Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện lâm thao phú thọ năm học 2017 2018 có đáp án

Cho tam giỏc đều cú độ dài cạnh là a thỡ độ dài bỏn kớnh của đường trũn ngoại tiếp tam giỏcđú là: A.. Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R=4cm dõy AB=5cm trờn dõy AB lấy điểm C sao cho AC=2cm

PHÒNG GD& ĐT LÂM THAO K Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2017-2018 Môn: TOÁN L ỚP 9

Th ời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 02 trang)

I.PH ẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm)

Hãy ch ọn phương án trả lời đúng

Câu 1.Giá trị x thỏa mãn : 2x  1 5 2 là :

A. x 25

2

2  x

Câu 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 x3 với x  3 là :

5 2 6 5 2 6

x    thì giá trị biểu thức 3

3 2008

N x  x là

Câu 4 Góc tạo bởi đường thẳng 2 1

3 2

y  x và trục Ox là:

A. 0 /

33 69

Câu 5 Trên mặt phẳng tọa độ Cho ba điểm A  1;3 ;B 3; 1 ;  C  4; 2 thì diện tích tam giác ABC là:

Câu 6 Điều kiện của m để 2 đường thẳng ym m(  3)x 5m 2 và đường thẳng

( 8) ( 4)

y m xm m song song là :

A.m  4 B. m 2;m  1 C.m 2 hoặc m  4 D. m 2;m  1

Câu 7 Giá trị m để hệ phương trình :



















1 2 2

1 2

m my x

m y mx

có nghiệm duy nhất là

Câu 8 Cho hệ phương trình : 4 1





Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x  3 y  13

Câu 9 Cho hệ phương trình 2( 1)

x y m

x y m

  



   



Hệ có nghiệm duy nhất  x y; thì giá trị nhỏ nhất của 2 2

x y là:

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH kẻ HD AB, HEAC

(H  BC, D  AB,E  AC) thì AD.BD+AE.EC bằng:

A. 2

2AH

Câu 11 Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng 4

9 thì tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền là:

A. 2

4

Cõu 13 Cho tam giỏc đều cú độ dài cạnh là a thỡ độ dài bỏn kớnh của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc

đú là:

A. a

3

Cõu 14 Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R=4cm dõy AB=5cm trờn dõy AB lấy điểm C sao cho

AC=2cm kẻ CD vuụng gúc với đường kớnh AE tại D Tớnh độ dài AD :

A. 5

4cm

D.1, 5cm

Cõu 15 Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R=15cm dõy AB=24cm Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax, qua O

kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB cắt Ax tại C thỡ độ dài OC là:

Cõu 16 Nờỳ bạn An đi lờn mụt thang cuốn tốc độ là 1 bước trờn giõy thỡ bạn An sẽ đến đỉnh thang

trong 10 bước nờỳ bạn An tăng vận tốc lờn 2 bước trờn giõy thỡ sẽ lờn tới đỉnh thang trong 16 bước Hỏi thang cuốn cú bao nhiờu bước

II PH ẦN TỰ LUÂN( 12 điểm)

Cõu 1 (3,0 điểm).

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 3 3

1   x x  x  y

b) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn x sao cho giỏ trị của biểu thức x2   x 6 là một số chớnh phương

Cõu 2 (3,5 điểm)

a)Giải phương trỡnh: 2x2 5x 5 5x1

b) Giải hệ phương trỡnh :

1 10

1 7



  



Cõu 3 (4,0 điểm)

1.Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R đường kớnh AB Từ hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp tuyến

Ax và By với nửa đường trũn , điểm M thuộc nửa đường trũn (sao cho tia Ax, By và nửa đường trũn chứa điểm M cựng nẳm trờn nửa mặt phẳng bờ AB ) Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt cỏc tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là H

a) Chứng minh MK vuụng gúc với AB và MK=KH

b) Vẽ tam giỏc vuụng cõn MBE đỉnh B ra phớa ngoài nửa đường trũn (O) (BE và BD cựng nửa mặt phẳng bờ AB) Chứng minh rằng khi M di chuyển trờn nửa đường trũn đường kớnh AB thỡ đường thẳng đi qua E và song song với MB luụn đi qua một điểm cố định

2.Cho tam giỏc ABC cú AB = c, AC = b, BC= a Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, AC,

BC là ha,hb,,hc.Chứng minh rằng:

2

4

a b c

a b c

 

Cõu 4 (1,5 điểm).

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa món a  b c 2

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

-H

ẾT -K Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN LỚP 9 I.PH ẦN TRẮC NGHIấM KHÁCH QUAN( 8 điểm)

Mỗi lựa chọn đỳng 0,5 điểm Cõu cú 2 trở lờn phải chọn đủ mới cho điểm

II.PH ẦN TỰ LUẬN(12 điểm )

Cõu 1 (3,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 3 3

1   x x  x  y

b) Tỡm tất cả cỏc số hữu tỉ x sao cho giỏ trị của biểu thức x2   x 6 là một số chớnh phương

b) (1,5 điểm)Ta cú

 

3

vỡ x y ,  Z mà y3    1 x x2  x3

0,5

0,5

Suy ra

       

1

; 0;1 ; 1;0

x

x

Vay x y





  

   

0,5

b) (1,5 điểm)

0,75

0,75

b) Giải hệ phương trình:

1 10

1 7

a) ( 1,5 điểm) ĐKXĐ 1

5

x 

2 2

2

0,5

  

2

1

2

do x

x

x





  1;2

S 

0,5

b) ( 2 điểm)

ta thấy y=0 không thoả mãn hệ (I) với y  0

2 2

2

( )

x

I



       

       

đặt

1

S x

y

x

P

y

  





 



thay vào (II) ta được

2

2

2 10

Với 4

3

S

P





 

 => x và

1

y là 2 nghiệm của phương trình 2    1

3

t

t





         



3

3 3

3

* 1

y y

x

x



 

   







   

0,5

0,5

13

S

P

 



 

 suy ra x và

1

y là 2 nghiệm của phương trình

2

t  t   t   Vo nghiem

; 1; ; 3;1

3

   

 

0,5

0,5

Câu 3 (4,0 điểm)

1.Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB Từ hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp

tuyến Ax và By với nửa đường tròn , điểm M thuộc nửa đường tròn (sao cho tia Ax, By và nửa đường tròn chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB ) Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ

ba, cắt các tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và

AB là H

a) Chứng minh MK vuông góc với AB và MK=KH;

b) Vẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn (O) (BE và BD cùng nửa mặt phẳng bờ AB) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định

2.Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC,

AC, BC là ha,hb,,hcchứng minh rằng

2

4

a b c

h h h

  

 

O

F

N

K

E

C

M

D

A

có: KD BD

KA  AC  KD MD

KA  MC  MK // AC mà AC  AB  MK  AB

Ta có KH BK (1); KM DK (2); KD BK (3); Tu (1)(2)(3) ta có :

AC  BC AC  DA AD  BC

1,0

b)( 1 điểm )Gọi F là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua E và song song với

MB Ta có BEF = 900

Chứng minh tam giác AMB và tam giác FEB bằng nhau ( g-c-g)

 AB = BF=2R  BF không đổi,

F thuộc tia By cố định  F cố định

Vậy khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và

song song với MB luôn đi qua điểm cố định F

0,5

0,5

c)( 1 điểm)

Qua A kẻ đường thẳng d//BC gọi D là đối xứng của B qua d thì BD2 ,h AD a c

DC  AD  AC    c b DC  b  c

dấu “=: xảy ra khi  ABC 0

60

A

 

mà trong tam giác vuông DBC

DC  BD  BC  h  a  h  b  c  a  b   c a b   c a

4h b  a c b b c a ,(2);4h c  a b c b c a ,(3)

Từ (1);(2);(3) ta có:

2

2

4

a b c

 

0,5

0,5

d

a ha

ha

ha

b c

c D

H

C B

A

Câu 4 ( 1,5 điểm) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b c 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có Theo BĐT Bunhiacôpky ta có  2 2 2  2

3 a b c  a b c ; Mặt khác   1 1 1 1 1 1 9

9

a b c

         

 

Nên

0,5

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có

 2

a b c a b c

0

8

a b c

a b c

a b c



   





   

 



0,5

H ẾT

Chú ý : - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25

- Nếu cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa ứng với từng phần trong hướng dẫn chấm