S GIO DC V O TO QUNG NGI CHNH THC THI CHN HC SINH GII CP TNH NM HC 2016 -2017 MễN TON LP Thi ngy 08 thỏng 12 nm 2016 (Thi gian lm bi 120 phỳt, khụng k thi gian giao ) - ( thi gm 01 trang) Bi (4,0 im) 1) Rỳt gn biu thc: A = 2) Cho A = +3 + 3+ + x2 x x2 + x x + x +1 x x +1 a) Nờu iu kin xỏc nh v rỳt gn biu thc A b) t B = A + x Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc B Bi (4,0 im) Gii phng trỡnh 1) Gii phng trỡnh : x + x + x x = x+3 2) Gii phng trỡnh: x + x + 12 + x + 3x + = x + Bi (3,0 im) 1) Chng minh rng vi k l s nguyờn thỡ 2016k + khụng phi l lp phng ca mt s nguyờn 2) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh x 25 = y ( y + 6) Bi (7,0 im) Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB Gi C l mt im nm trờn na ng trũn (O) (C khỏc A, C khỏc B) Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca C trờn AB, D l im i xng vi A qua C, I l trung im ca CH, J l trung im ca DH ã ã a) Chng minh CIJ = CBH b) Chng minh D CJH ng dng vi D HIB c) Gi E l giao im ca HD v BI Chng minh HE.HD = HC2 d) Xỏc nh v trớ ca im C trờn na ng trũn (O) AH + CH t giỏ tr ln nht Bi (2,0 im) Cho a, b, c > Chng minh rng a b c + + > b+c c+a a+b -HT -H v tờn thớ sinh: H, tờn ch ký GT1: S bỏo danh:. H, tờn ch ký GT2: GD- Bi HNG DN CHM THI K THI HC SINH GII NM HC 2016 - 2017 Mụn thi : Toỏn Cõu Ni dung +3 Rỳt gn biu thc: A = Cõu (1,75) +3 A= + 3+ 2( + 3) A= + ( + 1) 2 + 3+ 5 + + 2(3 5) ( 1) = = im + 2( + 3) 2+ 6+2 + 2(3 5) 0,75 62 2( + 3) 2(3 5) + +3 0,5 0,5 A= 2 x2 x x2 + x x + x +1 x x +1 a) KX: x A = Bi (4 ) ( ) ( 0,25 0,5 ) x x3 x x3 +1 x2 x x2 + x A= = x + x +1 x x +1 x + x +1 x x +1 Cõu (2,25) = x = x ( ( )( ) x( )( ) x x + x +1 x +1 x x +1 x + x +1 x x +1 ) x x ( ) 0,5 x + = x x x x = x b) B = A + x 1= x + x = x x = ( x 1) 0,5 Du = xy x = x = ( TM KX) Vy GTNN ca biu thc B=-2 x=1 0,25 0,25 1) Gii phng trỡnh : x + x + x x = x+3 KX : x 0,25 x + x + x x = x+3 x 1+ x +1 + x x + = 2 x+3 x +1 + x 1 = x+3 x + 1+ x 1 = (*) Nu x phng trỡnh (*) x+3 x+3 x +1 + x 1 = x = x = x + 2 ( Cõu (2) x+3 ) ( ) 0,5 0,25 0,25 0,25 16( x 1) = x + x + x 10 x + 25 = ( x 5) = x = (TM) Nu x < phng trỡnh (*) x+3 x+3 x +1+1 x = 2= = x + x = ( TM) 2 0,25 Vy phng trỡnh cú nghim x=1 v x=5 2) Gii phng trỡnh: x + x + 12 + x + 3x + = x + t u = x + x + 12, v = x + 3x + ( u > 0, v > 0) 0,25 u = x + x + 12, v = x + x + u v = x + 10 = 2( x + 5) 0,25 0,25 0,25 T (1) 2(u + v) = (u v ) (u + v)(u v 2) = (2) Vỡ u > 0, v > , t (2) suy ra: u v = Vỡ vy x + x + 12 = x + 3x + + (3) Bỡnh phng v v thu gn ta c phng trỡnh 2 x + 3x + = x + x + x x 2 (7 x 7) + (6 x + 6) = 2 x + x + = x + x + x = 0,25 0,25 Cõu (2) 0,5 x ( x + 1)(7 x 1) = x x = 1, x = ( tm ) x = 1, x = Vy phng trỡnh cú hai nghim x = -1, x= Cõu (1,5) Bi (3 ) Cõu (1,5) 0,25 1) Chng minh rng vi k l s nguyờn thỡ 2016k + khụng phi l lp phng ca mt s nguyờn Gi s 2016k + = a3 vi k v a l s nguyờn Suy ra: 2016k = a3 - Ta chng minh a3 khụng chia ht cho 0,5 Tht vy: Ta biu din a = 7m + r, vi r { 0;1; 1; 2; 2;3; 3} 0,25 Trong tt c cỏc trng hp trờn ta u cú a3 khụng chia ht cho M 2016k luụn chia ht cho 7, nờn a3 2016k PCM 2) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 0,5 0,25 x 25 = y ( y + 6) T x 25 = y ( y + 6) Ta cú : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 0,25 ý phng trỡnh ch cha n s x vi s m bng , ú ta cú th hn ch gii vi x l s t nhiờn Khi ú: y+3+x y+3-x Ta cú ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) l s chn Suy s ( y+3+x ) v (y+3-x) cựng tớnh chn l Ta li cú tớch ca chỳng l s chn , vy s ( y+3+x ) v (y+3-x) l s chn Ta ch cú cỏch phõn tớch - 16 tớch ca s chn sau õy: -16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta có x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta có x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta có x= , y= -6 Vì phơng trình cho có nghiệm : ( x,y) { ( 5, ) ; ( 5, ) ; ( 4, 3) } 0,5 0,25 0,5 D Bi (7 ) C E I A Cõu a (1,5 ) J H B O + Vỡ ABC ni tip ng trũn ng kớnh AB nờn AC BC Suy BC CD (1) 0,5 + Lp lun ch IJ // CD (2) + T (1) v (2) suy IJ ^ BC ã = CBH ã ã + Suy CIJ (cựng ph vi HCB ) (3) 0,5 0,5 ã = +) Trong vuụng CBH ta cú: tan CBH Cõu b (2 ) CH (4) BH + Lp lun chng minh c CJ // AB + M CH AB (gt) + Suy CJ CH ã = +) Trong tam giỏc vuụng CIJ ta cú tan CIJ + T (3), (4), (5) CH CJ = HB HI 0,5 0,5 CJ CJ = ( CI = HI ) (5) 0,5 CI HI CH CJ ã ã = + Xột D CJH v D HIB cú HCJ (cmt) = BHI = 900 v HB + Nờn D CJH ng dng vi D HIB Cõu c (1,5 ) HI 0,5 ã + Lp lun chng minh c HEI = 900 + Chng minh c HEI ng dng vi HCJ HE HI = + Suy HC HJ 0,5 + Suy HE.HJ = HI.HC 0,5 0,5 + M HJ = HD; HI = HC + Suy HE.HD = HC2 C M 450 A Cõu d (2 ) H O K B N ã + Ly im M trờn na ng trũn (O) cho BOM = 450 + Tip tuyn ca na ng trũn (O) ti M ct AB ti N Ta cú M v N c nh + K MK AB ti K + Chng minh c D MON vuụng cõn ti M v KM = KN Suy ãANC = 450 Xột C M Ta cú C M nờn H K Do ú AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (khụng i) 0,5 + Xột C khỏc M Tia NC nm gia hai tia NA v NM Do ú ãANC < ãANM = 450 ã + D HNC cú NHC = 900 ã ã nờn HNC + HCN = 900 ã ã M HNC < 450 nờn HCN > 450 ã ã Suy HNC < HCN Suy HC < HN 0,5 0,5 0,5 + Do ú AH + CH < AH + HN = AN ã + Vy Khi C trờn na ng trũn (O) cho BOC = 450 thỡ AH + CH t giỏ tr ln nht Chng minh rng a b c + + > b+c c+a a+b p dng BT Cauchy ta cú a + b + c a ( b + c) Bi (2 ) 0,5 a 2a b+c a+b+c Chng minh tng t ta c b 2b c 2c ; c+a a +b+c a +b a +b+c 2( a + b + c) a b c + + =2 Suy b+c c+a a+b a +b+c a = b + c Du bng xy b = c + a a = b = c = (Trỏi vi gi thit) c = a + b Vy du = khụng xy suy pcm 0,5 0,5 0,5 ...GD- Bi HNG DN CHM THI K THI HC SINH GII NM HC 2016 - 2017 Mụn thi : Toỏn Cõu Ni dung +3 Rỳt gn biu thc: A = Cõu (1,75) +3 A= + 3+ 2( + 3)... Cõu (1,5) 0,25 1) Chng minh rng vi k l s nguyờn thỡ 2016k + khụng phi l lp phng ca mt s nguyờn Gi s 2016k + = a3 vi k v a l s nguyờn Suy ra: 2016k = a3 - Ta chng minh a3 khụng chia ht cho 0,5... 1; 2; 2;3; 3} 0,25 Trong tt c cỏc trng hp trờn ta u cú a3 khụng chia ht cho M 2016k luụn chia ht cho 7, nờn a3 2016k PCM 2) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 0,5 0,25 x 25 = y ( y + 6) T x