Thuvienhoclieu com so hoc 6 chuyen de 6 chu de 3 phuong phap phan chung giai bai toan so chinh phuong

thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 6 SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 3 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG GIẢI BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA Số chính phương là s[.]

thuvienhoclieu.com ĐS6.CHUYÊN ĐỀ - SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG GIẢI BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA Số phương số tự nhiên viết dạng bình phương số ngun Ví dụ: ; SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHẴN, SỐ CHÍNH PHƯƠNG LẺ Một số phương gọi số phương chẵn bình phương số chẵn, số phương lẻ bình phương số lẻ (Nói cách khác, bình phương số chẵn số chẵn, bình phương số lẻ số lẻ) CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG a) Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7, Như để chứng minh số khơng phải số phương ta số có hàng đơn vị 2; 3; b) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa TSNT với số mũ chẵn, không chứa TSNT với số mũ lẻ Ví dụ: Để chứng minh số khơng phải SCP ta số phân tích TSNT tồn thừa số ngun tố chứa số mũ lẻ c) Số chính phương chỉ có thể có dạng nào có dạng hoặc d) Số phương có dạng SCP có dạng , khơng có SCP hoặc , khơng có e) Số ước số số phương số lẻ, ngược lại số có số lượng ước lẻ số phương f) Nếu số phương chia hết cho chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com g)  Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn (121, 49, …)  Số phương tận chữ số hàng chục  Số phương tận chữ số hàng chục chẵn  Số phương tận chữ số hàng chục lẻ  Nếu SCP có chữ số tận SCP có số chẵn chữ số tận như : 100, 10000, … h) Cơng thức để tính hiệu hai số phương: a2 - b2 = (a+b).(a-b) i) Tất số phương viết thành dãy tổng số lẻ tăng dần từ 1, ví dụ: 1, + 3, + + 5, + + +7, + + +7 + 9, … HỆ QUẢ - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 25 - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 16 - Số phương chia hết cho chia hết cho ( số nguyên tố, PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Chứng minh biểu thức khơng số phương I Phương pháp giải: - Đề chứng minh biểu thức khơng số phương - Giả sử biểu thức số phương Sử dụng các tính chất để tìm điều vơ lí hay mâu thuẫn - Vậy biểu thức khơng số phương II Bài tốn Bài 1: Chứng minh với khơng số phương Lời giải: - Với khơng số phương - Với khơng số phương - Với Giả sử số phương thuvienhoclieu.com Trang ) thuvienhoclieu.com Ta thấy là điều mâu thuẫn với so với đẳng thức Vậy khơng số phương với số tự nhiên Bài 2: Chứng minh rằng với mọi sớ ngun dương n thì khơng số phương Lời giải: Giả sử số phương Khi đặt Như vậy, hai số Mặt khác phải có số chẵn chẵn Suy hai số Từ và suy mà tính chẵn lẻ hai số chẵn , so sánh điều này với Vậy với số nguyên dương , ta thấy là điều vơ lý khơng số phương Bài 3: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp khơng số phương Lời giải: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp , , , Đặt Ta chứng minh Giả sử không số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Đặt Ta thấy mâu th̃n với Vậy khơng số phương hay tích bốn số nguyên dương liên tiếp không số phương Bài 4: Chứng minh rằng với tởng của khơng số phương Lời giải: Đặt Giả sử là số chính phương Mà Đây là điều vô lý Vậy không số phương Bài 5: Chứng minh rằng với lẻ và thì khơng số phương Lời giải: Đặt Khi lẻ: Đặt thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Có 49 chia dư chia dư 1; Vậy với lẻ và chia dư chia dư (vơ lý) khơng số phương Bài 6: Chứng minh rằng nếu số tự nhiên là số ngun tớ thì khơng số phương Lời giải: Giả sử số phương Xét Tờn tại một hai thừa số , chia hết cho sớ ngun tớ Điều khơng xảy hai thừa số nhỏ Thật vậy, (vì ) Nên Vậy số tự nhiên số nguyên tố Bài 7: Chứng minh rằng với mọi sớ tự nhiên khơng số phương thì khơng số phương Lời giải: Với Với khơng số phương : Giả sử Mà số phương số lẻ nên Vì nên Mà Nên So sánh và với Vậy với mọi số tự nhiên , ta thấy mâu th̃n với thì khơng số phương Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì khơng số phương Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Với : Giả sử số phương số phương với Vậy với số tự nhiên (vơ lí) khơng số phương Bài 9: Chứng minh rằng với mọi sớ tự nhiên thì khơng số phương Lời giải: Với n = thì không là số chính phương Giả sử với số tự nhiên , số phương Mà Nên chia dư mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy Vậy với số tự nhiên khơng số phương Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì khơng số phương Lời giải: Nếu thì không là số chính phương Giả sử với số tự nhiên , số phương Mà Nên nên mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vậy với số tự nhiên khơng số phương Bài 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì khơng số phương Lời giải: Nếu thì là sớ chính phương Giả sử số phương số phương Đây là điều khơng xảy hay vơ lí Vì với khơng số phương Vậy với số tự nhiên khơng số phương Bài 12: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì khơng số phương Lời giải: Giả sử số phương Khi đó: Mà (vơ lí) Vậy với số tự nhiên khơng số phương Bài 13: Chứng minh rằng với mọi sớ tự nhiên n lẻ thì thuvienhoclieu.com khơng số phương Trang thuvienhoclieu.com Lời giải: Giả sử số phương Khi đó: Vì số tự nhiên lẻ nên nguyên tố nên số lẻ hai số tự nhiên lẻ liên tiếp chúng với a, b lẻ a>b (*) Vì nên (*) vơ lí Vậy với số tự nhiên khơng số phương Bài 14: Chứng minh rằng tởng với khơng số phương Lời giải: Giả sử số phương Ta có: hay Vậy tổng (vơ lí) với khơng số phương Bài 15: Chứng minh rằng tổng các bình phương của bốn số nguyên dương liên tiếp khơng số phương Lời giải: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp Giả sử tổng bình phương bốn số nguyên dương liên tiếp số phương, tức Đặt số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta có: Do đó, số chẵn Mà Nên số phương nên khơng xảy hay vơ lý Vậy tổng bình phương bốn số ngun dương liên tiếp khơng số phương Bài 16: Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm sớ ngun dương liên tiếp khơng số phương Lời giải: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp Giả sử tổng bình phương năm số nguyên dương liên tiếp số phương, tức là số phương Đặt Ta có: Do đó, số phương nên (vơ lí) có số tận có số tận Vậy tổng bình phương năm số nguyên dương liên tiếp không số phương Bài 17: Cho là sớ ngun dương và là một ước nguyên dương của Chứng minh rằng khơng phải số phương Lời giải: Giả sử Đặt số phương , Ta có: số phương số phương (*) Mà nên (*) vơ lí Vậy với số ngun dương phương ước nguyên dương khơng phải số Bài 18: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số tự nhiên lẻ bất kì khơng phải số phương Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Gọi , số tự nhiên lẻ Giả sử tổng bình phương hai số Vì Từ lẻ nên đặt số phương, tức , số phương Mà mâu thuẫn với Vậy tổng bình phương hai số tự nhiên lẻ khơng phải số phương Bài 19: Chứng minh rằng với mọi sớ tự nhiên thì khơng phải số phương Lời giải: Giả sử số phương Mà nên Hơn nữa, chia hết hai số chia hết cho Nên là điều mâu thuẫn hay không bao giờ xảy hay vơ lý Vậy với số tự nhiên khơng phải số phương Bài 20: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì không phải số phương Lời giải: Giả sử số phương Ta có Do số lẻ nên số lẻ thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com chia hết cho khơng chia hết cho (vơ lí) Vậy khơng số phương Bài 21: Chứng minh rằng với mọi sớ tự nhiên thì khơng phải số phương Lời giải: Giả sử số phương Ta có: Vì số chẵn nên số chẵn Mà số phương nên Mặt khác : Nên là điều mâu thuẫn hay không bao giờ xảy hay vơ lý Vậy khơng số phương Bài 22: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì khơng phải số phương Lời giải: Giả sử số phương Ta có: chia dư chia cho dư Do đó, chia cho dư Ta có Vậy số chẵn phương nên chia hết cho 22 (vơ lí) khơng số phương Bài 23: Chứng minh rằng khơng phải số phương Lời giải: Giả sử số phương Ta có thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com Ta thấy Vậy có chữ số tận (vơ lí) khơng số phương Bài 24: Chứng minh rằng khơng phải số phương n lẻ Lời giải: Giả sử số phương với số lẻ Ta có: điều vơ lí Vậy khơng số phương với Bài 25: Chứng minh rằng nếu là tích của với số lẻ số lẻ số nguyên tố đầu tiên thì và không thể là các số chính phương Lời giải: Vì là tích của *Giả sử số nguyên tố đầu tiên nên và là số chính phương Đặt Vì p chẵn nên lẻ, suy Đặt Ta có lẻ, suy lẻ , điều này mâu thuẫn với Suy * Giả sử không là số chính phương là số chính phương thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com là số chia hết cho Suy ra, có dạng Không có số chính phương nào có dạng Suy , điều này mâu thuẫn với là số chính phương không là số chính phương Vậy nếu là tích của số nguyên tố đầu tiên thì và không thể là các số chính phương Dạng 2: Chứng minh khơng tồn điều kiện biến để biểu thức A số phương I Phương pháp giải: - Đề yêu cầu chứng minh khơng tồn điều kiện biến để biểu thức A số phương - Giả sử biểu thức A số phương - Sử dụng các tính chất để tìm điều vơ lí hay mâu thuẫn - Vậy khơng tồn điều kiện biến để biểu thức A số phương II Bài tốn Bài 26: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên nào để số phương Lời giải: Giả sử số phương Như vậy, hai số phải có số chẵn Mặt khác m + n + m – n = 2m chẵn Suy hai số Từ và suy Suy tính chẵn lẻ hai số chẵn 2006 không chia hết cho 4, so sánh với , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để số phương Bài 27: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên nào để số phương Lời giải: Giả sử số phương thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com Như vậy, hai số phải có số chẵn Mặt khác m + n + m – n = 2m Suy hai số Từ và suy Suy tính chẵn lẻ hai số chẵn 2010 không chia hết cho 4, so sánh với , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để số phương Bài 28: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên nào để số phương Lời giải: Giả sử số phương Như vậy, hai số Mặt khác Suy hai số Từ và suy Suy phải có số chẵn tính chẵn lẻ hai số chẵn 2014 không chia hết cho 4, so sánh với , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để số phương Bài 29: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên nào để số phương Lời giải: Giả sử số phương Như vậy, hai số Mặt khác Suy hai số Từ và suy phải có số chẵn tính chẵn lẻ hai số chẵn thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com Suy 2018 không chia hết cho 4, so sánh với , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để số phương Bài 30: Chứng minh rằng khơng tờn tại số tự nhiên nào với chẵn và để số phương Lời giải: Giả sử số phương Như vậy, chẵn nên hai số Mặt khác, phải có số chẵn Suy ra, hai số Từ và tính chẵn lẻ suy Suy hai số chẵn không chia hết cho , so sánh với , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên với chẵn để Bài 31: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên số phương nào để số phương Lời giải: Đặt Nếu chẵn (lẻ) thì +) Nếu cũng chẵn (lẻ) nên cùng là các số lẻ thì tính chất chẵn (lẻ) chia dư (vì chia dư 1) nên không tồn tại chia dư +) Nếu chẵn thì chia dư và Vậy không tồn số tự nhiên là vô lý cho số phương Bài 32: Chứng minh rằng một số chẵn bất kỳ không chia hết cho thì không phân tích thành hiệu của hai số chính phương Lời giải: Giả sử (chẵn chia dư khơng chia hết tính chẵn lẻ thuvienhoclieu.com Trang 15 cho 4); thuvienhoclieu.com Điều này trái với gia thiết ban đầu Vậy số chẵn khơng chia hết cho khơng phân tích thành hiệu hai số phương  HẾT  thuvienhoclieu.com Trang 16 ... phương thuvienhoclieu. com Trang 13 thuvienhoclieu. com Như vậy, hai số phải có số chẵn Mặt khác m + n + m – n = 2m Suy hai số Từ và suy Suy tính chẵn lẻ hai số chẵn 2010 không chia hết cho 4, so sánh... hai số chẵn thuvienhoclieu. com Trang 14 thuvienhoclieu. com Suy 2018 không chia hết cho 4, so sánh với , ta thấy điều vô lý hay mâu thuẫn với Vậy không tồn số tự nhiên để số phương Bài 30 : Chứng... thuvienhoclieu. com Trang 15 cho 4); thuvienhoclieu. com Điều này trái với gia thiết ban đầu Vậy số chẵn khơng chia hết cho khơng phân tích thành hiệu hai số phương  HẾT  thuvienhoclieu. com