Kẻ AH vuông góc với BC tại H.. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.. b Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE c Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ q
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017–2018
MÔN: TOÁN 9
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4,0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:
b) a bc b ca c ab b ca c ab a bc
B
(Với a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 1)
Bài 2 (3,0 điểm)
a) Tìm các số a, b sao cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho đa thức
x2 – 3x + 2
b) Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương với x, y, z là các số nguyên
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Tìm m để phương trình: 2m 1 m 3
b) Giải phương trình: 4 x 1 x2 5x 14
c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy yz zx 3
z x y
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Kẻ AH vuông góc với BC tại H Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC
a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm Tính BC, AC
b) Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE
c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ qua
C vuông góc với BC cắt HE tại N Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng
d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho đa thức f(x) = x4
+ ax3 + bx2+ cx + d (Với a, b, c, d là các số thực) Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30 Tính giá trị biểu thức A = f (8) f ( 4)
–––––––––––––––Hết––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: .
Số báo danh: Phòng số:
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
m¤N: TOÁN 9
(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
1
a
2.0
2
0.5
2
2 2
2
2
2 2
b
2.0
Vì a, b, c dương và a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa và 0 < a,b,c < 1 Ta có: 0.25
1 b c bc 1 a c ca 1 a b ab 1 a c ca 1 a b ab 1 b c bc
B
B
B 1 c 1 a 1 b (vì 0 < a,b,c < 1) 0.25
2
a
2.0
Ta có: x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) Theo bài ra: f(x) x 1 x 2 0.25
Từ (1) và (2) 8a + 2(–a) = –15 a = –5
5
Thử lại: (x4 – 5
2x
3 + 5
2x – 1):(x
2 – 3x + 2) = x2 +1
2 x –
1
Vậy a = –5
2, b =
5
1.0
B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 0.25 B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2 0.25
Trang 3B= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
Vì x, y, z là số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz là số nguyên
B là số chính phương
0.25
3
a
1.5
2m 1
+ Xét m = 3, phương trình (*) trở thành 0.x = 5 (vô lí)
+ Xét m 3, phương trình (*) có nghiệm x 4m 7
m 3
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì 4m 7 2 m 1
0.25
Vậy với m = 3, m = ½ thì phương trình đã cho vô nghiệm 0.25
B
1.5
2
2 2
C
1.0
Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương ta có:
3 3
xy yz zx xy yz zx
Vì x, y, z là các số nguyên dương nên từ (1) x = y = z = 1 0.25
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x;y;z) = (1;1;1) 0.25
4
I
N
M
C D
E
H B
A
Trang 42.5 AB2 = BH.BC 62 = x(x + 6,4) 0.5
b
2.0
Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật DE = AH 0.5
AH3 = BD.CE.BC
c
1.5
Gọi giao điểm của NA với HD là M’
Ta có:
NC NH NH M 'H
0.25
d
1.0
Có BM//CN, BD // NE, MD // CE
Gọi I là giao của MC với DE DI/EI = DM/EC (2)
Gọi I’ là giao của BN với DE DI’/EI’ = BD/NE (3) 0.25
Từ (1), (2), (3) DI/EI = DI’/EI’ I và I’ trùng nhau
5 2.0
Xét đa thức g(x) = f(x) – 10x bậc của đa thức g(x) bằng 4 0.25
Mà g(x) có bậc 4 nên g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) (với a là số
f (8) 7.6.5.(8 a) 80
*) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm
*) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất
*) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn
