AM DN là một hằng số c Tìm vị trí của điểm E để tổngOM OD AM DN đạt giá trị nhỏ nhất.. Bài 5: 3,0 điểm a Cho tam giác ABCABC có độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên tiếp cùng đơn vị đo..
Trang 1Tên : Trương Quang An
Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng
Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
Điện thoại : 01208127776
Nguồn gốc : Xin đề từ một em học sinh thi học sinh giỏi cấp Tỉnh ngày 24/02/2016 ,tôi đã đánh máy ,biên soạn thành một bài giải hoàn thiện
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 24/02/2016
Môn thi : Toán(Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài 1: (4,0 điểm)
a) Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần tổng của chúng
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn đẳng thức :
x y xy x y
c) Tìm các số a,b,c biết
2 2
2 1
b a
b
2 2
2 1
c b
c
2 2
2 1
a c
a
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình 3 x 2 x 1 3
b) Giải hệ phương trình 2 2
1
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện x+y+z+xy+yz+zx=6
Chứng minh rằng 2 2 2
3
x y z
b) Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng nếu b là số trung bình cộng của a và c thì 1 1 2
Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R Vẽ hai đường
kính AB và CD vuông góc với nhau Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD Nối E với C cắt OA tại M; nối E với B cắt OD tại N
a) Tính 2
.
CM CEBD theo RR
b) Chứng minh rằng tích OM OD.
AM DN là một hằng số c) Tìm vị trí của điểm E để tổngOM OD
AM DN đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị đó
Trang 2Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABCABC có độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên
tiếp (cùng đơn vị đo) Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó, biết 0
3A 2B 180 b) Cho tam giác nhọn ABC có 0
60
BAC ,BC 2 3 Bên trong tam giác này cho 2017 điểm bất kì Chứng minh rằng trong 2017 điểm ấy luôn tìm
được 169 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm
Bài làm Bài 1: (4,0 điểm)
a) Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần tổng của chúng
Bài làm
Ta có 5(a+b+c )=a.b.c (1)
Từ (1) suy ra a,b,c một trong ba số phải có 1 số chia hết cho 5
Gỉa sử c chia hết cho 5 mà c là số nguyên tố nên c=5 Với c=5 ta có :
5(a+b+5 )=a.b.5 nên (1-b)(1-a)=6
TH1: 1-b=2 và 1-a=3 nên b=-1 và a=-2 (trường hợp này không thỏa mãn )
TH2: 1-b=3 và 1-a=2 nên b=-2 và a=-1 (trường hợp này không thỏa mãn )
TH3: 1-b=-3 và 1-a=-2 nên b=4 và a=3 (trường hợp này không thỏa mãn )
TH4: 1-b=-1 và 1-a=-6 nên b=2và a=7 (trường hợp này thỏa mãn )
TH5: 1-b=-6 và 1-a=-1 nên b=7 và a=2 (trường hợp này thỏa mãn )
TH6: 1-b=-2 và 1-a=-3 nên b=3 và a=4 (trường hợp này không thỏa mãn )
Vậy c=5;b=2,a=7 và c=5;a=2,b=7
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn đẳng thức
x y xy x y
Bài làm
Từ đề bài ta có (x-2y)(x-y+2)=-3=(-1).3=(-3).1
TH1: x-2y=3 và x-y+2=-1 nên y=-6 và x=-9 (trường hợp này không thỏa mãn ) TH2: x-2y=-3và x-y+2=1 nên y=2 và x=1 (trường hợp này thỏa mãn )
Trang 3TH3: x-2y=-1 và x-y+2=3 nên y=2 và x=3 (trường hợp này thỏa mãn )
TH4: x-2y=1 và x-y+2=-3 nên y=-6 và x=-11 (trường hợp này không thỏa mãn ) Vậy tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn là (1;2) và (3;2)
c)Tìm các số a,b,c biết 2 22
1
b a
b
2 2
2 1
c b
c
2 2
2 1
a c
a
Bài làm
Từ giả thuyết đề bài ta có a,b,c >0
Từ giả thuyết 2 22
1
b a
b
ta suy ra ab
Từ giả thuyết 2 22
1
c b
c
ta suy ra bc
Từ giả thuyết 2 22
1
a c
a
ta suy ra ca
Lúc đó a=b=c Thay a=b=c vào phương trình ta có : a=b=c =1
Vậy a=b=c =1
Bài 2: (4,0 điểm)
a)Giải phương trình 3 x 2 x 1 3
Bài làm
Điều kiện x 1 Đặt a 3 x 2 Phương trình đã cho được viết lại :
3
3 3
2
3 3
( 6)( 1) 0
1
a
( do 2
6 6 0
a với mọi a )
2 1
3
x
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là x=3
Trang 4b) Giải hệ phương trình 2 2
1(1)
Bài làm
Điều kiện 1
1
x x
1 1
y y
và xy 2.
Ta có phương trình (1) biến đổi thì được 2 2 2 2
1 x y x y (3).
Từ phương trình (2) biến đổi :
x y xy
2 2
1
2 0
2
xy
x y xy
xy
4 (4) 2 1 (5) 1
xy
xy
Giải hệ phương trình (4) ta có x y 2 hoặc x y 2.
Hệ phương trình (5) vô nghiệm
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là : x y 2 hoặc x y 2.
Bài 3: (4,0 điểm)
a)Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện x+y+z+xy+yz+zx=6.Chứng minh rằng 2 2 2
3
x y z
Bài làm
Trang 5Ta có 2 2 2
2(x y z ) 2(xyyzzx)(1)
Và 2
1 2 (2)
x x
2
1 2 (3)
y y
2
1 2 (4)
z z
Cộng các vế của bất đẳng thức (1) ,(2),(3) và (4) ta có 2 2 2
3.
x y z
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x y z 1.
b)Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng nếu b là số trung bình cộng
của a và c thì 1 1 2
Bài làm
Ta có :
Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R Vẽ hai đường
kính AB và CD vuông góc với nhau Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD
Nối E với C cắt OA tại M; nối E với B cắt OD tại N
a) Tính 2
.
CM CEBD theo RR
b) Chứng minh rằng tích OM OD.
AM DN là một hằng số c) Tìm vị trí của điểm E để tổngOM OD
AM DN đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
Bài làm
Trang 6N M
D
C
O
B A
E
a) Ta có Xét ΔCMO và ΔCDE có : MEO DCE và COM 0
90
CED Nên ΔCMO ഗ ΔCDE (g.g) suy ra :⇒ 2
Lại có 2 2
2
CM CEBD R
b)Do AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau nên
CEACAO 0
45
ACO
Ta có Xét ΔAMC và ΔEAC có :
CEACAO 0
45 và ACM ACE
Nên ΔAMC ഗ ΔEAC (g.g) suy ra : AC AM
CE AE
Mà AC 2 CO (do ACO vuông cân tại O)
2
Mà ΔCMO ഗ ΔCDE (g.g) suy ra : CO OM 2CO 2OM
2
ED
AM.ED = 2 OM.AE
Vì BON ഗ BEA BO ON
BE EA
Trang 7Vì BND ഗ BDE DN BD 2BO
DN 2 ON
Ta có : AM.ED = 2 OM.AE OM ED
AM 2 EA OM ON 1
AM DN 2
c) Ta có OM ON 2 OM ON 2 1 2
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi:
E là điểm chính giữa cung nhỏ AD
Vậy giá trị nhỏ nhất của OM ON 2
E là điểm chính giữa của cung nhỏ AD
Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABCABC có độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên
tiếp (cùng đơn vị đo) Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó,
3BAC 2ABC 180
Bài làm
3BAC 2ABC 180 BACABC 0
180
ACB
Nên ACB 2ABC BAC(1)
Vậy ACB là góc lớn nhất đồng nghĩa với việc AB là cạnh lớn nhất trong tam giác Giả dụ AB>BC>AC
C
T
Đặt AC=a, BC=a+1 và AB=a+2
Lấy điểm T trên AB sao cho TB=a+1, TA=1 (AB>BC)
Tam giác BCT cân tại B
TCBCTB BCA BCT TCA 2TCA CAB (2)
Trang 8F
N
M
E I
H G
O
C B
A
Từ (1) và (2) suy ra ACT CBT ΔACT ഗ ΔABC (g.g) suy ra :
1
2 2
a
Vậy AC=2 ,AB=4,BC=3
Giả dụ AB>AC>BC
C
T
Đặt AC=a+1, BC=a và AB=a+2
Lấy điểm T trên AB sao cho TA=a+1, TB=1 (AB>AC)
Tam giác BCT cân tại B
ACT CTABCA BCT ACT 2BCTCBA(3)
Từ (1) và (3) suy ra BCT BAC ΔBCT ഗ ΔBAC (g.g) suy ra :
1
2 2
a
Vậy BC=2 ,AB=4,AC=3
b) Cho tam giác nhọn ABC có 0
60
BAC ,BC 2 3 Bên trong tam giác này cho 2017 điểm bất kì Chứng minh rằng trong 2017 điểm ấy luôn tìm
được 169 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm
Bài làm
Trang 9Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm
của BC, CA, AB
Do tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác ABC
Vì BAC600 nên MOC 600, suy ra 0 2
sin 60
MC
OAOBOC
Vì O nằm trong tam giác ABC và OM BC ON, AC OP, AB
Suy ra tam giác ABC được chia thành 3 tứ giác ANOP, BMOP, CMON nội tiếp các
đường tròn có đường kính 2 (đường kính lần lượt là OA, OB, OC)
Theo nguyên lí Diriclet thì sẽ tồn tại một tứ giác có chứa ít nhất 673 điểm, giả sử
đó là tứ giác ANOP
Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của NA, AP, PO, ON và I là trung điểm OA,
suy ra IA=IP=IO=IN=1
Khi đó tứ giác ANOP được chia thành 4 tứ giác AEIF, FIGP, IGOH, IHNE nội tiếp
các đường tròn có đường kính 1
Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tại ít nhất một trong 4 tứ giác này chứa ít nhất 2 điểm
trong 5 điểm đã cho, giả sử đó là tứ giác AEIF chứa 2 điểm X, Y trong số 2017
điểm đã cho Vì X, Y nằm trong tứ giác AEIF nên X, Y nằm trong đường tròn ngoại
tiếp tứ giác này, do đó XY không lớn hơn đường kính đường tròn này, nghĩa là
khoảng cách giữa X, Y không vượt quá 1