Cõu 3:3,5 điểm Cho tam giỏc ABC đều cố định nội tiếp trong đường trũn O.. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.. * Trong mỗi bài
Trang 1SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THPT QUẢNG BèNH NĂM HỌC 2012- 2013
Mụn thi: Toỏn
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khúa ngày 27 thỏng 3 năm 2013)
SỐ BÁO DANH:……… Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1:(2.0 điểm)
P
a) Rỳt gọn P.
b) Tỡm x để P đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Cõu 2:(2.0 điểm)
Cho phương trỡnh x2 2mx m 4 0
a) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x x1 , 2 thỏa món 3 3
x x m
b) Tỡm m nguyờn để phương trỡnh cú hai nghiệm nguyờn.
Cõu 3:(3,5 điểm)
Cho tam giỏc ABC đều cố định nội tiếp trong đường trũn (O) Đường thẳng d thay đổi nhưng luụn đi qua A và cắt cung nhỏ AB tại điểm thứ hai là E (EA) Đường thẳng d cắt hai tiếp tại B và C của đường trũn (O) lần lượt tại M và N MC cắt BN tại F Chứng minh rằng:
a) Tam giỏc CAN đồng dạng với tam giỏc BMA, tam giỏc MBC đồng dạng với tam giỏc BCN
b) Tứ giỏc BMEF là tứ giỏc nội tiếp
c) Chứng minh đường thẳng EF luụn đi qua một điểm cú định khi d thay đổi nhưng luụn đi qua A
Cõu 4:(1,5 điểm)
Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn a + b + c =6 Chứng minh rằng:
6
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Cõu 5:(1,0 điểm)
Cho n là số tự nhiờn lớn hơn 1 Chứng minh rằng n 4 4 n là hợp số
Trang 2
SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
yªu cÇu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần
là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
1
a) ĐK: 0 x 1.Ta có:
26 19 2 ( 3) ( 3)( 1)
( 1)( 3)
( 1)( 3)
P
1,0 điểm
0,25
0,25 0,25
0,25 b)
25
3
x
x
x
Vậy GTNN của P = 4 khi 3 25 4
3
x
1,0 điểm
0,5 0,25 0,25
Trang 32 a) x2 2mx m 4 0
Ta có:
2
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo định lý Viet: x1 x2 2 ; m x x1 2 m 4
3
1 0; 1;
4
1,0 điểm
0,25
0,25 0,25 0,25
b) Gọi x x x1 , ( 2 1 x2 ) là hai nghiệm nguyên của phương trình
Ta có: x1 x2 2 ; m x x1 2 m 4
Suy ra x1 x2 2x x1 2 8 2(x1 x2 ) 4 x x1 2 1 15 (2x1 1)(2x2 1) 15
4
m
0
m
3
m
1
m
Thử lại m=0, m=1, m=-3,m=4 thỏa mãn điều kiện bài toán
1,0 điểm
0,25
0,5
0,25
3
C
N
I F
M
O
B
A E
3,5 điểm
0,5
a) Ta có: AC//BM suy ra BMACAN
AB//CN suy ra BAM CNA
Do đó tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA
0,5 0,25
Trang 4Suy ra: MB AB MB BC
AC NC BC CN
Mặt khác MBCBCN 120 0
Suy ra tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN.
0,25 0,25
b) BFM BCM NBCBCM BMC 180 0 MBC 60 0
Mặt khác BEM BCA 60 0 (do t/c góc ngoài của tứ giác nội tiếp)
Suy ra BFM BEM 60 0 Do đó tứ giác BMEF nội tiếp
0,5 0,25 0,25 c) Gọi I là giao điểm EF với BC
Ta có IBF BMF (câu a), suy ra IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại
tứ giác BMEF
Tương tự chứng minh được IC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tứ giác
CNEF
Từ đó: IB2 IE IF IC ; 2 IE IF IB IC hay I là trung điểm BC
Vậy d luôn đi qua điểm cố định là I
0,25
0,25 0,25
4
Đặt x a 1;y b 2;z c 3 (x, y, z >0)
y z z x x y y x x z y z
VT
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z, suy ra a=3, b=2, c=1
1,5 điểm
0,5 0,5 0,25
0,25
5
n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k là
số tự nhiên lớn hơn 0
- Với n = 2k, ta có n 4 4 n ( k ) 4 4 k lớn hơn 2 và chia hết cho 2 Do đó
n
n là hợp số
-Với n = 2k+1, tacó
2.4 2 .2 2.4 2 .2
Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2 Vậy n4 + 4n là hợp số
1,0 điểm
0,25 0,25
0,25 0,25