SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC Mã đề 01 KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1. Rút gọn các biểu thức: a. 1 1 5 2 5 2 P = + − + . b. 1 1 1 . 1 + = + ÷ − x Q x x với 0, 1x x> ≠ . Câu 2. Cho phương trình bậc hai 2 2 2( 1) 1 0x m x m m− + + + + = ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa mãn 2 2 1 2 1 2 3 1x x x x+ = − . Câu 3. Một đội xe nhận vận chuyển 72 tấn hàng nhưng khi sắp khởi hành thì có 3 xe bị hỏng, do đó mỗi xe phải chở nhiều hơn 2 tấn so với dự định. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc, biết khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở là như nhau. Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi H là giao điểm của BN và CM. a. Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn. b. Gọi K là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng AH. Chứng minh: tam giác BHK ∆ đồng dạng với ACK∆ . c. Chứng minh: KM KN BC+ ≤ . Dấu “=” xảy ra khi nào? Câu 5. Cho các số thực , ,a b c thoả mãn 2 2 2 1a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2F ab bc ca= + + . − HẾT − Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh Số báo danh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC Mã đề 02 KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1. Rút gọn các biểu thức: a. 1 1 2 3 2 3 P = + − + . b. 2 1 1 . 2 + = + ÷ − x Q x x với 0, 4x x> ≠ . Câu 2. Cho phương trình bậc hai 2 2 2( 1) 1 0x m x m m− + + + + = ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa mãn 2 2 1 2 1 2 4 2x x x x+ = − . Câu 3. Một đội xe nhận vận chuyển 60 tấn hàng nhưng khi sắp khởi hành thì có 2 xe bị hỏng, do đó mỗi xe phải chở nhiều hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc, biết khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở là như nhau. Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BE và CD. a. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn. b. Gọi K là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng AH. Chứng minh: tam giác BHK ∆ đồng dạng với ACK∆ . c. Chứng minh: KD KE BC+ ≤ . Dấu “=” xảy ra khi nào? Câu 5. Cho các số thực , ,x y z thoả mãn 2 2 2 1x y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2F xy yz zx= + + . − HẾT − Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh Số báo danh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Mã đề 01 Chú ý :- Mọi cách giải đúng, ngắn gọn đều cho điểm tương ứng. - Điểm toàn bài không qui tròn. - Hội đồng chấm có thể thống nhất để chia các ý có điểm 0.75 và 0.5 thành các ý 0.25 điểm (nếu thấy cần thiết). CÂU NỘI DUNG Câu 1a 1 1 5 2 5 2 5 2 5 2 ( 5 2)( 5 2) + + − = + = − + − + P 2 5 2 5 5 4 = − Câu 1b x 1 1 x 1 x 1 1 1 . . x 1 x x 1 x + − + + = + = ÷ ÷ − − Q 2 x 1 . x 1 x = − 2 1 = −x Câu 2 2 2 2( 1) 1 0− + + + + =x m x m m (1) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi 2 2 ' ( 1) ( 1) 0 0∆ = + − + + > ⇔ >m m m m (*) Theo hệ thức Vi-ét ta có : 1 2 2 1 2 2( 1) . 1 + = + = + + x x m x x m m (2) Ta có 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 ( ) 5 1 0+ = − ⇔ + − + =x x x x x x x x (3) Thay (2) vào (3) ta có 2 2 2 4( 1) 5( 1) 1 0 3 0+ − + + + = ⇔ − =m m m m m ⇔ = − = ⇔ = m 0 m(m 3) 0 m 3 Đối chiếu điều kiện (*) ta được : m = 3. Câu 3 Gọi số xe lúc đầu của đội là x (chiếc) (x ∈ N, x > 3) (1) Số xe tham gia vận chuyển hàng là x – 3 (chiếc) Lúc đầu mỗi xe dự kiến chở : 72 x (tấn) Thực tế mỗi xe phải chở : 72 3x − (tấn) Ta có phương trình : 2 72 72 2 3 108 0 3 − = ⇔ − − = − x x x x (2) Giải phương trình (2) ta được hai nghiệm x = 12 ; x = - 9. Đối chiếu với điều kiện ta được x = 12, vậy đội xe lúc đầu có 12 chiếc. Câu 4a a) Ta có : · · 0 90= =BMC BNC (góc nt chắn nửa đường tròn) · · 0 90⇒ = =AMH ANH · · 0 180⇒ + =AMH ANH Suy ra AMHN nội tiếp được trong một đường tròn. Câu 4b b) Từ a) suy ra H là trực tâm của ∆ ABC ⇒ ⊥AH BC tại K. Xét ∆ BHK và ∆ACK có: · · 0 90= =BKH AKC (1) · · =HBK CAK (cùng phụ · ACB ) (2) Từ (1) và (2) suy ra ∆BHK đồng dạng với ∆ACK Câu 4c c) Tứ giác BKHM nội tiếp (vì · · 0 180+ =BMH BKH ) · · ⇒ =HKM HBM (3) Tứ giác ABKN nội tiếp (vì · · 0 90= =AKB ANB ) · · · ⇒ = =AKN ABN HBM (4) Từ (3) và (4) suy ra KA là tia phân giác của · MKN , lại có ⊥AK BC nên · · =MKB NKC (5) Gọi O là tâm đường tròn đường kính BC; lấy điểm P đối xứng với điểm M qua BC. Theo tính chất đối xứng ta có: KM = KP, OP = OM và · · =MKB PKB (6) Từ (5) và (6) ( )⇒ ∈P O và · · PKB NKC= mà B, K, C thẳng hàng nên P, K, N thẳng hàng. Suy ra + = + = ≤KM KN KP KN PN BC (quan hệ giữa đường kính và dây cung). Dấu “=” xẩy ra khi PN là đường kính của (O) ⇔ K trùng với O ⇔ ∆ABC cân tại A. Câu 5 Ta có 2 2 ( ) 0;( ) 0+ + ≥ + ≥a b c a c 2 2 2 1 2 2 + + − ⇒ + + ≥ − = a b c ab bc ca và 2 2 2 1 1 2 2 2 + − − ≥ − = ≥ a c b ac 1⇒ ≥ −F Có ‘‘=’’ khi 2 2 2 0 0 0; 0 2 1 2 + + = = + = = ⇔ = − = ± + + = a b c b a c b a c a b c Vậy giá trị nhỏ nhất của F là – 1. HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Mã đề 02 Chú ý :- Mọi cách giải đúng, ngắn gọn đều cho điểm tương ứng. - Điểm toàn bài không qui tròn. - Hội đồng chấm có thể thống nhất để chia các ý có điểm 0.75 và 0.5 thành các ý 0.25 điểm (nếu thấy cần thiết). CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1a 1.5 đ 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 (2 3)(2 3) + + − = + = − + − + P 0.75 4 4 4 3 = − 0.75 Câu 1b 1.0 đ x 2 1 x 2 x 2 1 1 . . x 2 x x 2 x + − + + = + = ÷ ÷ − − Q 0.50 2 x 1 . x 2 x = − 0.25 2 2 = −x 0.25 Câu 2 1.5 đ 2 2 2( 1) 1 0− + + + + =x m x m m (1) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi 2 2 ' ( 1) ( 1) 0 0m m m m∆ = + − + + > ⇔ > (*) 0.50 Theo hệ thức Vi-ét ta có : 1 2 2 1 2 2( 1) . 1 x x m x x m m + = + = + + (2) 0.25 Ta có 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 ( ) 6 2 0x x x x x x x x+ = − ⇔ + − + = (3) 0.25 Thay (2) vào (3) ta có 2 2 2 4( 1) 6( 1) 2 0 2 2 0m m m m m+ − + + + = ⇔ − = ⇔ = − = ⇔ = m 0 m(m 1) 0 m 1 0.25 Đối chiếu điều kiện (*) ta được : m = 1. 0.25 Câu 3 1.0 đ Gọi số xe lúc đầu của đội là x (chiếc) (x ∈ N, x > 2) (1) Số xe tham gia vận chuyển hàng là x – 2 (chiếc) 0.25 Lúc đầu mỗi xe dự kiến chở : 60 x (tấn) Thực tế mỗi xe phải chở : 60 2x − (tấn) 0.25 Ta có phương trình : 2 60 60 1 2 120 0 2 − = ⇔ − − = − x x x x (2) 0.5 Giải phương trình (2) ta được hai nghiệm x = 12 ; x = - 10. Đối chiếu với điều kiện ta được x = 12, vậy đội xe lúc đầu có 12 chiếc. 0.5 Câu 4a 1.0 đ a) Ta có : · · 0 90= =BDC BEC (góc nt chắn nửa đường tròn) 0.50 · · 0 90⇒ = =ADH AEH · · 0 180⇒ + =ADH AEH Suy ra ADHE nội tiếp được trong một đường tròn. 0.50 Câu 4b 1.5 đ b) Từ a) suy ra H là trực tâm của ∆ ABC ⇒ ⊥AH BC tại K. 0.50 Xét ∆ BHK và ∆ACK có: · · 0 90= =BKH AKC (1) 0.50 · · =HBK CAK (cùng phụ · ACB ) (2) Từ (1) và (2) suy ra ∆BHK đồng dạng với ∆ACK 0.50 Câu 4c 1.0 đ c) Tứ giác BKHD nội tiếp (vì · · 0 180+ =BDH BKH ) · · ⇒ =HKD HBD (3) Tứ giác ABKE nội tiếp (vì · · 0 90= =AKB AEB ) · · · ⇒ = =AKE ABE HBD (4) Từ (3) và (4) suy ra KA là tia phân giác của · DKE , lại có ⊥AK BC nên · · =DKB EKC (5) 0.25 Gọi O là tâm đường tròn đường kính BC ; lấy điểm P đối xứng với điểm D qua BC. Theo tính chất đối xứng ta có: KD = KP, OP = OD và · · =DKB PKB (6) Từ (5) và (6) ( )⇒ ∈P O và · · =PKB EKC mà B, K, C thẳng hàng nên P, K, E thẳng hàng. 0.50 Suy ra + = + = ≤KD KE KP KE PE BC (quan hệ giữa đường kính và dây cung). Dấu “=” xẩy ra khi PE là đường kính của đường tròn (O) ⇔ K trùng với O ⇔ ∆ABC cân tại A. 0.25 Câu 5 1.0 đ Ta có 2 2 ( ) 0;( ) 0+ + ≥ + ≥x y z y z 2 2 2 1 2 2 + + − ⇒ + + ≥ − = x y z xy yz zx và 2 2 2 1 1 2 2 2 + − − ≥ − = ≥ y z x yz 0.25 1⇒ ≥ −F 0.25 Có ‘‘=’’ khi 2 2 2 0 0 0; 0 2 1 2 + + = = + = = ⇔ = − = ± + + = x y z x y z x y z x y z 0.25 Vậy giá trị nhỏ nhất của F là – 1. 0.25 HẾT . 1. HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Mã đề 02 Chú ý :- Mọi cách giải đúng, ngắn gọn đều cho điểm tương ứng. - Điểm toàn bài. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC Mã đề 01 KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1. Rút gọn. HẾT − Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh Số báo danh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 HƯỚNG