S6 chuyên đề 6 chủ đề 5 phương pháp kẹp trong bài toán số chính phương

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP KẸP TRONG BÀI TỐN SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Khơng tồn số phương nằm hai số phương liên tiếp 2 Cụ thể: Nếu có q  k  (q  1) (k ; q  ) k khơng số phương PHẦN II CÁC DẠNG BÀI: Dạng 1: Chứng minh số, biểu thức số khơng số phương I Phương pháp giải: Để chứng tỏ số k (k  ) khơng số phương ta tiến hành theo bước: Bước 1: Chứng tỏ k  q ( q  ) Bước 2: Chứng tỏ k  (q  1) ( q  ) 2 Bước 3: Từ bước suy q  k  (q  1) (q  )  k khơng số phương Sử dụng đẳng thức để biến đổi biểu thức số: ( a  b) a  2ab  b ( a  b) a  2ab  b II Bài toán: Bài 1: Chứng minh số 10224 khơng số phương Lời giải: Nhận thấy: 1012 10201  10224  1012 1022 10404  10224  1022 Suy 1012  10224  1022 Vậy 10224 khơng số phương Bài 2: Chứng minh số 40725 khơng số phương Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải: Nhận thấy: 2012 40401  40725  2012 2022 40804  40725  2022 2012  40725  2022 Suy Vậy 40725 khơng số phương Bài 3: Chứng minh số 4014025 khơng số phương Lời giải: 2 Ta có 2003 4012009  4014025  2003 20042 4016016  4014025  20042 2 Suy 2003  4014025  2004 Chứng tỏ 4014025 khơng số phương Bài 4: Chứng minh số 4025025 khơng số phương Lời giải: 2 Ta có 2006 4024036  4025025  2006 2007 4028049  4025025  2007 2 Suy 2006  4025025  2007 Chứng tỏ 4025025 không số phương Bài 5: Chứng minh rằng: a) b) S 20162016  20161000  2016999   2016  2016 khơng số phương A 20182018  20181000  2018999   20182  2018  khơng số phương Lời giải: 2016 1000 999 a) Ta có S 2016  2016  2016   2016  2016 Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  S  20162016 (20161008 ) (1) 1008 2016 1008 Ta chứng minh S  (2016  1) 2016  2.2016  Thật : 20161000  2016999   20162  2016  20161000  20161000   20161000 ( 1000 số 20161000 )  20161000  2016999   20162  2016  1000.20161000 1000 Mà 1000.2016  20161001  2.20161008 1  S  20162016  2.20161008  (20161008  1)  S  (20161008  1) (2) 1008 1008 Từ (1), (2)  (2016 )  S  (2016  1) Suy S khơng số phương (ĐPCM) 2018 1000 999 b) Ta có : A 2018  2018  2018   2018  2018   A  20182018 (20181009 ) (1) Lại có: 20182018  20181000   20182  (2018  5)  20182018  20181000   20181000 (1000 số 20181000 )  A  20182018  1000.20181000  20182018  20181001  20182018  2.20181009   A  (20181009  1) (2) 1009 1009 Từ (1),(2)  (2018 )  A  (2018  1) Suy A không số phương (ĐPCM) Bài 6: Chứng minh rằng: M 20212020  2021100  202199   20212  20211  20210 khơng số phương Lời giải: Ta có : Trang M 20212020  2021100  202199   20212  20211  20210 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  M  20212020 (20211010 ) (1) Lại có: 2021100  202199   20212  (20211  20210 )  2021100   2021100 (100 số 2021100 )  2021100  202199   20212  (20211  20210 )  100.2021100  M  20212020  100.2021100  20212020  2021101  20212020  2.20211010   M  (20211010  1) (2) 1010 1010 Từ (1),(2)  (2021 )  M  (2021 1) Suy M khơng số phương (ĐPCM) Dạng 2: Chứng minh biểu thức A(n) không số phương I Phương pháp giải: - Để chứng tỏ biểu thức A(n)  n   Bước 1: Chứng tỏ A(n) >  B(n) Bước 2: Chứng tỏ A(n) <  B(n)+1 Bước 3: Từ bước suy khơng số phương ta tiến hành theo bước:  B(n)  A(n) <  B(n)+1  A(n) khơng số phương - Sử dụng đẳng thức sau để biến đổi biểu thức: ( a  b) a  2ab  b ( a  b) a  2ab  b a  b (a  b)(a  b) a  b3 (a  b)(a  ab  b) a  b3 (a  b)( a  ab  b) II Bài tốn: Bài 1: Chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp khác không số phương Trang CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp khác n ;  n  1  n   * n  n  1 Tích số Ta có n  n  1 n  n  n  n   * Mặt khác Từ n  n  n  2n  (n  1) (1) (2) (1), (2)  n  n  n  (n  1)  n  n(n  1)  ( n  1)  n   * n  n  1 khơng số phương Vậy tích hai số tự nhiên liên tiếp khác không số phương (ĐPCM) Bài 2: Chứng minh tích bốn số nguyên dương liên tiếp không số phương Lời giải:  n   * Gọi số nguyên dương liên tiếp n ;(n  1);(n  2);(n  3) Đặt S n(n  1)(n  2)( n  3)  S  n(n  3)  (n  1)(n  2)   S (n  3n)(n  3n  2) Đặt (n  3n) x  x   *  S  x ( x  2)  x  x 2 2 2 Nhận thấy x  x  x  x  x   x  x  x  ( x  1) x   * Suy S khơng số phương Suy S khơng số phương n   * Vậy tích bốn số ngun dương liên tiếp khơng số phương Bài 3: Chứng minh tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp n ;(n  1);(n  2);( n  3)  n   2 2 Đặt A n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  A n  (n  2n  1)  ( n  4n  4)  (n  6n  9)  A 4n  12n  14  A (4n  12n  9)   A  (2 n)  2.2 n.3  32    A (2n  3)   A (2n  3)   A  (2n  3) (1) Mặt khác ta có: (2n  4) 4n  16n  16 (4n  12n  9)  4n  (2n  3)  4n   (2n  3)   n    A  (2n  4) (2) 2 Từ (1),(2)  (2n  3)  A  (2n  4)  A khơng số phương Bài 4: Chứng minh n   số sau không số phương a) n  7n  10 b) n  5n  Lời giải: 2  n   a) Nhận thấy : ( n  3) n  6n  2 Mà n  n  10  n  6n  2 nên n  7n  10  (n  3) (1) 2  n   Cũng có ( n  4) n  8n  16 Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2 Mà n  n  10  n  8n  16 2 nên n  7n  10  (n  4) n   (2) Từ (1) , (2)  n   n  7n  10 khơng số phương b) Nhận thấy n   ta có: (2n  1) 4n  4n  (2n  2) 4n  8n  4n  4n   4n  5n   4n  8n   (2n  1)  4n  5n   (2n  2) n    n   4n  5n  khơng số phương Bài Chứng minh với n số tự nhiên số sau khơng phải số phương a) A n  2n  b) B 9n  8n  10 Lời giải: a) Ta có: ( n 1) n  2n  ( n  2) n  4n  2 Mà n  2n   n  2n   n  4n  2 nên ( n  1)  n  2n   ( n  2)  A n  2n  không số phương b) 2 Ta có: (3n  1) 9n  6n  (3n  2) 9n  12n  2 Mà 9n  6n   9n  8n  10  9n  12n  2 nên (3n  1)  9n  8n  10  (3n  2) Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  B 9n  8n  10 khơng số phương Bài 6: Chứng minh số có dạng n  n  2n  2n n ; n  khơng số phương Lời giải: Đặt B n  n  2n  2n B n  n4  n  2n   n  ( n  n2 )  (2n  2)   B n  n ( n  1)  2( n  1)  n  n  n  1  n  1   n  1   B n  n  1  n  n  1   n  n 1  n3  n    B  n  n  1   n3  1   n  1  n  n  1   n  1  n  n  1   n  1  n  1   B n  n  1  n  1   n  n  1   n  1   n  n  1 n  2n      n  2n   n  2n    n  1    n  1 n   , n  Với  B   n  1 2 (1) n  2n  n   n   n   n  1  n Mặt khác với n  , n  ta có  B  n2 (2) n  1  B  n  B Từ (1) , (2) suy  số phương Vậy số có dạng n  n  2n  2n n ; n  khơng số phương (ĐPCM) Bài 6: Cho n số nguyên dương m ước nguyên dương 2n CMR: n  m khơng số phương Lời giải: Giả sử: n  m số phương Trang CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Đặt: n  m k  k   (1)  p    Theo ta có: 2n mp m Thay m 2n p 2n 2n n2  k p vào (1) ta được: p  n p  pn  p k  n  p  p   pk  Do n ,  pk  2 số phương nên p  p số phương Mặt khác: p  p  p   p  1  p  p không số phương (Mâu thuẫn với giả sử) Vậy n  m khơng số phương Dạng 3: Tìm giá trị n để biểu thức A(n) số phương I Phương pháp giải: 2 Xét trường hợp xảy n Dùng tính chất “Nếu q  k  (q  1) (k ; q  ) k khơng số phương” đề loại giá trị khơng phù hợp n từ chọn giá trị phù hợp n II Bài tốn: Bài 1: Tìm số tự nhiên n để n  n  1 số phương Lời giải: Vì n số tự nhiên nên ta xét trường hợp sau: +) +) n 0  n  n  1 0  n  n  1 số phương n 1: Ta có n  n  1 n  n  n  n   * Mặt khác Trang n  n  n  2n  (n  1) (1) (2) CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Từ (1), (2)  n  n  n  (n  1)  n  n(n  1)  ( n  1)  n   * n  n  1 khơng số phương n  n  1 Vậy n 0 số phương Bài 2: Tìm số tự nhiên n để S n(n  1)(n  2)( n  3) số phương Lời giải: Vì n số tự nhiên nên ta xét trường hợp sau: +) n 0  S n(n  1)(n  2)(n  3) 0  S số phương +) n 1: Ta có S  n(n  3)   ( n  1)(n  2)  (n  3n)(n  3n  2) Đặt (n  3n) x  x 4   S  x ( x  2)  x  x 2 2 2 Nhận thấy x  x  x  x  x   x  x  x  ( x  1) x 4 Suy S khơng số phương Suy S khơng số phương với n 1 Vậy n 0 S n(n  1)(n  2)(n  3) 0 số phương Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n  3n số phương Lời giải: Vì n số tự nhiên nên ta xét trường hợp sau: 2 +) n 0  n  3n 0  n  3n số phương 2 +) n 1  n  3n 4  n  3n số phương +) n  1: Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2 2 Ta có n  3n n  2n  n  n  2n  (n  1) 2 2 Cũng có n  3n n  2n  n  n  4n  (n  2)  (n  1)  n  3n  (n  2)  n  3n khơng số phương Vậy với n 0;1 n  3n số phương Bài 4: Tìm số tự nhiên n để n  3n  số phương Lời giải: Vì n số tự nhiên nên ta xét trường hợp sau: 4 +) n 0  n  3n  6  n  3n  không số phương 4 +) n 1  n  3n  4  n  3n  số phương 4 +) n 2  n  3n  16  n  3n  số phương +) n  2: 4 4 2 Ta có n  3n  n  (3n  6) n  3(n  2)  n (n ) (1) 2 Mặt khác ta có: ( n  1) n  2n  Xét hiệu: n  3n   ( n  1) n  3n   ( n  2n  1) 2n  3n  2n  4n  n  2n(n  2)  n   n   n  3n   (n  1)   n  3n   (n  1) (2) 2 2 Từ (1) , (2)  (n  1)  n  3n   (n )  n  3n  khơng số phương Trang 11 CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy với n 1; n  3n  số phương Bài 5: Tìm tất các số nguyên n để : n  2n  2n  n  số phương Lời giải: Đặt y n  2n3  2n  n   n  n  1   n  n   1   y  n  n    n    2 y  n  n    n  n  1     2 2 Khi n 0 n   y 7 số phương Với n 0,   n2  n   n  1  n  1  n n Ta có : 2   n  n  1   n   y   n  n    y  n  n  1  n 2 n  n  0    n  Lúc : Bài 6: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n  3n  số phương Lời giải: Ta có số tự nhiên n có chữ số nên 10 n 99  21 2n  199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 2n  25; 49;81;121;169 Tương ứng với số n 12; 24; 40; 60;84 Tương ứng 3n  37; 73; 121; 181; 253 Trong có 121 số phương Vậy số tự nhiên n có chữ số cần tìm n 40 Bài 7: Tìm số tự nhiên n để n  n  số phương Lời giải: Vì n số tự nhiên nên ta xét trường hợp sau: Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 4 +) n 0  n  3n  6  n  3n  khơng số phương +) n 0 ta xét: n  n     n  1  n  n     n  2n  1 2n2  n     n  n     n  1 n 2 (1)  1   n  n    n  2n2  1   n  n   2n2  n     n  1   n  n   (2) Từ (1) (2)   n  1   n  n     n  1   n  n   n   n  0  n 2 Vậy n 2 n  n  số phương Dạng 4: Tìm số phương thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số B số phương Tìm hai số A B Lời giải: Gọi A abcd k , đó: B  a  1  b  1  c  1  d  1 m  k , m  ,32  k  m  100  Ta có : 2  m  k  a  1  b  1  c  1  d  1  abcd 2  m  k 1000  a  1  100  b  1  10  c  1   d  1   1000a  100b  10c  d  2  m  k 1000a  1000  100b  100  10c  10  d    1000a  100b  10c  d   m  k 1111 Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG   m  k   m  k  11.101 (1)   m  k  , m  k  Nhận xét thấy tích với k , m  ,32  k  m  100 hai số nguyên dương m  k  m  k  200 (2) m  k 11 m 56    m  k 101 k 45 Từ (1), (2) Vậy hai số A 2025, B 3136 Bài 2: Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm hai chữ số sau đơn vị Lời giải: Gọi số phương có chữ số Đặt abcd abcd k  k  ,32 k  100   100ab  cd k  1 Mặt khác theo ta có : ab  cd 1    100 ab  cd 1  100ab  100cd 100  2  1 ,   suy  100ab  cd    100ab  100cd  k Từ  100 2  101cd k  10  k  10   k  10   k  10101 k  10101  k  1;101 1  k  10101 Mà k   ,32 k  100 nên Do 32 k  100  42 k  10  110 Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  k  10 101  k 91  abcd 912 8281 Vậy số phương có chữ số cần tìm 8281 Bài 3: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Lời giải: Gọi số phương phải tìm : aabb n ,  a, b   ,1 a 9, b 9 Ta có : n aabb 100aa  bb 11.100a  11b  n 11 100a  b  11 99a  a  b  (1)  n 11 2 Mà 11 số nguyên tố  n 11 (2) Từ (1),(2) ta suy a  b 11 Mà a 9, b 9  a  b 18  a  b 11 n 112  9a  1  9a  Thay a  b 11 vào (1) ta : số phương Bằng phép thử a từ đến ta thấy có a 7 thỏa mãn  b 4 Vậy số cần tìm 7744 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương Lời giải: Gọi số phương là: Trang 15 abcd CHUN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Theo ta có abcd x  y  x, y   Vì y  x  y số phương Mặt khác ta có : 1000 abcd 9999  1000  y 9999  103  y 213  10  y 21 Mà y số phương nên y 16  abcd 163  abcd 4096 Vậy số có chữ số vừa số phương vừa lập phương 4096 Bài 5: Tìm số có hai chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số Lời giải: Gọi số phải tìm ab  a, b  ,1 a 9, b 9  Theo ta có: ab  a  b    10a  b   a  b  3 Khi ab lập phương a  b số phương Đặt ab t  t   , a  b m  m   Vì 10 ab 99  10 t 99  t 27 t 64  ab 27 ab 64 TH1 : ab 27  a  b 9 số phương Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG TH2 : ab 64  a  b 10 khơng số phương ( loại) Vậy số có hai chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số 27 Bài 6: Tìm ba số phương lẻ liên tiếp mà tổng chúng số có chữ số giống Lời giải: Gọi ba số lẻ liên tiếp là: 2n  1, 2n 1, 2n   n   Ta xét: A  2n  1   2n  1   2n  3 A  4n  4n  1   4n  4n  1   4n  12n   A 12n  12n  11 Theo ta có A 12n  12n  11 aaaa 1111.a ( a lẻ a 9 )  12n  12n 1111.a  11  12n  n  1 11 101a  1 (*)  101a  13  99a  2a  13  2a  13 Vì a 9  2a  17 2a  1  1;3;9;15  a   1; 2;5;8 Mà 2a  lẻ nên Vì a lẻ nên a 1;5 + Thay a 1 vào (*) ta 12n  n  1 1100  n  n  1 275 Mà n  n  1 + Thay tích số tự nhiên liên tiếp nên có tận 0; 2; (loại) a 5 vào(*) ta 12n  n  1 5544  n  n  1 462 Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  n  n  1 21.22  n 21 2n  41   2n  43  2n  45  Vậy  2n  1 1681    2n  1 1849   2n  3 2025 ba số phương lẻ liên tiếp cần tìm 1681;1849; 2025 Bài 7: Tìm số phương mà bình phương số có hai chữ số lập phương tổng hai chữ số số có hai chữ số Lời giải: Gọi số phương cần tìm n  ab  Theo ta có Đặt  a  b  x  n  a  b  nên  a  b  số phương x ab  x3 ab   x3  100  x   3; 4 mà  ab  100 Nếu x 3  ab 27 (thỏa mãn) Nếu x 4  ab 64 (loại)  n ab 27 729 Vậy số phương cần tìm 729 Bài 8: Tìm số phương biết tổng số có hai chữ số với số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại Lời giải: n (n  ) Gọi số phương có dạng Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Theo ta có : n ab  ba  a , b   ;0  a , b    n 10a  b  10b  a 11(a  b)  n2 11 2 Mà 11 số nguyên tố nên  n 11  11(a  b)112  (a  b)11 Mà a , b   ;0  a , b    (a  b)  18  ( a  b) 11  n 11.11 121 Vậy số phương cần tìm 121 Bài 9: Tìm số phương biết bình phương số có hai chữ số trừ bình phương số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại Lời giải: n (n  ) Gọi số phương có dạng Theo ta có : n ab  ba  a , b   ;  a , b   2  n  10a  b    10b  a   100a  20ab  b    100b  20ab  a   n 99a  99b 99  a  b  11.9  a  b   n 11.9  a  b   a  b   n 11 2 Mà 11 số nguyên tố nên  n 11  11.9.(a  b)(a  b) 112 Vì a , b   ;0  a , b    (a  b)  8,  (a  b)  18  ( a  b) 11  n 112.32  a  b  suy  a  b  số phương   a  b  1; Mà  (a  b)  Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  a  b  1 Mặt khác ( a  b), ( a  b) tính chẵn lẻ nên  n 112.32.1 1089 Vậy số phương cần tìm 1089 Bài 10: Tìm số phương có dạng abcd , biết : ab  cd 1 Lời giải: 2 Đặt abcd n  n 100ab  cd Mà ab cd  nên n 100(cd  1)  cd 101cd  100  n  102 101cd  101cd (n  10)(n  10)   n  10   n  10  101  n  10101    n  10101 Vì 101 số nguyên tố Ta có : 1000 n  10000  31  n  100  n  10101  n 91  abcd 912 8281 Bài 11: Tìm số phương có chữ số số lập phương số tự nhiên Lời giải: Gọi số phương : abcd  x  y  x , y  N  Vì y x  y số phương Ta có : 1000 abcd 9999  1000 y 9999  10 y 21 Mà y số phương nên y 16 Trang 20