Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên Thái Bình năm 2015 - 2016(đề chuyên, có đáp án)

a Chứng minh tam giác KCN cân.. b Chứng minh OK vuông góc với BM.. Chứng minh ba điểm P, B, O thẳng hàng.. Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn O tại N NC.. b Chứng minh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016

MÔN THI: TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (1,5 điểm).

Cho phương trình : 2x2  mx 1 0 (với m là tham số).

a) Tìm m sao cho phương trình trên có hai nghiệm x x thỏa mãn1, 2 2 2

1 4 2 0

x  x 

b) Chứng minh với mọi m phương trình trên có nghiệm x thỏa mãn x  1

Bài 2 (2,0 điểm).

b) Tìm các số nguyên x y , với x0,y0 thỏa mãn:

x2 3y2 4xy4x10y 120

Bài 3 (1,0 điểm ) Giải hệ phương trình:

2

2

x xy







Bài 4 (1,0 điểm) Cho , x y thỏa mãn x2 y2  4x 2 0 Chứng minh:

10 4 6 x2 y2 4 6 10

Bài 5 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng AO cắt

đường tròn (O) tại M (M khác A) Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại N (N khác C) Gọi K là giao điểm MN với BC

a) Chứng minh tam giác KCN cân

b) Chứng minh OK vuông góc với BM

c) Khi tam giác ABC cân tại A, hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại P Chứng minh ba điểm P, B, O thẳng hàng

Bài 6 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB3a, AC4a và góc BAC60 0 Qua A kẻ AH vuông góc với BC tại H Tính độ dài đoạn AH theo a

Bài 7 (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc1 Chứng minh:

a  b  c  ab bc ca  

Họ và tên thí sinh: SBD:

Hết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

Hướng dẫn gồm 05 trang

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

MÔN TOÁN CHUYÊN

Bài 1(1.5 điểm)

Cho phương trình : 2 x2  mx  1 0  (với m là tham số)

a)Tìm m sao cho phương trình trên có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x12  4 x22  0

b)Chứng minh rằng với mọi m phương trình trên có nghiệm x thỏa mãn x  1

a)

(1.0đ) +)

2 8

 m 

+)  0với mọi m nên pt đã cho có hai nghiệm phân biệt

0.125 0.125

+) Theo viet ta có

1 2

1 2

2 1

2









m

x x

x x

và gt cho x12  4 x22

0.25

Nên ta có

1 2

1 2

1 2

1 2

2 1

2 2

2 1

2 2

 

 

 



















 











 

 

 

 





m

x x

x x

m

x x

x x

0.125

0.125

+) (1) vô nghiệm

+) (2) ta có m1 và m-1

0.125 0.125 b

(0.5điểm) +)

2 8

 m 

+)  0 với mọi m nên pt đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

0.125 0.125

+) theo viet ta có x x1. 2  1

2

 suy ra

2

1 1

1 2

   





x

x x

x với mọi m

0.125 0.125

b) Tìm các số nguyên x,y với x0,y0 thỏa mãn :

x2 3y2 4xy4x10y 12 0.

a)

+) đk x 1

3



1 1

3 3

 

x

x

0.25

3 3

x

(2)

0.125

+) Chứng minh biểu thức trong (2) dương 0.125

x4

9

0.125

+) so sánh đk pt có nghiệm x 4

9

0.125

b)

(1.0 đ)

+) (x+3y+1)(x+y+3) 15 (1) 0.25 +) do x, y là số nguyên không âm nên từ (1) ta có

3 3

3 5

3 1

3 15

 









 

 



















x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

0.125

0.125

0.125 0.125

Bài 3(1.0 điểm ) Giải hệ phương trình sau :

2

2







x xy

1.0

(điểm)

+) đk ( x y  ) 0  (*)

+) Từ pt x y   1 1 4(x y )2 3(x y )

 4(x y )2  1 ( 3(x y ) x y 1)0

0.25

1

x y

0.125 0.125

Do (*) nên ta có 2(x-y)-1  0 2y2x-1 thế vào pt (2) ta có

2

1

0 2





 

   



x x

0.125 0.125 0.125

+) KL hệ có hai nghiệm là 1 1 5

;0 & ;

0.125

Bài 4 (1.0 điểm) Cho x, y thỏa mãn x2  y2  4 x  2 0  Chứng minh rằng

10 4 6 x2 y2 10 4 6

+) ta có x2  y2  4 x  2 (1) 0.125

2 2

x x

x y

0.125 0.125 0.125 0.25 0.25

tròn (O) tại M ( MA) Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O ) tại N ( NC) Gọi K là giao điểm MN với BC.

a) Chứng minh tam giác KCN cân.

b) Chứng minh OK vuông góc với BM.

c) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại P Chứng minh ba điểm P, B, O

thẳng hàng

P

K

O

C

A

B

M N

a)

(0.75đ) +) Ta có

  (1) (cùng cung MC)

0.25 +)  MBC  BCN ( do cùng phụ với góc  ABC) (2) 0.25 +) từ (1) & (2) ta có  MNC  BCN suy ra tam giác KNC cân tại K 0.25

+)từ a) suy ra KNKC (4) 0.25 +) từ (3)& (4) ta có OK vuông góc NC

+) do NC//BM ( cùng vuông góc với AB) 0.125

0.125 c)

1.0đ

+) ta có BNM BAM (cung MB) (5)

+) BMN BCN ( Cung NB) (6) 0.125

0.125 +) BAM NCB ( do cùng phụ với góc ABC) (7) 0.25 +) từ (5), (6) &(7) suy ra BNM BMN nên BMBN

+)mà gt ta có ONOM & PMPN nên ba điểm P ,B,O nằm trên đường trung

trực đoạn MN vậy P,B,O thẳng hàng

0.25 0.125 0.125

Bài 6 (1.0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB3a , AC4a và góc BAC 600.Qua

A kẻ AH vuông góc với BC tại H Tính độ dài đoạn AH theo a

A

B

C

K

H

+) Hạ CK vuông góc AB tại K

(giải thích tam giác ABC không tù tại B hay C)

0.125 0.125 +) ta có CK2 3a

+) nên ta có SABC  3 a2 3

0.125 0.125 +) Tính BKa

suy ra BC BK2CK2 a 13

0.125 0.125

+) AH2 6 39

13



ABC

BC

0.25

Bài 7(1.0 điểm) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc1 Chứng minh rằng :

+) đặt x1

a , y

1

b, z

1

c suy ra x.y.z1 và x y z, , dương.

+) Bất đẳng thức tương đương với

P 2 2 2 9 9

0.125

+) ta có

xy yz zx

0.125 0.125

+) ta có

x+y+zxyz(x+y+z) (xy)(zx)+(yz)(yx)+(zx)(zy)( )xy 2( )yz 2 ( )zx 2

2

3

x y z

0.125 0.125

2

2

27

9 2

P xy yz zx

xy yz zx

do xy yz zx

xy yz zx P

cô si cho 3 số ‘’ xảy ra khi ‘’

xảy ra khi abc1.

0.125 0.125 0.125

Lưu ý chung

1) Trên đây là các bước bắt buộc và khung điểm tương ứng Học sinh phải biến đổi hợp lý và lập luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa.

2) Bài 5, 6 phải có hình vẽ đúng hợp lý với lời giải mới cho điểm ( không cho điểm hình vẽ) 3) Những cách giải đúng vẫn cho điểm tối đa.

4) Chấm điểm từng phần , điểm bài là tổng các điểm thành phần (không làm tròn).