b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.. Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
Đ
Ề THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016
MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3,0 điểm).
Cho biểu thức:
x x x
x x
x x
x x x
x P
+
+
−
−
− +
+
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của thức P khi x = 3 − 2 2
c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức
P
7
chỉ nhận một giá trị nguyên.
Bài 2 (2,0 điểm).
Cho phương trình x2 – 2mx + (m – 1)3 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = –1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.
Bài 3 (1,0 điểm).
Giải phương trình: 1 0 .
9 2
2 9
2
+
+
x
x x
Bài 4 (3,5 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F Gọi M là trung điểm của cạnh HC.
a) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
c) Chứng minh HAM = HBO
d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM.
Bài 5 (0,5 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3 Chứng minh rằng:
2
3 1
1 1
1 1
1
2 2
+
+ +
+
a
Hết
Họ và tên thí sinh: ………
Trang 2SỞ GD-ĐT THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016
DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
MÔN TOÁN CHUNG
P
2 2
x
+
+
0,5
2
0,25
Thay vào biểu thức ( ) 2
2 2 1 2
2 1
1c
Đưa được 7 7
2 2 2
x
Đánh giá 2x+ +2 2 x >6 x, suy ra 0 7 7
6
2 2 2
x
Vậy 7
P chỉ nhận một giá trị nguyên đó là 1 khi
4 2
4 2
x x
x x
=
=
2a Khi m= −1 ta có phương trình 2
2 8 0
Giải phương trình ta được hai nghiệm: x1=2;x2 = −4 0,5
2b Tính được 2 ( )3
' m m 1
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 ( )3
1 0 (*)
Gọi x x là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có1; 2
( )
3
1 2
2 (1)
1 (2)
x x m
Trang 3Giả sử ( )2
x = x thay vào (2) ta được ( )2
Thay hai nghiệm x x vào (1) ta được1; 2
3
m
m
=
Khẳng định hai giá trị m vừa tìm được thỏa mãn điều kiện (*), kết luận 0,25 3
Điều kiện: x≠0, đưa phương trình trở thành:
2
Đặt ẩn phụ: 2
x
t
+ , phương trình trở thành:
1
2
t
t
=
=
Trường hợp: t =1 ta có 2
Trường hợp: 1
2
t = − ta có 2 2 9 2 20 3 2
2
x
x
<
=
4a
Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung 0,25
Ta có ·AEF = ·AHF AHF;· =·ACB suy ra ·AEF = ·ACB
(hoặc ·AFF =·AHE AHE;· = ·ABC suy ra ·AFE= ·ABC) 0,25
Suy ra hai tam giác AEF và ACB đồng dạng 0,25
Từ tỷ số đồng dạng AE AF
AC = AB ta có AE.AB = AC.AF
0,25 4b Xét hai tam giác OHM và OFM có OM chung, OF = OH. 0,25
Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông tại F, trung tuyến FM) 0,25
Từ đó ·MFO=900, MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH 0,25
4c Xét hai tam giác AHM và BHO có · AHM =BHO· =900 0,25
Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có
2
AH HB HC AH OH HB HM
0,25
Trang 4Suy ra HBO∆ : ∆HAM 0,25
4d Gọi K là giao điểm của AM với đường tròn
Ta có ·HBO HAM= · =·MHK , suy ra BO // HK 0,25
Mà HK ⊥ AM , suy ra BO⊥ AM , suy ra O là trực tâm của tam giác ABM 0,25
5 Giả sử a b c≥ ≥ , từ giả thiết suy ra ab≥1 Ta có bất đẳng thức sau:
2
1
0
a b ab
Vậy ta cần chứng minh: 2 1 2 3
1 ab+1 c ≥ 2
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì ( ) ( )
( )
2
2 3
3
a b c ab bc ca
ab bc ca abc
hay a b c+ + ≥ ≥3 3abc
Dấu bằng xảy ra khi a b c= = =1
0,25
Cho các số dương a b c, , thỏa mãn a b c+ + =3.Chứng minh rằng:
3 2
5
Ta có ( )2
3 3
a b c
ab bc ca ab bc ca
+ +
0,25
2 3
a c b c
a c b c
a c b c c a c b a b