Chuyên đề 3 dấu hiệu chia hết tính chia hết số chính phương

CHUYÊN ĐỀ 3: DẤU HIỆU CHIA HẾT – TÍNH CHIA HẾT SỐ CHÍNH PHƯƠNG ĐỀ BÀI TỪ BÀI ĐẾN BÀI 10 20 Bài Cho A 2      Tìm chữ số tận A Bài Chứng minh rằng: n  n  1  2n  1  3n  1  4n  1 chia hết cho với số tự nhiên n Bài a) Cho biết a  4b chia hết cho 13  a, b   Chứng minh 10  b13 b) Tìm số nguyên tố ab  a  b   cho ab  ba số phương Bài 30 Cho B 2     Chứng minh B chia hết cho 21 Bài Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư Hỏi số chia cho 2737 dư ? Bài a) Tìm chữ số a, b, c khác thỏa mãn: abbc ab.ac.7 2015 94 A  2012  392 b) Cho Chứng minh A số tự nhiên chia hết cho Bài a) Cho ababab số có chữ số.Chứng tỏ số ababab bội 3 2004 b) Cho S 5      Chứng minh S chia hết cho 126 chia hết cho 65 Bài Tìm số tự nhiên nhỏ biết số chia cho dư 5, chia cho dư 4, chia cho dư   Bài Chứng minh rằng: Nếu x  y37 13x  18 y 37 4 Bài 10 Với q, p số nguyên tố lớn 5, chứng minh rằng: p  q 240 ĐÁP ÁN TỪ BÀI ĐẾN BÀI 10 Bài A.2   22  23  24   220  22  23   221  A  A 221   A 221  221 24.51  24  165.2 Ta có: 165 có tận nên 165.2 có tận nên A 221  có tận Bài Với số tự nhiên n ta có trường hợp sau: Th1: n5 tích chia hết cho Th2: n chia cho dư n 5k   4n  20k  chia hết cho  tích chia hết cho Th3: n chia cho dư n 5k   2n  10k  chia hết cho  tích chia hết cho Th4: n chia cho dư n 5k   3n  15k  10 chia hết cho  tích chia hết cho Th5: n chia cho dư n 5k   n  5k  chia hết cho  tích chia hết cho Vậy n  n  1  2n  1  3n  1  4n  1 chia hết cho với số tự nhiên n Bài a)4b13  10a  40b13  10a  b  39b13 Do 39b13  10a  b13 b)ab   43;73 Bài B 21  22  23   230 30 Ta có: B 2      21  22    23  24     229  230  2.    23.     29.   3.  23   229   B3 (1) 30 Ta có: B 2      21  22  23    24  25  26     228  229  230  2.   22   4.   22    28    2  7.  24   228   B7 (2) Mà hai số nguyên tố Kết hợp với (1) (2) suy : B3.7 hay B21 Bài Gọi số cho A Theo ta có: A 7.a  17.b  12 32.c  Mặt khác A  39 7.a   39 17b  12  39 23c   39 7  a   17  b  3 23  c   Như A  39 đồng thời chia hết cho 7,17 23 Nhưng 7,17 23 đôi nguyên tố nên  A  39  7.17.23 nên  A  39  2737 Suy A  39 2737 k  A 2737k  39 2737  k  1  2698 Do 2698  2737 nên 2698 số dư phép chia A cho 2737 Bài a) Ta có: abbc ab.ac.7 (1)    100.ab  bc 7.ab.ac  ab 7.ac  100 bc bc bc 0  10 ab Vì ab nên  7.ac  100  10 100 110  100  7.ac  110  14   ac   16 7 Vậy ac 15  7.ac  100  Thay vào (1) 1bb5 1b.15.7  1005  110b 1050  105b  5b 45  b 9 Vậy a 1, b 9, c 5 2015 94 b) Vì 2012;92 bội nên 2012 92 bội  20122015 4.m  m   * ;9296 4n  n   * Khi  2012 Bài 7 2012 2015 2015 m 94 n  392 7 m  34 n     34   1   .1  94  392 10  A  94 20122015  392 5   a) Ta có: ababab ab.10000  ab.100  ab 10101ab3(do 101013)  52  53  54  55  56 5   53   52   53   53   53  b) Có 5.126  52.126  53.126   52  53  54  55  56 chia hết cho 126 S   52  53  54  55  56   56   52  53  54  55  56    51998   52  53  54  55  56  Tổng có 2004 : 334 số hạng chia hết cho 126 nên chia hết cho 126  52  53  54 5  53    53  130  5.130 Có:   52  53  54 chia hết cho 130 S 5  52  53  54  54   52  53  54    52000   52  53  54  Tổng có 2004 : 501số hạng chia hết cho 130 nên chia hết cho 130 Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65 Bài Ta có A 9k   k    A 9k1  10   A  1 9 A 7m   m    A 7m1    A  1 7 A 5n   n    A 5n1    A  1 5 Mặt khác BCNN  9,7,5  315   A  1 315 mà A nhỏ nên A  315  A 158 Bài Ta có  13 x  18 y    x  y  65 x  90 y  28 x  16 y 37 x  74 y 37  x  y  37 Hay  13x  18 y    x  y  37(*) Vì x  y 37 mà  4,37  1   x  y  37 Do đó, từ (*) suy ra:  13 x  18 y  37 mà  5,37  1 nên:13 x  18 y 37 Bài 10 p  q  p  1   q  1 ;240 8.2.3.5 Ta có: Chứng minh p  1240 Do p  nên p số lẻ p   p  1  p  1  p  1 Mặt khác   p  1  p  1 hai số chẵn liên tiếp   p  1  p  1 8 2 Do p số lẻ nên p số lẻ  p  12 p  nên p có dạng: p 3k   p  3k 3  p  13 p 3k   p  3k  33  p  13 Mặt khác p dạng : p 5k   p  5k   5k 5  p  15 p 5k   p   5k    25k  20k  55  p  15 p 5k   p  25k  30k  105  p  15 p 5k   p  5k  55  p  15 4 Vậy p  18.2.3.5 hay p  1240 Tương tự ta có: q  1240 p  1   q  1  p  q 240  Vậy ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11 Tìm số nguyên tố ab  a  b   biết ab  ba số phương Bài 12 Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số cho số 25;28;35 số dư 5;8;15 Bài 13 Tìm số tự nhiên nhỏ biết số chia cho 11 dư 6, chia cho dư chia cho 19 dư 11 Bài 14 2012 2011 2010 2009 Cho A 10  10  10  10  a) Chứng minh A chia hết cho 24 b) Chứng minh A số phương Bài 15 2012 a) Cho S 5        Chứng tỏ S chia hết cho 65 b) Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư chia cho 19 dư 11 n c) Chứng tỏ: A 10  18n  chia hết cho 27 (với n số tự nhiên) Bài 16 Người ta chia số học sinh lớp 6A thành tổ, tổ em thừa em, cịn tổ 10 em thiếu em Hỏi có tổ, học sinh Bài 17 28 Chứng minh rằng: 10  chia hết cho 72 Bài 18 Chứng tỏ số có dạng abcabc chia hết cho 11 2017 Bài 19 Cho M 2      a) Tính M b) Chứng tỏ M chia hết cho  2018 Bài 20 Tìm tất chữ số x, y cho 2019xy chia hết cho 2,3 ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11 Ta có: ab  ba 9  a  b  Do a, b chữ số, ab số nguyên tố, nên b   a  b  số phương a  b   1; 4 +) Với a  b 1 mà ab số nguyên tố  ta số ab 43 +)Với a  b 4 mà ab số nguyên tố  ta số ab 73 Vậy ab  43; 73 Bài 12 Gọi số tự nhiên phải tìm x Từ giả thiết suy  x  20  25  x  20  28  x  20  35  x  20  BC  25;28;35  Tìm BCNN  25;28;35  700  x  20 700.k  k   Vì x   * x có ba chữ số suy x 999  x  20 1019  k 1  x  20 700  x 680 Bài 13 a) Gọi số cần tìm a  a   * , ta có:  a   11;  a  1 4  a  11 19  a   33 11   a  27  11  a   28  4   a  27  4 a  11  38  19   a  27  19 Ta có:  Do a số tự nhiên nhỏ nên a  27 nhỏ Suy : a  27 BCNN  4;11;19  836 Từ tìm a 809 Bài 14 a) Ta có: 2009 A 10  10  102008  102007  102006   8.125. 102009  102008  102007  102006   8  125. 10 2009  102008  102007  102006   1 8  1 2012 2011 2010 2009 Ta lại có số: 10 ;10 ;10 ;10 có tổng chữ số 1, nên số 102012 ;10 2011;102010 ;10 2009 chia cho có số dư 1, chia dư Vậy A chia hết cho (2) (3) Và  3,8  1 Từ  1 ,   ,  3  A24 2012 2011 2010 2009 b) Ta có số 10 ;10 ;10 ;10 có chữ số tận ùng nên A 102012  102011  102010  102009  có chữ số tận Vậy A khơng phải số phương số phương số có tận 0;1;4;5;6;9 Bài 15 a) S 5  52  53   52012   52  53  54    52009  52010  52011  52012   52  53  54    52009.  52  53  54  55 Vì  53  54  78065 Vậy S chia hết cho 65 b) Goi số cần tìm a ta có:  a   11;  a  1 4;  a  11 19  a   33 11;  a   28  4;  a  11  38  19   a  27  11,  a  27  4,  a  27  19 Do a số tự nhiên nhỏ nên a  27 nhỏ suy ra: a  27 BCNN  4,11,19   a 809 c) A 10n  18n  10 n   9n  27 n 999     9n  27 n so   9. 11 11  n   27 n   nso1   Ta biết số n số có tổng chữ số n có số dư chia cho     9. 11111  n  9 9. 111 111  n      n  27     nso1  nên  n  n nên  Vậy A27 Bài 16 Giả sử có thêm học sinh chia tổ 10 em cịn thừa em chia tổ em Vậy cách chia sau cách chia trước học sinh Mỗi tổ 10 học sinh tổ học sinh là: 10  1 (học sinh) Do số tổ là: :1 4 (tổ) Số học sinh là: 4.10  37 (học sinh) Bài 17 28 a) Vì 10  có tổng chữ số chia hết tổng chia hết cho 28 Lại có 10  có chữ số tận 008 nên chia hết cho 28 Vậy 10  chia hết cho 72 Bài 18 Ta có: abcabc abc.1001 abc.11.9111 Bài 19 2018 2019 a) Ta có 2M 2      2019 2019 Lấy 2M  M 2  Vậy M 2  b) M   22    23  24    25  26     22017  22018  M 2     23     25.(1  2)  .2 2017    M 3   23  25   22017  Vậy M 3 Bài 20 Ta có 2019 xy2;5  y 0 Lại có 2019 x03       x  3  x  0;3;6;9 Vậy  x; y    0;0  ;  3;0  ;  6;0  ;  9;0   ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30 Bài 21 1) Tìm tất chữ số a, b, c thỏa mãn abc  cba 6b3 2) Tìm số phương có chữ số, biết chia hết cho 56 A 75. 42018  42017   42   2019 3) Chứng minh rằng: chia hết cho Bài 22 Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 3, chia cho dư Bài 23 Cho A 1        19  20 a) A có chia hết cho 2, cho 3, cho không ? b) Tìm tất ước A Bài 24 M  2012  20122  20123   20122010  2013 Chứng minh rằng: Bài 25 Tìm n để n  2006 số phương 20 Bài 26 Cho D 2      a) Chứng minh D chia hết cho b) Tìm chữ số tận D Bài 27 Tìm số tự nhiên k để 3k  chia hết cho k  Bài 28 Tìm số tự nhiên a biết chia 355 cho a ta số dư 13 chia 836 cho a có số dư Bài 29 Chứng tỏ a số lẻ không chia hết cho a  chia hết cho Bài 30 Thay (*) số thích hợp: a) 510*;61*16 chia hết cho b) 261* chia hết cho chia dư ĐÁP ÁN TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30 Bài 21 3.1 Điều kiện a, b, c  ,0  a, c 9,0 b 9 Vì abc  cba 6b3  100a  10b  c  100c  10b  a 6b3  99. a  c  6b3  6b399  b 9  a  c 693 : 99 7  a 7  c  c 1  a 9   c  9    c 2 Do c 1  a 8 c 2  a 9  a 9, b 9, c 2  a 8, b 9, c 1 Vậy  3.2 Gọi số phương xyz với x 9;0  y, z 9  xyz k  k 56l 4.14l  l 14h (1)  Ta có:  xyz 56l (2) Mặt khác: 100 56l 999  l 17 Từ (1) (2) suy h 1, l 14 Nên số phương cần tìm 784 3.3) M 42018  42017    42018  2017     4M 4. 42018  42017     1 4 2019  2018   43   42019  4M  M 4   M   A 75. 42019  1 :  25 25. 2019  1  25 2019 25.42019  25  25 25.42019 4 2019 Bài 22 Gọi a số chia cho dư 3, chia cho dư ta có: a  17 chia hết cho 5, chia hết cho Mà a  17 số nhỏ  17  a BCNN (5,7) 35  a  17 35  a 18 Vậy, với a 18 thỏa đề Bài 23 A               19  20    1    1    1     1 10   1  10 a) Vậy A2, A5 , A không chia hết cho b) Các ước A: 1, 2, 5, 10 Bài 24 a) M 2012  2012  20123   20122010  2012  20122    20123  20124     20122009  20122010  2012   2012   20123.  2012    2012 2009   2012  2013. 2012  20123   2012 2009  2013  M 2013 Bài 25 a) Giả sử n  2006 số phương ta đặt n  2006 a  a    a  n 2006   a  n   a  n  2006(*) Thấy a, n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) Nếu a, n tính chẵn lẻ  a  n  2,  a  n  2 nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết cho Vậy không tồn n để n  2006 số phương Bài 26 a) D 2    2  23   25    2  23    217    2  23     22  23    25   217  15.  25   217  5.3.  25   217  5  D5 b) D chia hết D tổng số chia hết cho D chia hêt cho (chứng minh câu a) Nên D chia hết cho 5, D có chữ số tận Bài 27 3k  chia hết cho k  hay  3k    k  Do 3k  3  k  1 k   7k   k  1 U (7)  7;1  k   8;2