Đề Thi và Đáp Án Môn Toán Tuyển Sinh Vào Lớp 10 của Thành Phố Hà Nội Năm Học 20152016 Chính trị chỉ cho hiện tại, nhưng phương trình là mãi mãi. Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó. Số nguyên tố là để nhân chứ không phải để cộng. Thậm chí ngay cả trong trò chơi của con trẻ cũng có những điều khiến nhà toán học vĩ đại nhất phải quan tâm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘINăm học: 2015 - 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) x+3 Q = x −2 x −1 x − + với x>0, x ≠ x−4 x +2 1) Tính giá trị biểu thức P x = 2) Rút gọn biểu thức Q P 3) Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị nhỏ Q Cho hai biểu thức P = Bài II (2,0 điểm) Giái toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau chạy xuôi dòng 48km dòng sông có vận tốc dòng nước 2km/giờ Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng thời gian ngược dòng Bài III (2,0 điểm) ( x + y ) + x + = 1) Giải hệ phương trình ( x + y ) − x + = −5 2) Cho phương trình : x − (m + 5) x + 3m + = (x ẩn số) a Chứng minh phương trình có nghiệm với số thực m b Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 độ dài hai cạnh góc vuông tam giác có độ dài cạnh huyền Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O) Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn K Gọi M điểm cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N 1) Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh CA.CB=CH.CD 3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N nửa đường tròn qua trung điểm DH 4) Khi M di động cung KB, chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài V (0,5 điểm) Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a + b = , tìm giá trị lớn ab biểu thức M = a+b+2 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 BÀI GIẢI Bài I: (2,0 điểm) 9+3 = 12 3− x − x − ( x − 1).( x − 2) + x − + = x−4 x−4 x +2 1) Với x = ta có P = 2) Với Q = = x−3 x + 2+5 x −2 x+ x x ( x + 2) = = = x−4 x−4 ( x + 2)( x − 2) x x −2 P x+3 = = x+ ≥ (Do bất đẳng thức Cosi) Q x x P Dấu xảy x = Vậy giá trị nhỏ Q Bài II: (2,0 điểm) Gọi t1 thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng nước Gọi t2 thời gian tàu tuần tra chạy xuôi dòng nước Gọi V vận tốc tàu tuần tra nước yên 60 48 Ta có : V − = ; V +2= t1 t2 60 48 60 48 +2= −2⇔ − = −4 (1) Suy ra: t1 t2 t1 t2 t1 − t2 = (2) 3) 60 48 = −4 − Từ (1) (2) ta có hệ : t1 t2 t − t = 1 60 48 − = −4 ⇔ 4t22 + 16t2 − 48 = Thế t1 = + t vào (1) ta : + t2 t2 ⇔ t2 = −6 (loại) hay t2 = ⇒ V = 22 (km/h) Bài III: (2,0 điểm) 1) Với điều kiện x ≥ −1 , ta có hệ cho tương đương: 6( x + y ) + x + = 12 7( x + y ) = ⇔ ( x + y ) − x + = −5 ( x + y ) − x + = −5 x + y = x + y = x = ⇔ ⇔ ⇔ x +1 = y = −2 3 x + = 2) a) ∆ = (m + 5) − 4(3m + 6) = m − 2m + = (m − 1) ≥ 0, ∀m Do đó, phương trình có nghiệm với m b) Ta có x1 + x2 = m + x1 x2 = 3m + Để x1 > 0, x2 > điều kiện m > −5 m > −2 ⇔ m > −2 (Điều kiện để S >0, P>0) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 Yêu cầu toán tương đương : x12 + x22 = 25 ⇔ ( x 1+ x2 ) − x1 x2 = 25 ⇔ (m + 5) − 2(3m + 6) = 25 (Do x1 + x2 = m + x1 x2 = 3m + ), m > - ⇔ m + 4m − 12 = 0, m > −2 ⇔ m = hay m = -6, m > - ⇔ m = Bài IV (3,5 điểm) 1) Tứ giác ACMD có ·ACD = ·AMD = 900 Nên tứ giác ACMD nội tiếp 2) Xét tam giác vuông : ∆ACH ∆DCB đồng dạng · · (Do có CDB (góc có cạnh thẳng góc)) = MAB CA CD N = ⇒ CA.CB = CH CD Nên ta có CH CB 3) Do H trực tâm ∆ABD A I Vì có chiều cao DC AM giao H , nên AD ⊥ BN Hơn ·ANB = 900 chắn nửa đường tròn đường kính AB Nên A, N, D thẳng hàng · · Gọi tiếp tuyến N cắt CD J ta chứng minh JND = NDJ · · Ta có JND chắn cung »AN = NBA · · Ta có NDJ góc có cạnh thẳng góc = NBA Vậy tam giác vuông ∆DNH J trung điểm HD · · ⇒ JND = NDJ 4) Gọi I giao điểm MN với AB CK cắt đường tròn tâm O điểm Q Khi JM, JN tiếp tuyến đường tròn tâm O Gọi F giao điểm MN JO Ta có KFOQ tứ giác nội tiếp · FI phân giác KFQ · · · · Ta có KFQ = KOQ ⇒ KFI = FOI D J K H M F C O Q ⇒ tứ giác KFOI nội tiếp · ⇒ IKO = 900 ⇒ IK tiếp tuyến đường tròn tâm O Vậy MN qua điểm cố định I (với IK tiếp tuyến đường tròn tâm O) Bài V: (0,5 điểm) ab (a + b) − (a + b ) ( a + b) − (a + b − 2)(a + b + 2) a + b − M= = = = = a+b+2 2(a + b + 2) 2(a + b + 2) 2(a + b + 2) Ta có (a + b) ≤ 2( a + b ) ⇒ a + b ≤ 2(a + b ) 2(a + b ) − 2.4 − = = −1 2 Khi a = b = M = − Vậy giá trị lớn M Vậy M ≤ −1 TS Nguyễn Phú Vinh (Trung tâm luyện thi Vĩnh Viễn – TP.HCM) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 B