Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 cấp huyện Download vn ĐỀ 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian 150 phút Bài 1 (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tì[.]
ĐỀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y Chứng minh 2x y x y 2 0 y 1 x 1 x y 3 Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 b) (0,75đ) Xét A 10x x 5x B 2x 2x Với x Z A B Z ( 2x – 3) 2x Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; A B c) (1,5đ) Biến đổi = = = = x (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x y = x x y4 y y x (y3 1)(x 1) y (x y) xy(y y 1)(x x 1) x y x y x ( x + y = y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1) x y (x y 1) xy x y xy(x y) x y xy x y (x x y y) = x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3) xy x y (x y) = x y x( y) y( x) = x y (2xy) xy(x y 3) xy(x y 3) = (0,25đ) 2(x y) Suy điều cần chứng minh x y2 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y -12 = (0,25đ) (y + 6)(y - 2) = y = - 6; y = * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x = x2 + x - = x2 + 2x - x - = x(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x - 1) = x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x 1 x x x x x x 1 x2 x 3 x4 x 5 x 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 b) (1,75đ) x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 (0,25đ) ( x 2009)( 1 1 1 ) (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì Do : 2008 2007 2006 2005 Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE = CDF (c.g.c) 2004 2003 2006 EDF = 90 Vậy EDF vuông cân 2004 2003 (0,25đ) Vậy x + 2009 = x = -2009 E I B EDF 2005 1 ; ; 2008 2005 2007 2004 2006 2003 cân D Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) Eˆ Fˆ2 Mà Eˆ Eˆ Fˆ1 = 900 Fˆ2 Eˆ Fˆ1 = 900 2007 C F O A D b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD Mà EDF vuông cân DI = EF Tương tự BI = EF DI = BI I thuộc dường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng B D Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) A E DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vng A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) 2 a a a = 2(x – )2 + (0,25đ) 2 a Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x = (0,25đ) a BD = AE = D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) 2 2 C AB2 AB2 AB2 AB AB AB = – (AD2 – AD + )+ = – (AD – ) + (0,25đ) 8 2 AB2 AB2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi (0,25đ) 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: 5x 2x 2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 3: Cho phân thức: Bài 4: a) Giải phơng trình : x2 x x x ( x 2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hồn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ∆ ABC vng A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) Tính : BC; AH; BH; CH ? c) Tính diện tích ∆ AHM ? BIỂU ĐIỂM - ĐÁP ÁN Đáp án Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 điểm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7) (1 điểm) Biểu điểm Bài 2: Tìm A (1 điểm) A= x(4 x 16 x[(2 x) x(2 x 4)(2 x 4) x.2( x 2).2( x 2) 4( x 2) x x( x 2) x( x 2) x 2x x 2x Bài 3: (2 điểm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 2x x + x x -1 (1 điểm) b) Rút gọn: 5x 5( x 1) (0,5 điểm) 2 x x x( x 1) x 5 (0,25 điểm) 2x x 2x 5 Vì thoả mãn điều kiện hai tam giác nên x (0,25 điểm) 2 Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x x(x 2) - (x - 2) x2 + 2x – x +2 = 2; - Giải: x ( x 2) x ( x 2) 1đ x= (loại) x = - Vậy S = 1 b) x2 – < x2 + 4x + x2 – x2 – 4x < + - 4x < 16 x> - Vậy nghiệm phơng trình x > - Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > Vậy số ngày tổ thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 57x – 57 – 50x = 13 7x = 70 x = 10 (thoả mãn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bài 6: a) Xét ∆ ABC ∆ HBA, có: 1đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1đ Góc A = góc H = 900; có góc B chung ∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc góc) b) áp dụng pitago ∆ vng ABC 1đ 1đ AB AC = 15 20 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 ∆ ABC ~ ∆ HBA nên hay HB HA BA HB HA 15 20.05 12 (cm) AH = 25 15.15 BH = (cm) 25 HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) BC 25 c) HM = BM – BH = BH 3,5(cm) 2 1 SAHM = AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 - Vẽ hình: A ta có : BC = 1đ 1đ 1đ 1đ B ĐỀ Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 b) x 17 x 21 x 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = H M C ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút 1 x y z yz xz xy Tính giá trị biểu thức: A x yz y xz z xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA ' HB' HC' AA' BB' CC' a) Tính tổng b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB BC CA) c) Chứng minh rằng: AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = (2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 = 2x = 23 2x = 22 x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): xy yz xz 1 xy yz xz yz = –xy–xz 0 xyz x y z ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A yz xz xy ( x y)( x z) ( y x )( y z) (z x )(z y) Tính A = ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, a , b, c, d 9, a Ta có: abcd k (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m abcd k abcd 1353 m2 Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) với k, m N, 31 k m 100 (0,25điểm) đó: m2–k2 = 1353 Do (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 hoặcm–k = 33 m = 67 m = 37 k= k = 56 ( 0,25điểm ) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) Bài (4 điểm): Vẽ hình (0,25điểm) S HBC a) S ABC HA'.BC HA' ; AA' AA'.BC (0,25điểm) S HAB HC' SHAC HB' ; S ABC CC' SABC BB' HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC Tương tự: (0,25điểm) (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM BN.IC.AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (AB BC CA) 4 AA'2 BB'2 CC'2 (Đẳng thức xảy (0,25điểm) BC = AC, AC = AB, AB = BC ABC đều) AB = AC =BC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1)