Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện sông lô vĩnh phúc năm học 2017 2018(có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Năm học 2017- 2018 Môn thi: TOÁN Thời gian : 150 phút (không kể phát đề) Bài (2 điểm):  x y x  y   x  y  xy   Cho biểu thức A    : 1     xy  xy   xy    a) Tìm điều kiện x để biểu thức A xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x, y để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài (2 điểm): a) Chứng minh  b) Giải phương trình 84 84 số nguyên  1 9 x   10  x  x2  12 x  40 Bài (2 điểm): a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x5  5x3  4x   24y  1 b) Tìm số tự nhiên có chữ số xy , biết hai chữ số đơn vị xxyy  xx  yy Bài 4(3 điểm): Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD (E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vuông góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1 không đổi  AE AF b Chứng minh: cos AKE  sin EKF.cos EFK  sin EFK cos EKF a Chứng minh: c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ N đến DC AD Bài (1 điểm): Cho số thực a, b, c thỏa mãn  a, b, c  Chứng minh rằng: a  b2 b2  c c  a   7 ab bc ca Hết -Giám thị coi thi không giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM Đáp án Câu x  x  y    ĐKXĐ:   y  1  xy   xy  1  x  y  xy   1a Rút gọn A: A  A Điểm 0,25 x  y x  x  y  xy :  xy  xy 0,75 x 1 x x  x 1 x  Với ĐK  y  ta có  A   1  x  x  xy   0,25 Vì A nhận giá trị nguyên nên A0;1 1b + Nếu A  x  0,25 + Nếu A  x  0,25 + Kết hợp với ĐKXĐ ta có: Để A nhận giá trị nguyên x  y  x  1, y  1, y  0,25 Đặt x0   2a 84 84  1 9 Lập phương vế ta x03  x0   0,25 0,25 Mà phương trình x3  x     x  1  x  x    có nghiệm 0,25 2b x  nên x0  ĐKXĐ:  x  10 0,25 Đặt A  x   10  x  0,25  x  210  x     x  2  10  x   16  A  Ta có A2   (1) 0,25 Mặt khác x2  12 x  40   x     (2) 0,25 Từ (1) (2) suy x  (t/m ĐKXĐ) Vậy x  nghiệm phương trình 3a 3 Ta có x – 5x + 4x = 5(24y + 1)  x (x  1) – 4x(x  1) = 120y +  (x  2)(x  1)x(x + 1)(x + 2) = 120y + Ta có vế trái tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 (1) Vế phải chia cho 120 dư (2) Từ (1) (2) suy phương trình vô nghiệm nguyên Điều kiện  x, y  x, y nguyên Ta có : xxyy  xx  yy 0,5 0,5 2 3b 0,25 2  1100x +11y = (11x) + (11y) 2  11(100x + y) = 11 (x + y ) 2 0,5  99x + (x + y) = 11(x + y )  (x + y) 11  x + y =11 (vì  x + y  18) Kết hợp với giả thiết x – y = y – x = Từ (x ; y) (3 ; 8), (8 ; 3) Thử lại có: (x ; y) = (8 ; 3) thỏa mãn Vậy số cần tìm 83 0,5 B A Học sinh c/m:  ABF =  ADK (g.c.g) suy AF = AK M 4a Trong tam giác vuông: KAE có AD đường cao nên: M' 1,25 N N' P E 1 K hay   2 AK AE AD 1 1    (không đổi) 2 AF AE AD a D C Q H F HS c/m SKEF  KE.EF sin AEK  KE.EF cos AKE 4b 2 Mặt khác: SKEF  EH KF  EH ( KH  HF ) Suy ra: KE.EF cos AKE  EH ( KH  HF )  cos AKE   cos AKE  EH KH  EH HF KE.EF EH KH EH HF   sin EFK cos EKF  sin EKF cosEFK EF EK KE EF Giả sử dựng điểm N thỏa mãn NP + NQ = MN Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy tam giác NN’M cân N  MN’ phân giác DMM '  Cách dựng điểm N: - Dựng M’ đối xứng M qua AD 4c - Dựng phân giác DMM ' cắt DM’ N’ - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD Chú ý: Học sinh không trình bày phân tích mà trình bày cách dựng cho điểm tối đa BĐT tương đương với 0,75 a b b c c a      7 b a c b a c Do vai trò a, b, c nên không tính tổng quát giả sử  a  b  c  Ta có  a  b  b  c    ab  ac  b2  bc  Đến từ việc chia vế BĐT cho ab, bc ta thu hai BĐT sau a a b c c b    ;    Cộng vế theo vế ta có c b c a b a a b b c a c a b c b c a a c               2   b c a b c a b c a a b c c a Đặt x  c , ta có a  x    x  1 x     x  3x    x  Vậy a b c b c a a c        2    b c a a b c c a Dấu “=” xẩy a  b  2.c   a  2, b  c  1  3  x x ... (11x) + (11y) 2  11(100x + y) = 11 (x + y ) 2 0,5  99 x + (x + y) = 11(x + y )  (x + y) 11  x + y =11 (vì  x + y  18) Kết hợp với giả thi t x – y = y – x = Từ (x ; y) (3 ; 8), (8 ; 3) Thử... Từ (x ; y) (3 ; 8), (8 ; 3) Thử lại có: (x ; y) = (8 ; 3) thỏa mãn Vậy số cần tìm 83 0,5 B A Học sinh c/m:  ABF =  ADK (g.c.g) suy AF = AK M 4a Trong tam giác vuông: KAE có AD đường cao nên:... đối xứng M qua AD 4c - Dựng phân giác DMM ' cắt DM’ N’ - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD Chú ý: Học sinh không trình bày phân tích mà trình bày cách dựng cho điểm tối đa BĐT tương đương với 0,75