ tam giỏc BIJ vuụng ti B Tng t: tam giỏc CIJ vuụng ti C Vy BIJ v CIJ l cỏc tam giỏc vuụng ti B v C b Chng minh I , J , E, F cựng nm trờn mt ng trũn ã ằ + sđ AE ằ ; ãAIE = sđNM ẳ + sđ AE ằ = sđNA Ta cú: NFE 2 ã ã ằ = sđ NM ẳ (N l im chớnh gia cung ẳ M sđ NA = AIE ABM ) NFE ( ) ( ) ã ã ã = 1800 EFJ ã ã Mt khỏc NFE + EFJ = 1800 v ãAIE + EIJ = EIJ Hn na I v F nm v cựng mt phớa so vi JE Kờt luõn: I , J , E, F cựng thuc mt ng trũn Cho a, b > tha a + b Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: 1 M= + a + b2 b + a2 0,25 0,25 0,25 0,50 1,0 0,25 0,25 0,50 1,5 Trc ht ta chng minh vi a > thỡ ( a + b ) ( a + b ) ( a + 1) (*) Tht vy: (*) a2 + 2ab + b a + a + ab + b 2ab a + ab 0,50 a ( b 1) (do a > 0) a +1 T (*) a + b2 ( a + b) b +1 Tng t: b + a2 ( b + a) 0,25 1 a+b+2 + (1) 2 a+b b+a ( a + b )2 a+b+2 (2) Ta chng minh vi a, b > tha a + b thỡ ( a + b)2 Tht vy: (2) (a + b)2 (a + b) + ( a + b + 1)(a + b 2) (do a + b ) T (1) v (2) suy M Du = xóy a = b = Vy giỏ tr ln nht ca M bng a = b = Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng m v n tha iu kin n + n + = ( m + m 3) ( m m + ) Cng v theo v ta c: M = 2 T iu kin n + n + = ( m + m 3) ( m m + 5) = m + m + 8m 15 Xột phng trỡnh bc hai : n + n (m + m + 8m 16) = (1) (n s n) phng trỡnh (1) cú nghim nguyờn dng thỡ = 4m + m + 32m 63 phi l mt s chớnh phng 2 Ta cú = ( 2m + ) ( m ) < ( m + ) , m Ơ * 0,50 0,25 1,0 0,25 0,25 Mt khỏc = ( 2m + 1) + 32 ( m ) Do ú = ( 2m + 1) + 32 ( m ) > ( 2m + 1) , m > 2 Khi o: ( 2m + 1) < < ( m + ) , m > Suy (1) ch cú nghim nguyờn dng n m = hoc m = Nu m = thỡ n2 + n + = vụ nghim n = Nu m = thỡ n + n 20 = n = (loại) Th li m = v n = tha iu kin bi toỏn Kờt luõn : m = ; n = 2 2 0,25 0,25 ... BèNH K THI CHN HSG TNH NM HC 2015- 2016 Khúa ngy 23 thỏng nm 2016 Mụn thi: TON HNG DN CHM LP ap an gm cú 04 trang YấU CU CHUNG * ỏp ỏn ch trỡnh by mt li gii cho mi bi Trong bi lm ca hc sinh yờu... lụgic cht ch, y , chi tit v rừ rng * Trong mi bi, nu hc sinh gii sai bc gii trc thỡ cho im i vi nhng bc gii sau cú liờn quan cõu nu hc sinh khụng v hỡnh hoc v hỡnh sai thỡ cho im * im thnh phn... chia n 0,25 im i vi im thnh phn l 0,5 im thỡ tu t giỏm kho thng nht chit thnh tng 0,25 im * Hc sinh cú li gii khỏc ỏp ỏn (nu ỳng) cho im ti a tu theo mc im ca tng bi * im ca ton bi l tng (khụng