Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh quảng ngãi năm học 2016 2017(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 – 2017 Ngày thi 23/02/2017 Môn thi :Toán Thời gian làm :150 phút Tên : Trương Quang An Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 Nguồn sưu tầm mạng ảnh chụp đề học sinh Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (4 điểm ) a.Chứng minh n5  1999n  2017(n  ) số phương b Tìm số nguyên x,y thỏa mãn x2  y  xy  y  12 c.Cuối học kỳ ,một học sinh có 11 kiểm tra đạt điểm 8,9,10 Biết tổng điểm kiểm tra 100 Hỏi học sinh có kiểm tra đạt điểm 8,điểm ,điểm 10 ? Bài (4 điểm ) a) Giải phương trình x   x    x3  y  b) Giải hệ phương trình   x  y  xy  Bài (4 điểm ) a) Cho 5  x  ; x  3  3x   3x  a 10  25  9x Tính giá trị biểu thức P  x b Cho x,y,z > x+y+z=12 Tìm giá trị nhỏ  x  y  z  15   x  y  z  15   x  y  z  24  M   + +  y x z       Bài (5điểm ) 1/ Cho tam giác ABC vuông A có AB=9cm ,AC=12 cm Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác G trọng tâm tâm tam giác ABC.Tính độ dài đoạn thẳng IG 2/Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a Gọi M,N,P điểm lấy cạnh BC,CD DA cho tam giác MNP a.Chứng minh CN  AP2  2DP.BM b.Xác định vị trí M,N,P để tam giác MNP có diện tích bé Bài (4 điểm ) a.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính R ,biết AB=c ,AC=b ,BC=a thỏa mãn hệ thức R(b  c)  a bc Xác định hình dạng tam giác ABC b.Trên mặt phẳng cho điểm cho khoảng cách điểm tùy ý lớn Chứng minh phủ điểm hình tròn có bán kính Bài giải Bài (4 điểm ) a.Chứng minh n5  1999n  2017(n  ) số phương b Tìm số nguyên x,y thỏa mãn x2  y  xy  y  12 c.Cuối học kỳ ,một học sinh có 11 kiểm tra đạt điểm 8,9,10 Biết tổng điểm kiểm tra 100 Hỏi học sinh có kiểm tra đạt điểm 8,điểm ,điểm 10 ? Bài giải a.Ta có n5  1999n  2017  n5  n  2000n  2015  2(n  ) Ta thấy n5  1999n  2017  n5  n  2000n  2015  2(n  ) chia dư Ta nhận xét số phương chia dư Vậy n5  1999n  2017( n  ) số phương b.Cách 1:Ta có x2  y  xy  y  12  ( x  y)2  (2 y  1)2  13  (2)2  (3)2 Để ý 2y+1 có dạng lẻ nên ta có trường hợp sau : x y 2 x 1 (thỏa )  2 y    y  TH1 :   x  y  2  x0 (thỏa )  2 y   3  y  2 TH2 :   x y 2  x4 (thỏa )  2 y   3  y  2 TH3 :   x  y  2  x  3 (thỏa )   y 1   y 1 TH4 :  Vậy nghiệm nguyên phương trình (1;1) ,(0;-2) ,(4;-2) ,(-3;1) Cách 2: Ta có x2  y  xy  y  12  x2  xy  (5 y  y 12)  (1) Để phương trình có nghiệm nguyên : Ta có   4 y  y  12   y  y  12   2  y  Mà y nguyên nên ta có giá trị y : y  2; 1;0;1 x  (thỏa mãn ) x  Với y=-2 thay vào (1) ta có : ( x  2)2    Với y=-1 thay vào (1) ta có : ( x  1)2  12 (phương trình nghiệm x nguyên ) Với y=0 thay vào (1) ta có : ( x  1)2  12 (phương trình nghiệm x nguyên )  x 1 (phương trình  x  3 Với y=1 thay vào (1) ta có : ( x  1)2    nghiệm x nguyên ) Vậy nghiệm nguyên phương trình (1;1) ,(0;-2) ,(4;-2) ,(-3;1) c.Gọi x,y,z số kiểm tra đạt điểm 8,9,10 Ta có x+y+z >11 8x+9y+10z=100 (1) Ta thấy 100=8x+9y+10z > 8(x+y+z) suy x  y  z  Ta có 11  x  y  z  25  x  y  z  12  x  12  y  z Thay x vào (1) ta có y+2z=4 suy z=1 (vì y,z > ) Khi z=1 y=2 suy x=9 Bài (4 điểm ) a) Giải phương trình x   x  1  x3  y  b)Giải hệ phương trình   x  y  xy  Bài giải a.Đặt a  x  5; b  x  Ta có hệ sau :  b 1   a  b3   a b 1  x3 a       b  2  x  6 b  b    a b 1    a  Vậy nghiệm phương trình x=3 ,x=-6 25 b.Đặt a=x+y ,b=xy Ta có hệ phương trình viết lại :  x   a   2b a  3ab   b  y       x  2b(4b  15b  15)  a   a  2b     y  Vậy hệ có nghiệm (0;2) ;(2;0) Bài (4 điểm ) a)Cho 5  x  ; x  3  3x   3x  a Tính giá trị biểu thức P  10  25  9x x b Cho x,y,z > x+y+z=12 Tìm giá trị nhỏ  x  y  z  15   x  y  z  15   x  y  z  24  M   + +  y x z       Bài giải a P  10  25  x  3x   3x 6x    x x x.( 3x   3x  5) a x  y  z  15   x  y  z  15   x  y  z  24   +  +  y x z       b M   Thay x+y+z=1 vào M ta có : 1 4 4 M   3.(   )   3(  )   3.16    M  1 x y z x y z 12 Max M =-1 x=y=3 z=6 Bài (4 điểm ) a.Hình vẽ B I G P N D A C M Tam giác ABC vuông A nên theo định lí pitago ta có : AB2  AC  BC  BC  92  122  15 Ta có : AD  AB  AC  BC  12  15   (cm) 2 Tứ giác IDAN hình vuông nên ID=DA=AP=PI=3 (cm) Tam giác BMN có IG song song với MN nên theo hệ định lí ta-lét ta có : IG BI BG 2     IG  MN MN BN BM 3 Tam giác ABN có ID song song với AN nên theo hệ định lí ta-lét ta có : ID BI    AN  ID  4,5 (cm) AN BN Mà MN=AM-AN=6-4,5=1,5 (cm ) 3 Lúc IG  MN  1,5  (cm) b B A H M I P D N C Tam giác MNC vuông C nên theo định lí pitago ta có : MN  MC  NC  MN  (a  MB)2  NC  a2  MB2  NC  2a.MB Tương tự : MP2  a2  AP2  MB2  AP.MB Tam giác MNP nên ta có : a2  MB2  NC  2a.MB  a2  AP2  MB2  AP.MB Suy : NC  2a.MB  AP2  2.AP.MB  CN  AP2  2DP.BM b.Kẻ NI vuông góc với MP Kẻ MH vuông góc với AD 2 Ta có SMNP  NI MP  NI AB (vì MP  AB ) S MNP MP nhỏ PM nhỏ AB Khi MPDC hình chữ nhật Khi MP song song với AB N trung điểm CD Lúc SMNP  a2 Bài (4 điểm ) a.Ta có R(b  c)  a bc  Mà ta có 2R  a (2) R(b  c) bc  bc   2R  a (1) a Từ suy 2R=a nên tam giác ABC vuông A b C B D O A E F Vẽ đường tròn tâm O bán kính cm Chia hình tròn vẽ thành hình Khi AOB  600  BAO  ABO  1800  600  600 Lúc tam giác AOB tam giác nên suy AB=1 Giả sử tất điểm cho nằm hình tròn vẽ chắn khoảng cách điểm có điểm có khoảng cách nhỏ Khoảng cách tất điểm nằm đỉnh A,B,C,D,E,F hình vẽ (mâu thuẫn ) điểm trùng với O Vậy phủ điểm hình tròn có bán kính CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI ,NHƯNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN ... minh n5  199 9n  2017(n  ) số phương b Tìm số nguyên x,y thỏa mãn x2  y  xy  y  12 c.Cuối học kỳ ,một học sinh có 11 kiểm tra đạt điểm 8 ,9, 10 Biết tổng điểm kiểm tra 100 Hỏi học sinh có kiểm... giải a.Ta có n5  199 9n  2017  n5  n  2000n  2015  2(n  ) Ta thấy n5  199 9n  2017  n5  n  2000n  2015  2(n  ) chia dư Ta nhận xét số phương chia dư Vậy n5  199 9n  2017( n  )... trình (1;1) ,(0;-2) ,(4;-2) ,(-3;1) c.Gọi x,y,z số kiểm tra đạt điểm 8 ,9, 10 Ta có x+y+z >11 8x+9y+10z=100 (1) Ta thấy 100=8x+9y+10z > 8(x+y+z) suy x  y  z  Ta có 11  x  y  z  25  x  y 