S6 chuyên đề 6 chủ đề 3 phương pháp phản chứng giải bài toán số chính phương

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ĐS6.CHUYÊN ĐỀ - SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG GIẢI BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA Số phương số tự nhiên viết dạng bình phương số nguyên 2 Ví dụ: 2 ; 16 4 SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHẴN, SỐ CHÍNH PHƯƠNG LẺ Một số phương gọi số phương chẵn bình phương số chẵn, số phương lẻ bình phương số lẻ (Nói cách khác, bình phương số chẵn số chẵn, bình phương số lẻ số lẻ) CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG a) Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, có chữ số tận 2, 3, 7, Như để chứng minh số số phương ta số có hàng đơn vị 2; 3; b) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa TSNT với số mũ chẵn, không chứa TSNT với số mũ lẻ 2 Ví dụ: 3600 60 2  Để chứng minh số khơng phải SCP ta số phân tích TSNT tồn thừa số ngun tố chứa số mũ lẻ   3n  a 0,1 mod 3 c) Số phương có dạng 3n hoặc , khơng có SCP n  *   n  có dạng 4n  1 a 0,1 mod   4n d) Số phương có dạng hoặc , khơng có 4n   n   SCP có dạng 4n  hoặc e) Số ước số số phương số lẻ, ngược lại số có số lượng ước lẻ số phương f) Nếu số phương chia hết cho p chia hết cho p g) Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  Số phương tận hoặc chữ số hàng chục chữ số chẵn (121, 49, …)  Số phương tận chữ số hàng chục  Số phương tận chữ số hàng chục chẵn  Số phương tận chữ số hàng chục lẻ  Nếu SCP có chữ số tận SCP có số chẵn chữ số tận : 100, 10000, … h) Cơng thức để tính hiệu hai số phương: a2 - b2 = (a+b).(a-b) i) Tất số phương viết thành dãy tổng số lẻ tăng dần từ 1, ví dụ: 1, + 3, + + 5, + + +7, + + +7 + 9, … HỆ QUẢ - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 25 - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 16 - n 1 n 2 Số phương chia hết cho p chia hết cho p ( p số nguyên tố, n   ) PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Chứng minh biểu thức không số phương I Phương pháp giải: - Đề chứng minh biểu thức A khơng số phương Giả sử biểu thức A số phương Sử dụng tính chất để tìm điều vơ lí hay mâu thuẫn Vậy biểu thức A khơng số phương II Bài tốn n Bài 1: Chứng minh với n    khơng số phương Lời giải: n - Với n 0   5 không số phương n - Với n 1   7 khơng số phương - Với n 2 Giả sử số phương  3n  m  m  , m  3 Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  m  3n   m    m   3n m  3k   q m  3  k , q  ; k  q n    m     m   3q  3k  3q  3k  * 3 4   q k    3 điều mâu thuẫn với so với đẳng thức  * Ta thấy  n Vậy  khơng số phương với số tự nhiên n Bài 2: Chứng minh với số ngun dương n n  khơng số phương Lời giải: Giả sử n  số phương * 2  m  n   m Khi đặt  m  n 2  1   m  n   m  n  2  1  2 Như vậy, hai số m  n m  n phải có số chẵn Mặt khác m  n  m  n 2m chẵn  3 Suy hai số m  n m  n tính chẵn lẻ Từ  2  3 suy m  n m  n hai số chẵn  m  n  2    m  n  2    m  n   m  n   4   m  n  4  , so sánh điều với  1 , ta thấy điều vô lý mà  Vậy với số ngun dương n n  khơng số phương Bài 3: Chứng minh tích bốn số ngun dương liên tiếp khơng số phương Lời giải: Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  n  *  Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp n , n  , n  , n  n  Đặt  n  * S n  n  1  n    n  3 Ta chứng minh S không số phương  m  * Giả sử S m    1  n  n  1  n    n   m   n  3n   n  3n   m  a  N* Đặt n  3n a  a  a   m  a  2a m  a  2a  m    a  1 m    a   m   a   m  1 a   m 1  a   m 1  m 0   Ta thấy  2 mâu thuẫn với  1 Vậy S khơng số phương hay tích bốn số nguyên dương liên tiếp không số phương Bài 4: Chứng minh với tổng abc  bca  cab khơng số phương Lời giải: Đặt S abc  bca  cab 111 a  b  c  3.37  a  b  c  Giả sử S số phương  S 37  S 37   a  b  c  37 Trang  a, b, c   ; a, b, c 9  * CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Mà  a  b  c  37 Đây điều vô lý Vậy S khơng số phương  n Bài 5: Chứng minh với n lẻ n    24 khơng số phương Lời giải: * n  a  Đặt  24 a Khi n lẻ: Đặt n 2k  k  n  24 7 k 1  24 7 k.71  24    24 49 k.7  24 a k k Có 49 chia dư  49 chia dư 1; 7.49 chia dư  a chia dư (vô lý)  n Vậy với n lẻ n    24 khơng số phương Bài 6: Chứng minh số tự nhiên abc số ngun tố b  4ac khơng số phương Lời giải: 2 m   Giả sử b  4ac số phương m  Xét 2 4a.abc 4a  100a  10b  c   20a  b    b  4ac   20a  b   m  20a  b  m   20a  b  m  Tồn hai thừa số 20a  b  m , 20a  b  m chia hết cho số ngun tố Điều khơng xảy hai thừa số nhỏ abc 2 Thật vậy, m  b (vì m  b  4ac  ) Nên 20a  b  m 20a  b  m  100a  10b  c abc Vậy số tự nhiên abc số ngun tố b  4ac khơng số phương n Bài 7: Chứng minh với số tự nhiên n 2  khơng số phương Lời giải: n Với n 2   3 không số phương Với n  : n Giả sử  số phương Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2n   2k  1  2n  4k  4k  Mà  số lẻ nên n  2n 4k  4k   * n Vì n 2 nên 4   Mà 4k  4k 4k  k  1 4   2 Nên 4k  4k   So sánh  1  2 với  * , ta thấy mâu thuẫn với n Vậy với số tự nhiên n 2  khơng số phương Bài 8: Chứng minh với số tự nhiên n 1 A n  2n  2n  2n  khơng số phương Lời giải: Với n 1 : Giả sử A số phương  A k  n  2n3  2n  2n  k  n (n  2n  1)  (n  2n  1) k  n (n  1)  (n  1) k  (n  1)(n  1) k  (n 1) số phương với n 1 (vơ lí) Vậy với số tự nhiên n 1 A n  2n  2n  2n  không số phương Bài 9: Chứng minh với số tự nhiên B n  n  khơng số phương Lời giải: Với n = B n  n  2 khơng số phương Giả sử với số tự nhiên n 1 , B số phương *  B k  n3  n  k  k     n(n  1)  k Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  n( n  1)( n  1)  k  * Mà n(n  1)(n  1)3  n( n  1)( n  1)  k chia dư Nên  * mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy Vậy với số tự nhiên B n  n  khơng số phương Bài 10: Chứng minh với số tự nhiên n C 2n  2n  khơng số phương Lời giải: Nếu n 0 C 2n  2n  3 khơng số phương Giả sử với số tự nhiên n 1 , C số phương  C k  2n  2n  k  2n(n  1)  k (*) Mà n(n  1) 2 nên 2n(n  1)4 Nên  * mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy Vậy với số tự nhiên n C 2n  2n  khơng số phương Bài 11: Chứng minh với số tự nhiên n 1 D n  n  2n  2n khơng số phương Lời giải: Nếu n 0 D n  n  2n  2n 0 số phương Giả sử D số phương  D k  n  n  2n3  2n k  n  n  n  2n   k  n  n  n  1  n  1   n  1  k  n   n  1  n3  n    k Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  n  n  1   n3  1   n  1  k  n  n  1 n   n2  2n    2n   k số phương Đây điều khơng xảy hay vơ lí 2 * n  2n  n   n  1  n n  2n   n  1    n  1 n   Vì với   n  1  n  2n   n  n  2n  khơng số phương Vậy với số tự nhiên n 1 D n  n  2n  2n khơng số phương Bài 12: Chứng minh với số tự nhiên n 1 E n  n  khơng số phương Lời giải: Giả sử E số phương * 2  k   Khi đó: E k  n  n  k 2 2 2 Mà n  n  n   (n  1)  n  k  (n  1)  n  k  n  (vơ lí) Vậy với số tự nhiên n 1 E n  n  khơng số phương Bài 13: Chứng minh với số tự nhiên n lẻ (n 1) F n  khơng số phương Lời giải: Giả sử F số phương  k  , k  1  n3  k Khi đó: F k  n3 k   n ( k  1)(k  1) Vì n số tự nhiên lẻ nên n số lẻ  k  1, k  hai số tự nhiên lẻ liên tiếp chúng nguyên tố nên k  a   k  b với a, b lẻ a>b Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  a  b3 (a  b)( a  ab  b ) 6 (*) 2 Vì a  b 2 a  ab  b 3 nên (*) vơ lí Vậy với số tự nhiên n 1 E n  n  khơng số phương 20 Bài 14: Chứng minh tổng S  với S 2     khơng số phương Lời giải: Giả sử S  số phương  S  k 20 Ta có: S 2      S 22  23   20  221  S  S (22  23   220  221 )  (2  2  23   20 )  S 221   S  221 hay  k 221 (vơ lí) 20 Vậy tổng S  với S 2     không số phương Bài 15: Chứng minh tổng bình phương bốn số nguyên dương liên tiếp khơng số phương Lời giải: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp n  1, n, n  1, n  Giả sử tổng bình phương bốn số nguyên dương liên tiếp số phương, tức 2 2 ( n  1)  n  (n  1)  ( n  2) số phương 2 2 Đặt N ( n  1)  n  (n  1)  ( n  2) 2 2 2 Ta có: N (n  1)  n  (n  1)  (n  2) 4n  4n  4(n  n)  (*) Do đó, 4( n  n)  số chẵn N số phương nên N 4 Mà [4(n  n)  6] 4 Nên (*) không xảy hay vô lý Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy tổng bình phương bốn số ngun dương liên tiếp khơng số phương Bài 16: Chứng minh tổng bình phương năm số ngun dương liên tiếp khơng số phương Lời giải: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp n  2, n  1, n, n  1, n  Giả sử tổng bình phương năm số nguyên dương liên tiếp số phương, tức 2 2 ( n  2)  (n  1)  n  ( n  1)  ( n  2) số phương 2 2 Đặt M (n  2)  (n  1)  n  (n  1)  (n  2) 2 2 2 Ta có: M (n  2)  (n  1)  n  (n  1)  (n  2) 5n  10 5(n  2) 2 Do đó, M số phương nên ( n  2) 5  n  có số tận hoặc  n có số tận hoặc (vơ lí) Vậy tổng bình phương năm số ngun dương liên tiếp khơng số phương 2 Bài 17: Cho n số nguyên dương d ước nguyên dương 2n Chứng minh n  d số phương Lời giải: Giả sử n  d số phương * Đặt 2n kd , k   2 2 2 2 2 Ta có: k (n  d ) n k  k d n k  2n k n (k  2k ) số phương  k  2k số phương (*) 2 Mà k  k  2k  ( k  1) nên (*) vơ lí 2 Vậy với n số nguyên dương d ước nguyên dương 2n n  d khơng phải số phương Bài 18: Chứng minh tổng bình phương hai số tự nhiên lẻ k hơng phải số phương Lời giải: Gọi a , b số tự nhiên lẻ Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2 Giả sử tổng bình phương hai số a b số phương, tức a  b số phương   Vì a b lẻ nên đặt a 2m  , b 2n   a  b (2m  1)  (2n  1) [4(m  n  m  n)  2]2   Từ       a  b  4  3 2 2   4 Mà a  b 4(m  n  m  n)    3   mâu thuẫn với Vậy tổng bình phương hai số tự nhiên lẻ khơng phải số phương Bài 19: Chứng minh với số tự nhiên n n  2002 khơng phải số phương Lời giải: Giả sử n  2002 số phương  n  2002 k  n  k 2002  (n  k )(n  k ) 2002 (*)  2002 (2.7.11.13) 2   Mà  2002 (2.7.11.13) 4 nên ( n  k )(n  k ) 2  n  k , n  k chia hết cho Hơn nữa, ( n  k )  (n  k ) 2k nên hai số n  k , n  k chia hết cho  ( n  k )( n  k ) 4 Nên (*) điều mâu thuẫn hay không bao giờ xảy hay vô lý Vậy với số tự nhiên n n  2002 khơng phải số phương n  1  n  Bài 20: Chứng minh với số tự nhiên n  khơng phải số phương Lời giải: n  1 Giả sử  Ta có  n 1 4  n4 1 số phương  n  2n  4n3  6n  4n  2 2  n  2n3  3n  2n  1 2  n  n  1 Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Do n  n  n  n  1  n số lẻ nên  n  1 số lẻ   n  1  n  n  1 Vậy  chia hết cho khơng chia hết cho (vơ lí)  n4 1 khơng số phương Bài 21: Chứng minh với số tự nhiên n n  n  khơng phải số phương Lời giải: Giả sử n  n  số phương 5 Ta có: n  n  (n  n)  n( n  1)  n(n  1)( n  1)(n  1)  (*) 5 Vì n(n  1)(n  1)(n  1)  số chẵn nên n  n  số chẵn Mà n  n  số phương nên ( n5  n  2)4 Mặt khác : n(n  1)(n  1)(n 1)  4 Nên (*) điều mâu thuẫn hay không bao giờ xảy hay vô lý Vậy n  n  khơng số phương 4n 4n 4n 4n Bài 22: Chứng minh với số nguyên dương n A 2012  2013  2014  2015 khơng phải số phương Lời giải: Giả sử A số phương Ta có: 20124 n (4.503) n 4, n   * 20144 n (2.19.53) n 42 n.(19.53) n 4, n   * 20134 n 20134 n    20134 n  1 1 20154 n 20154 n    1 4n 1 chia dư chia cho dư 4n 4n 4n 4n Do đó, A 2012  2013  2014  2015 chia cho dư Ta có A số chẵn A phương nên A chia hết cho 22 (vơ lí) Vậy A khơng số phương Trang 12 CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 33 Bài 23: Chứng minh A 1       khơng phải số phương Lời giải: Giả sử A số phương Ta có A 1    22  23   25      230  231  232  233  3  22    22  23     230    2  23  3  2.30    229.30 3      229  3.10 Ta thấy A có chữ số tận (vơ lí) Vậy A khơng số phương 2004 Bài 24: Chứng minh A n  số phương n lẻ Lời giải: 2004 Giả sử n  số phương với n số lẻ Ta có: * n 2004  a  a     a   n1002  1   a  n1002   a  n1002  1  1 a  n1002    a  n1002  1  a  n   với n số lẻ điều vơ lí 1002 2004 Vậy n  khơng số phương với n số lẻ Bài 25: Chứng minh p tích n số nguyên tố p  p  khơng thể số phương Lời giải:   1 Vì p tích n số nguyên tố nên p2 p  *Giả sử p  số phương m   Đặt p  m  Vì p chẵn nên p  lẻ, suy m lẻ, suy m lẻ Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG k   Đặt m 2k   2 Ta có m 4k  4k   p  4k  4k   p 4k  4k 4k  k  1 4 , điều mâu thuẫn với  1 Suy p  khơng số phương * Giả sử p  số phương p 2.3.5 số chia hết cho Suy ra, p  có dạng 3k  Khơng có số phương có dạng 3k  , điều mâu thuẫn với p  số phương Suy p  khơng số phương Vậy p tích n số nguyên tố p  p  khơng thể số phương Dạng 2: Chứng minh khơng tồn điều kiện biến để biểu thức A số phương I Phương pháp giải: - Đề yêu cầu chứng minh khơng tồn điều kiện biến để biểu thức A số phương - Giả sử biểu thức A số phương - Sử dụng tính chất để tìm điều vơ lí hay mâu thuẫn - Vậy khơng tồn điều kiện biến để biểu thức A số phương II Bài tốn Bài 26: Chứng minh không tồn số tự nhiên n để 2006  n số phương Lời giải: 2006  n m  m  N  Giả sử 2006  n số phương  m  n 2006   m  n   m  n  2006  1 Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  2 Như vậy, hai số m  n m  n phải có số chẵn Mặt khác m + n + m – n = 2m chẵn  3 Suy hai số m  n m  n tính chẵn lẻ Từ  2 Suy  3 suy m  n m  n hai số chẵn  m  n   m  n  4 2006 không chia hết cho 4, so sánh với  1 , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để 2006  n số phương Bài 27: Chứng minh khơng tồn số tự nhiên n để 2010  n số phương Lời giải: 2010  n m  m  N  Giả sử 2010  n số phương  m  n 2010   m  n   m  n  2010  1  2 Như vậy, hai số m  n m  n phải có số chẵn Mặt khác m + n + m – n = 2m  3 Suy hai số m  n m  n tính chẵn lẻ Từ  2 Suy  3 suy m  n m  n hai số chẵn  m  n   m  n  4 2010 không chia hết cho 4, so sánh với  1 , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để 2010  n số phương Bài 28: Chứng minh không tồn số tự nhiên n để 2014  n số phương Lời giải: 2014  n m  m  N  Giả sử 2014  n số phương  m  n 2014   m  n   m  n  2014  1  2 Như vậy, hai số m  n m  n phải có số chẵn Mặt khác m  n  m  n 2m Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  3 Suy hai số m  n m  n tính chẵn lẻ Từ  2 Suy  3 suy m  n m  n hai số chẵn  m  n   m  n  4 2014 không chia hết cho 4, so sánh với  1 , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để 2014  n số phương Bài 29: Chứng minh không tồn số tự nhiên n để 2018  n số phương Lời giải: 2018  n m  m  N  Giả sử 2018  n số phương  m  n 2018   m  n   m  n  2018  1  2 Như vậy, hai số m  n m  n phải có số chẵn Mặt khác m  n  m  n 2m  3 Suy hai số m  n m  n tính chẵn lẻ Từ  2 Suy  3 suy m  n m  n hai số chẵn  m  n   m  n  4 2018 không chia hết cho 4, so sánh với  1 , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để 2018  n số phương   k   để k  n số Bài 30: Chứng minh không tồn số tự nhiên n với k chẵn k  phương Lời giải: k  n m  m  N  Giả sử k  n số phương  m  n k   m  n   m  n  k  1  2 Như vậy, k chẵn nên hai số m  n m  n phải có số chẵn Mặt khác, m  n  m  n 2.m  3 Suy ra, hai số m  n m  n tính chẵn lẻ Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Từ  2 Suy  3 suy m  n m  n hai số chẵn  m  n   m  n  4 k không chia hết cho , so sánh với  1 , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với  4(k  N ) để 2018  n số phương Vậy không tồn số tự nhiên n với k chẵn k  Bài 31: Chứng minh không tồn số tự nhiên n để 13n  số phương Lời giải: 2 * Đặt 13n m   Nếu n chẵn (lẻ) m chẵn (lẻ) nên m, n tính chất chẵn (lẻ) 2 2 +) Nếu m, n số lẻ 13n  chia dư (vì 13n chia dư 1) nên không tồn m m chia dư 2 +) Nếu m, n chẵn 13n chia dư m 4 vô lý Vậy không tồn số tự nhiên n cho 13n  số phương Bài 32: Chứng minh số chẵn bất kỳ không chia hết cho khơng phân tích thành hiệu hai số phương Lời giải: Giả sử n 4k   k  N  (chẵn chia dư không chia hết cho 4); n a  b  4k  a  b (a  b)(a  b) tính chẵn lẻ  a  b  2     a  b   a  b  4   4k   4  a  b  2 Điều trái với gia thiết ban đầu Vậy số chẵn khơng chia hết cho khơng phân tích thành hiệu hai số phương  HẾT  Trang 17