Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 3 Diện tích tam giác Bài 25 trang 159 SBT Toán 8 Tập 1 Hai đường chéo của hình chữ nhật chia hình chữ nhật thành bốn tam giác Diện tích của các tam giác đó có bằng nhau không? Vì sao? Lời giải Gọi[.]
Bài 3: Diện tích tam giác Bài 25 trang 159 SBT Tốn Tập 1: Hai đường chéo hình chữ nhật chia hình chữ nhật thành bốn tam giác Diện tích tam giác có khơng? Vì sao? Lời giải: Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD Ta có: OA = OB = OC = OD (tính chất hình chữ nhật) ΔOAB = ΔOCD (c.g.c) ⇒ SOAB = SOCD (1) ΔOAD = ΔOBC (c.g.c) ⇒ SOAD = SOBC (2) Kẻ AH ⊥ BD SOAD = AH.OD SOAB = AH.OB Suy ra: SOAD = SOAB (do OB = OD) (3) Từ (1), (2) (3) ⇒ SOAB = SOBC = SOCD = SODA Bài 26 trang 159 SBT Tốn Tập 1: Cho tam giác ABC có đáy BC cố định đỉnh A di động đường thẳng d cố định song song với BC Chứng minh tam giác ABC có diện tích khơng đổi Lời giải: Đường thẳng d cố định song song với đường thẳng BC cố định nên khoảng cách hai đường thẳng d BC không đổi Tam giác ABC có cạnh đáy BC khơng đổi, chiều cao AH khoảng cách đường thẳng song song không đổi Vậy điểm A thay đổi đường thẳng d // AB diện tích tam giác ABC khơng đổi Bài 27 trang 159 SBT Toán Tập 1: Tam giác ABC có đáy BC cố định dài 4cm Đỉnh A di chuyển đường thẳng d ( d ⊥ BC) Gọi H chân đường cao hạ từ đỉnh A đến đường thẳng BC a) Điền vào ô trống bảng sau: Độ dài AH (cm) 10 15 20 SABC (cm2) b) Vẽ đồ thị biểu diễn số đo SABC theo độ dài AH c) Diện tích tam giác tỉ lệ thuận với chiều cao AH khơng? Lời giải: a) Diện tích tam giác ABC S = 1 AH.BC = AH.4 = 2AH 2 Từ đó, ta có bảng sau: Độ dài AH (cm) 10 15 20 SABC (cm2) 10 20 30 40 b) SABC hàm số chiều cao AH Gọi y diện tích ΔABC (cm2) x độ dài AH (cm) y = 1 AH.BC = x.4 = 2x 2 Đồ thị hình bên c) Do y = 2x nên diện tích tam giác tỉ lệ thuận với chiều cao Bài 28 trang 160 SBT Tốn Tập 1: Tính diện tích hình bên theo kích thước cho hình Lời giải: Diện tích phần hình chữ nhật: S1 = bc (đvdt) Diện tích phần hình tam giác: (tam giác có chiều cao a - b, cạnh đáy tương ứng là: c) S2 = c.(a - b) (đvdt) Diện tích hình vẽ là: S = S1+ S2 = bc + c(a − b) (đvdt) Bài 29 trang 160 SBT Toán Tập 1: Hai cạnh tam giác có độ dài 5cm 6cm Hỏi diện tích tam giác lấy giá trị giá trị sau: a) 10 cm2 b) 15 cm2 c) 20 cm2 Lời giải: Giả sử hai cạnh tam giác cm cm Chiều cao tương ứng với hai cạnh tam giác h k Ta có: S1 = S2 = 5.h; 6.k = 3k h k đường cao tương ứng với cạnh đáy Theo tính chất đường vng góc đường xiên h ≤ k ≤ Suy diện tích tam giác S ≤ 15 ( = 3.5) Vậy diện tích tam giác 10 cm2 hay 15 cm2 20 cm2 Bài 30 trang 160 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC, biết AB = 3AC Tính tỉ số hai đường cao xuất phát từ đỉnh B C Lời giải: Gọi BH CK đường cao tam giác ABC hình vẽ Ta có: SABC = 1 AB.CK = AC.BH 2 Suy ra: AB.CK = AC.BH ⇒ Mà AB = 3AC (giả thiết) ⇒ BH AB = CK AC BH 3AC = = nên BH = CK CK AC Vậy đường cao BH dài gấp lần đường cao CK Bài 31 trang 160 SBT Toán Tập 1: Các điểm E, F, G, H, K, L, M, N chia cạnh hình vuông ABCD thành ba đoạn thẳng Gọi P, Q, R, S giao điểm EH NK với FM GL Tính diện tích ngũ giác AEPSN tứ giác PQRS, biết AB = 6cm Lời giải: Diện tích hình vng ABCD 6.6 = 36 (cm2) Do điểm E, F, G, H, K, L, M, N chia cạnh hình vng ABCD thành ba đoạn thẳng nên AE = EF = BF = AN = MN = MD = DL = LK = KC = CH = GH = BG = : = 2cm Diện tích ΔBEH 4.4 = (cm2) Diện tích ΔDKN 4.4 = (cm2) Diện tích phần cịn lại (đa giác ANKCHE) là: 36 - (8 + 8) = 20 (cm2) Trong tam giác vng AEN, ta có: EN2 = AN2 + AE2 = + = ⇒ EN = 2 (cm) Trong tam giác vuông BHE, ta có: EH2 = BE2 + BH2 = 16 + 16 = 32 ⇒ EH = (cm) Diện tích hình chữ nhật ENKH bằng: 2 = 16 (cm2) Nối đường chéo BD Theo tính chất đường thẳng song song cách ta có hình chữ nhật ENKH chia thành phần nên diện tích tứ giác PQRS chiếm phần cm2 Diện tích ΔAEN 2.2 = (cm2) Vậy SAEPSN = SAEN + SEPSN = + 16 = (cm2) Bài tập bổ sung Bài 3.1 trang 160 SBT Toán Tập 1: a) Có thể dùng kéo cắt hai lần cắt theo đường thẳng chia tam giác (thường) thành ba mảnh để ghép lại hình chữ nhật hay khơng ? Từ suy cơng thức tính diện tích tam giác thường dựa vào cơng thức tính diện tích hình chữ nhật b) Hãy chia tam giác thành phần có diện tích đường thẳng qua đỉnh tam giác c) Hãy chia tam giác thành phần có diện tích ba đường thẳng, có đường qua đỉnh tam giác Lời giải: a) Xét Δ ABC Kẻ đường cao AH Gọi M trung điểm AC, N trung điểm AB Từ M kẻ đường thẳng song song AH cắt BC K Từ N kẻ đường thẳng song song AH cắt BC L Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt hai đường thẳng MK NL T R Ta có: Δ MKC = Δ MTA Δ NLB = Δ NRA Cắt Δ ABC theo đường MK NL ta ghép lại hình chữ nhật KTRL có diện tích diện tích tam giác ABC Diện tích hình chữ nhật KTRL S = KL KT Ta chứng minh KT = AH Theo tính chất đường trung bình tam giác ABH ACH ta chứng minh BL = LH; HK = KC Suy ra: BL + KC = LH + HK = LK Mà BL + KC + LK = BC Do LK = BC Vậy S = BC.AH Do diện tích hình chữ nhật diện tích tam giác nên từ ta suy cơng thức tính diện tích tam giác S = BC.AH b) Ta biết hai tam giác có cạnh đáy chung chiều cao có diện tích Giả sử Δ ABC có M trung điểm BC Cắt tam giác ABC theo đường AM chia tam giác ABC hai phần có diện tích c) Tương tự câu b Xét Δ ABC Gọi M trung điểm BC N trung điểm AC, P trung điểm AB Cắt tam giác ABC theo đường AM ta có hai phần có diện tích Cắt tam giác AMC theo đường MN ta có hai phần có diện tích Cắt tam giác AMB theo đường MP ta có hai phần diện tích nhau, ta có diện tích bốn phần chia Bài 3.2 trang 161 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Đường thẳng qua điểm M vng góc với BC điểm H Đường thẳng qua điểm M vng góc với CA điểm K Đường thẳng qua điểm M vng góc với AB điểm T Chứng minh MH + MK + MT không phụ thuộc vào vị trí điểm M Lời giải: Giả sử ΔABC có cạnh a, kẻ đường cao AD, đặt AD = h khơng đổi Ta có: SABC = ah SMAB = MT.a SMAC = MK.a SMBC = MH.a SABC = SMAB + SMAC + SMBC 1 1 ah = MT.a + MK.a + MH.a = a(MT+MK +MH) 2 2 ⇒ MT + MK + MH = h không đổi Vậy tổng MT + MK + MH không phụ thuộc vào điểm M Bài 3.3 trang 161 SBT Toán Tập 1: a) Cho hai tam giác ABC DBC Kẻ đường cao AH tam giác ABC Kẻ đường cao DK tam giác DBC Gọi S diện tích tam giác ABC Gọi S’ diện tích tam giác DBC Chứng minh S' DK = S AH b) Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Kẻ đường cao tam giác AD, BE CF Đường thẳng qua điểm M song song với AD cắt cạnh BC điểm H Đường thẳng qua điểm M song song với BE cắt cạnh AC điểm K Đường thẳng qua điểm M song song với CF cắt cạnh BA điểm T Chứng minh Lời giải: MH MK MT + + =1 AD BE CF a) Hai ΔABC ΔDBC có chung cạnh đáy BC nên ta có: SABC = AH BC = S SDBC = DK BC = S' S' DK.BC DK = = S AH.BC AH b) Gọi diện tích hình tam giác ABC, MAB, MAC, MBC S, S 1, S2, S3 Ta có: S = S1 + S2 + S3 Trong đó: S = S1 = 1 AD.BC = BE AC = CF AB 2 MT AB S2 = MK AC S3 = MH BC Suy ra: 1 MT.AB MK.AB MK S1 MT S2 2 = = = = ; 1 S CF S CF.AB BE.AB BE 2 MH.AB MH S3 = = S AD.AB AD MH MK MT S3 S2 S1 S3 +S2 + S1 S + + = + + = = =1 AD BE CF S S S S S ... vào điểm M Bài 3. 3 trang 161 SBT Toán Tập 1: a) Cho hai tam giác ABC DBC Kẻ đường cao AH tam giác ABC Kẻ đường cao DK tam giác DBC Gọi S diện tích tam giác ABC Gọi S’ diện tích tam giác DBC Chứng... đường xiên h ≤ k ≤ Suy diện tích tam giác S ≤ 15 ( = 3. 5) Vậy diện tích tam giác 10 cm2 hay 15 cm2 20 cm2 Bài 30 trang 160 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC, biết AB = 3AC Tính tỉ số hai đường cao... (đa giác ANKCHE) là: 36 - (8 + 8) = 20 (cm2) Trong tam giác vng AEN, ta có: EN2 = AN2 + AE2 = + = ⇒ EN = 2 (cm) Trong tam giác vuông BHE, ta có: EH2 = BE2 + BH2 = 16 + 16 = 32 ⇒ EH = (cm) Diện