Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện Đoan Hùng phú thọ năm học 2016 2017 có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 90 phút khơng kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang PHẦN TRẮC NGHIỆM TỰ LUẬN Câu (3điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y  x  x 1  x  x 1 Câu (3,5điểm) Giải phương trình x - 3x + + x+3 = x-2 + x + 2x - Câu (4điểm) Cho đường (O, R) đường thẳng d khơng qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB a) Chứng minh điểm M, D, O, H nằm đường tròn b) Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD c) Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC, MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: 3 18   �   a b c a  b 3b  4c c  6a Họ tên thí sinh:………………………………… , SBD:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN Câu Nội dung Câu (3điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: Điểm y  x  x 1  x  x 1 Điều kiện: x �1 0,25 0,25 y  ( x  1)   x   ( x  1)   x  | x   |  | x   | (3điểm) 0,25 0,25  x   1 | x   | Xét hai trường hợp: a) Với x = y =2 b) Với x �2 y  x    x    x  Do đó: y  4( x  1) Do x �2 nên đặt x – = t với t nguyên dương �x  t  �y  2t Ta có: � 0,25 0,5 Kết luận: nghiệm phương trình là: (1 ; 2), ( t  ; 2t) với t số nguyên dương tùy ý Câu (3,5điểm) Giải phương trình x - 3x + + (3,5điểm) x+3 = Ta có: x2 - 3x + = (x - 1) (x - 2), Điều kiện: x ≥ (*) Phương trình cho x-2 + 0,25 x + 2x - x2 + 2x - = (x - 1) (x + 3) 0,5 � (x - 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 3) + x + - x - = 0,25 � x - ( x - - x + 3) - ( x - - x + 3) = 0,25 �  x-2 - x+3  �x - = x + � � �x - - =  x-1-1 =0 (VN) � x  (thoả mãn đk (*)) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu (4điểm) Cho đường (O, R) đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Lấy điểm M tia đối 0,25 0,25 tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB a) Chứng minh điểm M, D, O, H nằm đường tròn b) Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD c) Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC, MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé P C A d H B I O M D Q (4đ) a (1đ) � Vì H trung điểm AB nên OH  AB hay OHM  900 � Theo tính chất tiếp tuyến ta lại có OD  DM hay ODM  900 Suy điểm M, D, O, H nằm đường tròn Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD  MCD cân M  � MI đường phân giác CMD �  sđ � = � nên DCI Mặt khác I điểm cung nhỏ CD DI b � = MCI � (1,5đ) sđ CI 0,5 0,5 0,5 0,5 � Vậy I tâm đường tròn nội tiếp  CI phân giác MCD tam giác MCD c Ta có tam giác MPQ cân M, có MO đường cao nên diện tích (1,5đ) tính: S  2SOQM  .OD.QM  R( MD  DQ) 0,5 0,25 Từ S nhỏ  MD + DQ nhỏ 0,25 Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vuông OMQ ta có DM DQ  OD  R không đổi nên MD + DQ nhỏ  DM = DQ = R Khi OM = R hay M giao điểm d với đường tròn tâm O bán kính R Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: 0,25 0,25 0,5 3 18   �   a b c a  b 3b  4c c  6a Có thể viết lại vế trái BĐT cần chứng minh sau: 1   S= a b c 0,25 Chính thế, ta viết lại vế phải là: (1,5đ) P= a  b  b c  2  c  2a 0,25 Và ta cần chứng minh S ≥ P b c Đặt x  a; y  ; z  , ta phải chứng minh � 1 1 1 �   �3 �   � x y z �x  y y  z z  x � Ta có 1 �1 1 � �1 �  � �   � �  � x  y x  y  y �x y y � �x y � 0,25 0,25 Tương tự ta có điều cần chứng minh, Dấu “=” xảy  x = y = z  a  b c  0 0,5 Lưu ý: + Hướng dẫn chấm lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lơ gic chia nhỏ điểm đến 0,25 điểm + Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà Tổ chấm thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm + Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm tròn số  ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016- 2017 MƠN: TỐN Câu Nội dung Câu (3điểm) Tìm nghiệm nguyên phương... điểm AB nên OH  AB hay OHM  90 0 � Theo tính chất tiếp tuyến ta lại có OD  DM hay ODM  90 0 Suy điểm M, D, O, H nằm đường tròn Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD  MCD cân M  � MI... Ta có tam giác MPQ cân M, có MO đường cao nên diện tích (1,5đ) tính: S  2SOQM  .OD.QM  R( MD  DQ) 0,5 0,25 Từ S nhỏ  MD + DQ nhỏ 0,25 Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vng OMQ ta có