Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện kỳ anh vòng 2 năm học 2018 2019 có đáp án

Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA.

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ ANH

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 9

NĂM HỌC 2018 – 2019 (VÒNG 2)

Thời gian: 120 phút

Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ

Bài 1: Thực hiện phép tính

A 11 6 2  11 6 2 B 1 1 5 1

12

Giải: Ta có A2 22 2 11 6 2 11 6 2       36 A 6 (Vì A > 0)

2

3 2



Bài 2: Giải các phương trình sau

a) 2 12 2 3 1

x  x 4 x  x 2 b) x 2 7 x  2 x 1  x28x 7 1 

Giải: a) Ta thấy

2

2 4

 

      

  và

2

2 4

 

      

Ta có phương trình 2 12 3 2 3 1 0

x x 4 2 x x 2 2

     

   

Xét

2

 

 

            

Xét

2 2

 

           

Vậy phương trình có nghiệm x 1 17

2

 

 b) ĐKXĐ: 1  x  7 Phương trình  x 1 2 x 1 2 7 x      7 x x 1      0

x 1 x 1 2 7 x x 1 2 0 x 1 2 x 1 7 x 0

               

x 1 2 0 x 5

x 4

x 1 7 x 0

     



    



(TMĐK) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4; 5}

Bài 3: a) Cho a > b > 0 và a3 a b ab2  2 6b3  Tính giá trị của 0

a 4b B

b 4a





 b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 3 2 3 2 3 2 1

a b b b c c c a a

3

         Chứng minh rằng a = b = c

Giải: a) Ta có a3 a b ab2  2 6b3  0 a3 2a b a b 2ab2  2  23ab2 6b3 0

a a 2b ab a 2b 3b a 2b 0 a 2b a ab 3b 0

Do a > b > 0 nên a2ab 3b 2  , suy ra a = 2b Ta có 0

4 4

12b 4 B

63b 21

 

 b) Từ giả thiết ta có 3 2 1

a b b

3

   (1); 3 2 1

b c c

3

   (2); 3 2 1

c a a

3

   (1) Với a, b, c > 0

Giả sử a b 0   a3 b3, từ (1) và (2)  b2 b c2 c b c b c 1      0 b c

Do đó a > b > c  a > c (*) Mặt khác b > c  b3c3 Từ (2) và (3)  c2 c a2 a

c a c a 1   0 c a

       trái với (*).Giả sử b > a > 0 ta cũng suy điều vô lí

Vậy a = b, chứng minh tương tự ta có a = b = c

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (AB < AC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho

HD = HA Đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt AC tại E

a) Chứng minh rằng CBE CAD

b) Tính BE theo AB = a

c) Gọi M là trung điểm của BE Chứng minh rằng BHM  BEC

Giải: a) Áp dụng định lí TaLet ta có

AH // DE nên CD CE CD CH

CH CA CE CA

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

vuông ABC ta có CA2 CH.CB

CH CA CD CA

CA CB CE CB

    ; C chung

Suy ra CDA  CEB  CBE CAD 

b) Vì CDA  CEB BE BC

AD AC

  (1) Mặt khác

ta có BAC AHB 90  0, ABC chung nên BAC  BHA BC AC BC AB

AB AH AC AH

    (2)

Từ (1) và (2) suy ra

BE AB AD.AB AH DH AB AH 2.AB



c) Từ câu b ta có 2 2 BE BC 2BM BC BM BC

BE 2AB BE 2AB 2BH.BC

2BH BE 2BH BE BH BE

BM BH

BC BE

  ; CBE chung nên BHM  BEC

Bài 5: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 2ab 6bc 2ca 7abc   Tìm GTNN của P 4ab 9ca 4bc

a 2b a 4c b c

  

Giải: Từ giả thiết ta có 2 6 2 7

c a b   Với m, n, p > 0, theo BĐT Bunhia ta có

2

m n p

           

2 2 2 x y z

x y z

m n p m n p

 

  

  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y z

m  n p

Áp dụng BĐT trên ta có 4 9 4 2 3 22 49

1 2 1 4 1 1 1 2 1 4 1 1 2 6 2

b a c a c b b a c a c b c a b

 

Vậy GTNN của P là 7 Đạt được khi a = 2, b = c = 1

M

E D H

B

Hết