Fb: thiepngan Sưu Tầm CHUYÊN ĐỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT A KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ Dấu hiệu chia hêt cho 2: Những số có tận 0, 2, 4, 6, chia hết cho 2 Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho 3 Dấu hiệu chia hết cho 4: Các số có hai chữ số tận lập thành số chia hết cho chia hết cho 4 Dấu hiệu chia hết cho 5: Những số có tân chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 7: Lấy chữ số nhân với cộng thêm chữ số tiếp theo, lại nhân với cộng thêm chữ số tiếp theo… chữ số cuối Nếu kết cuối chia hết cho số chia hết cho 7.Để nhanh gọn, lần nhân với cộng thêm chữ số ta lấy kết trừ trừ số bội số (14,21…) Dấu hiệu chia hết cho 8: Các số có chữ số tận lập thành số chia hết cho chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 11: Từ trái sang phải ta coi chữ số thứ nhất, thứ ba, thứ năm…là chữ số hàng lẻ, coi chữ số thứ hai, tứ tư, thứ sáu…là chữ số hàng chẵn Những số có tổng chữ số hàng chẵn trừ tổng chữ số hàng lẻ số chia hết cho 11 số chia hết cho 11 số chia hết cho 11 Dấu hiệu chia hết cho 25: Các số có hai chữ số tận lập thành số chia hết cho 25 chia hết cho 25 Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Fb: thiepngan Sưu Tầm 10.Dấu hiệu chia hết cho 125: Các số có chữ số tận lập thành số chia hết cho 125 chia hết cho 125 11.a chia hết cho m, b chia hết cho m (m > 0) tổng a + b hiệu ab chia hết cho m 12.Trong tích có thừa số chia hết cho m tích chia hết cho m (m >0) 13.Nếu A chia hết cho m đồng thời A chia hết cho n (m, n > 0) Đồng thời m n chia hết cho a chia hết cho tích m x n B BÀI TẬP MẪU Bài 1: [Marie Curie 2004] Tìm số tự nhiên bé biết số chia cho dư 1, chia dư 2, chia dư chia dư Giải: Gọi số phải tìm A A chia cho 3,4,5,6 mà số dư 1,2,3,4 nên (A+2) chia hết cho 3,4,5,6 Vì (A+2) vừa chia hết cho vừa chia hết nên chia hết cho cho (4 chia hết cho 2, (A+2) chia hết cho cho chia hết ta không nhân với để số nhỏ nhất) Vậy (A+2) = x x = 60 Số nhỏ chia cho 3,4,5,6 mà có dư 1,2,3,4 : 60 - 2= 58 Bài 2: [Đề thi Ams 2014] Chứng minh có n số tự nhiên có tích n tổng 2012 n chia hết cho Giải: Xét trường hợp n chẵn n lẻ TH1: Nếu n lẻ tích của chúng n số lẻ nên tất số lẻ tổng chúng số chẵn 2012 TH2: Nếu n chẵn mà tích n số n chẵn nên n số phải có số chẵn - Nếu n số tồn số chẵn (n-1) số lại số lẻ tổng n số số lẻ Cộng với số chẵn ta tổng số lẻ khơng thể 2012 giả thiết Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Fb: thiepngan Sưu Tầm - Nếu n số có số chẵn tích n số tự nhiên chia hết cho Suy n chia hết cho Chú ý: Ở toán năm 2014 tác giả khơng cho tổng số 2014 khơng tồn n số thõa mãn yêu cầu tốn! Bài 3: Tìm số tự nhiên có chữ số chia hết cho 27 biết chữ số số 97 Giải: Gọi số cần tìm n Do n chia hết phải có tận Và n chia hết cho 27 nên n phải chia hết cho Xét n = , n chia hết * = Thử lại 6975 không chia hết cho 27 Xét n = , n chia hết * = Thử lại 2970 chia hết cho 27 Vậy số cần tìm 2970 Bài 4: Trong số tự nhiên nhỏ 1000, có số chia hết cho không chia hết cho Giải: Số thõa mãn u cầu tốn phải số có tận 2, 4, 6, Mỗi chục có số Từ đến 999 có 100 chục nên có : 100 × = 400 (số) Bài 5: Tìm số tự nhiên có chữ số, chia hết cho 18, biết chữ số hàng chục trung bình cộng hai chữ số Giải: Gọi số cần tìm Do chia hết cho 18 nên phải chia hết cho Vậy a + b + c chia hết cho mà 2b = a + c nên 3b chia hết cho 9, suy b chia hết cho Vậy b = 0; 3; 6; Mặt khác chia hết cho nên c = Xét số với a = 2b ta chọn số 630 thõa mãn yêu cầu toán Bài 6: [Đề thi Ams 2008] Tìm số có dạng biết chia hết cho a + b = Giải: Ta có = 100a + 10b +1 = 98a + 7b + 2a + 3b +1 = 7×(14a + b) + (2a + 3b +1) Do 7×(14a + b) chia hết suy (2a + 3b +1) chia hết cho Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Fb: thiepngan Sưu Tầm Lại có: 2a + 3b +1 = 2×(a +b) + b +1 =13 +b (Vì a + b =6) Vậy 13 + b chia hết cho Mà b nên b = suy a = Vậy số cần tìm 511 Bài 7: [Đề thi Ams 2005] Biết a × = Tìm Giải: Ta có: × = = b × 111 = b × × 37 Vậy × phải chia hết cho 37 Suy hoặc phải chia hết cho 37( 37 chia hết cho 37) Nếu chia hết cho 37 = 37 74 Với = 37 = 21, với = 74 = (loại) Nếu chi hết cho 37 = 37 74 Với = 37 × 37 = b × 111 = 3b 10a + b = 3b 5a = b a = 1, b = Không thõa mãn a Với = 74 × 74 = b × 111 × = 3b 2×(10a + b) = 3b 20a = b (không tồn a, b) Vậy = 21 Bài 8: [Đề thi Ams 2007] Tìm chữ số a, b khác thõa mãn: b× = Giải: Ta có b× = = 111 b = b 37 a = 37 Lý luận tương tự ta dễ dàng suy a = 3, b = Bài 9: [Đề thi Ams 2009] Tìm số biết × = Giải: Do ≤ 999 nên 200 a = Dễ thấy chia hết cho suy b = Nếu b = Ta có: × = c =2 102 Nếu b = Ta có: × = c = tân Thử lại khơng thõa mãn Vậy 102 Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ mà tổng chữ số 38 Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Fb: thiepngan Sưu Tầm Giải: Số tự nhiên nhỏ thõa mãn yêu cầu tốn phải số có số chữ số nhỏ chữ số hàng cao phải nhỏ chữ số hàng thấp Ta có + +9 +9 38 + + + 9+9 Vậy số cần tìm phải có chữ số Để chữ số hàng vạn bé ta chọn chữ số khác 9.Suy số phải tìm 29999 C MỘT SỐ ĐỀ THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÀ BÀI TẬP CHỌN LOC Bài 1: (Lý Thái Tổ 2012) Viết số tự nhiên nhỏ bao gồm chữ số khác có tổng chữ số 26 số chia hết cho Bài 2:(Nguyễn Tất Thành 2007) Tìm hai số biêt hiệu chúng 1554 tổng chủa chúng có dạng chia hết cho 2, Bài 3:(Nguyễn Tất Thành 2009) Tìm số tự nhiên nhỏ có dạng cho đồng thời chia hết cho 2, Bài 4:(Marie Curie) Khi số tự nhiên a chia cho 24 dư Hỏi a có chia hết cho khơng, a có chia hết cho khơng? Bài 5:(Lương Thế Vinh 2006) Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chia số cho 3, dư Bài 6:( Lương Thế Vinh 2006) Hãy tìm số tự nhiên bé cho cộng số với 2006 số chioa hết cho 13 Bài 7: (Thi AMS 1999) Viết số tự nhiên nhỏ gồm chữ số khác có tích chữ số 720 Bài 8: (Thi AMS 2000) Viết số tự nhiên nhỏ có tổng chữ số 42 Bài 9: (Thi AMS 2001) Hãy viết số tự nhiên nhỏ có chữ số mà tổng chữ số 23 Bài 10: (Thi AMS 2003) Một số viết 2003 số 7, hỏi phải thêm vào số để số chia hết cho 35 Bài 11(Thi AMS 2005) Tìm số tự nhiên biết số chia dư 4, chia dư hiệu thương 426 Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Fb: thiepngan Sưu Tầm Bài 12: (Thi AMS 2006) Một số viết 2006 số Hỏi phải cộng thêm vào số đơn vị để số chia hết cho 63 Bài 11: (Thi AMS 2009) Tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến n số có ba chữ số giống Tìm n Bài 14: Tìm d biết × = Bài 15: Tìm a, b biết × b = Bài 16: Mình lấy số tự nhiên A đem trừ tổng chữ số số B Mình đem B nhân với số tự nhiên C số D Mình lấy chữ số số D số 156590 Hỏi lấy chữ số số D Bài 17: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết viết xen vào hai chữ số số số tăng 99 lần Bài 18: Tìm tất số tự nhiên nhỏ 1000 chia cho dư chia 25 dư Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC ...Fb: thiepngan Sưu Tầm 10 .Dấu hiệu chia hết cho 125: Các số có chữ số tận lập thành số chia hết cho 125 chia hết cho 125 11.a chia hết cho m, b chia hết cho m (m > 0) tổng a + b hiệu ab chia hết. .. biết số chia cho dư 1, chia dư 2, chia dư chia dư Giải: Gọi số phải tìm A A chia cho 3,4,5,6 mà số dư 1,2,3,4 nên (A+2) chia hết cho 3,4,5,6 Vì (A+2) vừa chia hết cho vừa chia hết nên chia hết cho... chữ số chia hết cho 27 biết chữ số số 97 Giải: Gọi số cần tìm n Do n chia hết phải có tận Và n chia hết cho 27 nên n phải chia hết cho Xét n = , n chia hết * = Thử lại 6975 không chia hết cho