Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện văn lâm hưng yên năm học 2018 2019 có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VĂN LÂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: Tốn - Lớp Thời gian làm 150 phút Ngày thi: 30/11/2018 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức P = x2  x x  x  x  1   x  x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P c) Xét biểu thức Q = x , chứng minh < Q < P Câu (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A =  11   11 b) Giải phương trình x   x   x  c) Cho  ABC có cosB = AB , chứng minh rằng: AB 2018  AC 2018  BC 2018 BC Câu (3,5 điểm) a) Cho điểm A (2; 1) đường thẳng (d): y = ax + b Xác định a b biết đường thẳng (d) qua điểm A tạo với trục Ox góc 450 b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng:  d1  : y = x -  d2  : y = 2x -  d3  : y   m2   x  2m (với m tham số) Hãy tìm giá trị m để ba đường thẳng ba đường thẳng phân biệt đồng quy cao Câu (6,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường AD, BE, CF cắt H, kéo dài AO cắt đường tròn K a) Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành b) Kẻ OM  BC, gọi G trọng tâm  ABC Chứng minh diện tích  AHG gấp hai lần diện tích  AGO c) Biết R = cm BC = cm Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp  AEF Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực khác thỏa mãn Tính giá trị biểu thức M =  a 27  b 27  b 41  c 41  c 2017  a 2017  1 1    a b c a bc _ Hết _ Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ., Số báo danh PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VĂN LÂM HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN- NĂM HỌC 2018- 2019 Mơn: Tốn - Lớp Néi dung đáp án Cõu KX: x 0; x a 2,0đ x P=  §iĨm 0.5    x 2 x 1 x  x  x  x 1 P= x  x  x   x    2 x 1 x  x 1  x 1 x 1 0.75 0.5 0.25 P = x  x 1 1  P x    2  (4,0đ) 0.25 b 1  x    P  0.75đ Với x ĐKXĐ  2 Dấu "=" xảy x 0.25 1  x  (t/m) Vậy GTNN P 4 x Q x với x ĐKXĐ Q > x  x 1 0.25   2 x 2 x  x  2 x  2  Xét hiệu Q - = x  x 1 x  x 1 x  x 1 c 1,25đ Do x  nên x    2   0.5 x   , lại có x  x  > Q - <  Q < Vậy 0< Q < ( đpcm) a 1,0đ 0.25 0.5 A =  11   11 A  12  11  12  11    11   A = 11 1  11 1  2 Vậy A = - ĐK: x    11  0.5 0.5 0.25 x   x 1  x  (4,0đ) b 1,5đ  x   x   x 1     0.5  x   x    x 1   x    x   1 x ÐKXÐ   x    0; x 1  0,25   x3 2  Do (1)     x 1   0  x  1TM  Vậy PT có nghiệm x = 0.5 A A' C B c 1,5đ A'B AB A ' B AB mà cosB = nên = BC BC BC BC Do A'B = AB => A '  A  ABC vng A Suy AB < BC; AC < BC AB  AC  BC Vẽ CA'  AB A', suy cosB = AB AB 2018 2018  AC  AC 2018 2018  AB  BC 2016 2016 AB  AC  AB  AC 2 2016 AC  BC   BC 2016 2016 AB  BC BC  BC 2 2018 2016 AC 0.5 0.25 ( đpcm) 0.5 0.25 Vì đường thẳng (d): y = ax + b qua điểm A (2;1) nên ta thay x = 2; y = vào PT đường thẳng (d) ta được: 2a + b = (1) y (3.5đ) (d) a 1,5đ O N x 0.25 M Vì đường thẳng (d) tạo với trục Ox góc 450 nên a  Ta có (d) cắt trục Oy điểm M ( 0; b); cắt trục Ox điểm N( b ;0 ) a 0.5  MON vng O có MNO  N1  450 nên tam giác vuông cân O 0.25 b b ( a > 0) => a = b a a Thay a = vào (1) ta + b =  b = -1 0.25 suy OM = ON hay b  0.25 Vậy đường thẳng (d): y = x - b 2,0đ  d1  : y = x -3  d2  : y = 2x - Hai đường thẳng  d1   d2  có hệ số góc khác nên chúng cắt 0.5 điểm I, hoành độ điểm I nghiệm PT: x - = 2x -  x = Thay x = vào PT: y = x - ta y = -2, I ( 1; -2) 0.25 Để đường thẳng  d3  : y   m   x  2m qua điểm I thì:   2  m   2m  m2  2m   m  m  2   m  m = Thay m = ta  d3  : y  2 x không trùng với  d1  ;  d2  Thay m = ta  d3  : y  x  trùng với  d2  m = loại Vậy m = giá trị cần tìm 0.5 0.5 0.25 A E (6,5 đ) F B G H D O C M K a 2,0đ b 2.5đ  ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK  ACK vng C  KC  AC, lại có BE  AC ( gt)  BH  AC  KC BH Lập luận tương tự để có BK CH Xét tứ giác BHCK có: KC BH BK CH suy tứ giác BHCK hình bình hành Vì OM  BC nên MB = MC (quan hệ vng góc đường kính dây), suy H, M, K thẳng hàng MH = MK ( tính chất đường chéo hình bình hành) Vì G trọng tâm  ABC nên G thuộc AM AG  AM Trong  AHK có AM HO đường trung tuyến, AG  c 2,0đ AM nên G trọng tâm  AHK H, G, O thẳng hàng Ta có HG = 2.GO ( tính chất trọng tâm), hai tam giác AHG AGO có chung đường cao hạ từ đỉnh A mà đáy HG = GO nên diện tích  AHG gấp hai lần diện tích  AGO Vì BC = cm nên BM = MC = 4cm Áp dụng định lí pytago vào  MOC tính OM = cm Lập luận để khẳng định OM đường trung bình  AHK tính AH = 6cm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.75 0.75 0.5 0.5 0.5 C/m đường tròn ngoại tiếp  AEF đường tròn đường kính AH Kết luận bán kính đường tròn ngoại tiếp  AEF là: R'= AH : = 6: = cm Từ đầu cho (2,0đ)   a  b 1 1 ab      a b a bc c ab c (a  b  c ) 0.75 0.25 0.5  (a  b)c  a  b  c   ab  a  b    a  b  c  a  b  c   ab   0.5  a  b   a  b  c  a  c   bc  ab     a  b  a  c  b  c    c  a  b  c 0.5 Lần lượt thay vào M ta M = 0.5 Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải thí sinh phải có lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu làm thí sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa - Với câu 2c câu thí sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm điểm ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VĂN LÂM HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN- NĂM HỌC 2018- 20 19 Mơn: Tốn - Lớp Nội dung đáp án Cõu KX: x 0; x  a 2,0đ x P=  §iĨm... Trên sơ lược bước giải, lời giải thí sinh phải có lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu làm thí sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa - Với câu 2c câu thí sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm... AB A', suy cosB = AB AB 2018 2018  AC  AC 2018 2018  AB  BC 2016 2016 AB  AC  AB  AC 2 2016 AC  BC   BC 2016 2016 AB  BC BC  BC 2 2018 2016 AC 0.5 0.25 ( đpcm) 0.5 0.25 Vì đường