(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12

SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Dạy học Tốn trường phổ thơng theo định hướng gắn Tốn học với thực tiễn, thực nguyên tắc liên môn dạy học tích cực hóa hoạt động học tập học sinh xu hướng đổi dạy học Mục đích dạy học Tốn nói chung với lưu ý học sinh biết mơ hình hóa Tốn học tình thực tiễn xem yếu tố lực hiểu biết Toán- lực chương trình đánh giá quốc tế PISA khảo sát nhiều nước giới nhằm mục đích cải thiện chất lượng đào tạo Trên thực tế với kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tơi thấy học sinh gặp nhiều khó khăn giải tốn thực tế Vì đề tài nhằm tập hợp, biên soạn sáng tạo số tình thực tiễn mang lại cho giáo viên ví dụ minh họa theo mức độ nhằm giúp giáo viên có nguồn tư liệu phương pháp để rèn luyện kĩ giải Toán thực tế cho em giúp em vượt qua cản tâm lý Hiện nay, định hướng đổi chương trình giáo dục phổ thơng chuyển từ chương trình định hướng nội dung dạy học sang chương trình định hướng lực, định hướng chuẩn đầu phẩm chất lực chương trình cấp THPT Quan điểm đổi dạy học tương lai : “ định hướng lực hay định hướng kết đầu ra” Với quan điểm chương trình dạy học không quy định chi tiết nội dung dạy học mà quy định kết đầu mong muốn giáo dục Tóm lại, quan điểm giáo dục không trọng vào nội dung học sinh “được học”mà chủ yếu tập trung vào mà học sinh “học được” Quan điểm không nhấn mạnh vào nội dung khoa học môn mà trọng vào việc học sinh có lực giải vấn đề thực tiễn từ nội dung học Từ đề tài tập trung vào việc xây dựng số toán thực tiễn gắn liền với chương: “Ứng dụng đạo hàm ” Đại số Giải tích12 theo định hướng tiếp cận lực người học * Cơ sở lý luận: Mục đích dạy học Tốn phải mang lại cho học sinh kiến thức phổ thông, kĩ người lao động Qua rèn luyện tư logic, phát triển lực sáng tạo góp phần hình thành giới quan cho em.Quan điểm dẫn đến khái niệm hiểu biết Toán theo PISA: “ hiểu biết Toán lực cá nhân cho download by : skknchat@gmail.com SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 phép xác định hiểu vai trị Tốn học sống, đưa phán xét có sở, gắn kết Tốn học theo cách khác nhằm đáp ứng nhu cầu sống cá nhân với tư cách cơng dân có tinh thần xây dựng, biết quan tâm biết phản ánh” Như vậy, liên hệ với mục tiêu dạy học Toán ta thấy quan điểm hoàn toàn phù hợp với thực tế đa số học sinh mà đào tạo sau người sử dụng Tốn khơng phải người nghiên cứu Tốn Do đó, xu hướng đổi trọng khả sử dụng kiến thức học vào thực tiễn lực xử lý tình mà họ đối mặt sống sau dời ghế nhà trường *Cơ sở thực tiễn: Chương trình sách giáo khoa viết theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, rèn luyện khả vận dụng Toán học vào thực tế sống Trong sách giáo khoa sách tập Toán 12 đưa số Toán thực tiễn chương số lượng cịn Tốn học sống có mối liên hệ mật thiết với Tốn đầu tư vào kinh doanh…ta cần tính tốn cho hiệu Do việc nghiên cứu, khai thác Tốn có nội dung thực tiễn cần thiết Do thời gian khả có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tơi viết cịn nhiều tồn Kính mong đồng nghiệp học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn thiện tài liệu tham khảo hữu ích thú vị cho giáo viên học sinh Tên sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Huyền - Địa tác giả sáng kiến: TT Thổ Tang- Vĩnh Tường- Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0388223584 E_mail: nguyenthihuyen.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Nguyễn Thị Huyền Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Giảng dạy cho học sinh lớp 12 học sinh chuẩn bị thi THPT Quốc Gia Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu thử nghiệm: Từ tháng 09 năm 2017 đến tháng 05 năm 2018 download by : skknchat@gmail.com SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Mô tả chất sáng kiến: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI TOÁN THỰC TẾ LÝ THUYẾT VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ PP GIẢI BÀI TẬP TNKQ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI download by : skknchat@gmail.com SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, lí thuyết tốn học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tế sống Đến với chương này, tìm hiểu “Ứng dụng Đạo Hàm” khơng Tốn học mà cịn ngành khoa học kỹ thuật khác; lẽ Đạo hàm không dành riêng cho nhà Tốn học, mà đạo hàm cịn ứng dụng nhiều sống ngành khoa học khác, ví dụ kể đến như: Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa định đầu tư đắn phải làm ? Một nhà hoạch định chiến lược muốn có thơng tin liên quan đến tốc độ phát triển gia tăng dân số vùng miền phải dựa vào đâu ? Một nhà hóa học muốn xác định tốc độ phản ứng hóa học hay nhà Vật lí cần làm để muốn tính tốn vận tốc, gia tốc chuyển động ? Và nữa, thực tiễn đời sống ln có nhiều tốn liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao phải tính tốn thể để làm cho chi phí sản xuất thấp mà lợi nhuận đạt cao ?, Chúng ta tìm hiểu, khám phá mở mang thêm cho hiểu biết ứng dụng đạo hàm thông qua bố cục trình bày chương sau:  Phần A: Tóm tắt lí thuyết kiến thức liên quan đến đạo hàm  Phần B: Các toán thực tế ứng dụng đạo hàm  Phần C: Các toán trắc nghiệm khách quan, đáp án hướng dẫn giải PHẦN A : TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Bài toán mở đầu Để tìm hiểu ứng dụng đạo hàm, trước tiên ta cần hiểu cách thấu đáo khái niệm đạo hàm Bài toán nguồn gốc nảy sinh khái niệm đạo hàm, thuộc lĩnh vực Hình học đến từ Vật lí ● Đối với tốn hình học: xác định tiếp tuyến đường cong Nếu trước đây, nhiều tốn Đại Số giải nhờ vào cơng cụ phương pháp Hình học, kể từ kỉ XVI, với hệ thống kí hiệu Viète (1540-1603) đề nghị vào năm 1591, Đại số tách khỏi Hình học, phát triển cách độc lập với phương pháp có sức mạnh lớn lao Nhận thấy sức mạnh ấy, Descartes (1596-1650) Fermat (1601-1665) khai thác vào nghiên cứu Hình học việc xây dựng nên Hình học giải tích Sự đời Hình học giải tích khiến cho vấn đề nghiên cứu nhiều đường cong đặt Tuy nhiên toán nhà toán học thời kì trước giải số đường đặc biệt (đường trịn, đường Conic, ) cơng cụ hình học cổ điển với hàng loạt đường cong xuất hiện, toán xác định tiếp tuyến tuyến đường cong đòi hỏi phương pháp tổng quát download by : skknchat@gmail.com SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Khái niệm tiếp tuyến lúc hiểu theo quan niệm vị trí “tới hạn” cát tuyến hay đường thẳng trùng với phần vô nhỏ với đường cong tiếp điểm Chính từ quan niệm “vị trí tới hạn” mà hệ số góc k tiếp tuyến với đường cong y  f x định nghĩa (theo ngôn ngữ ngày nay) biểu thức k  lim f x  h   f x  f ' x h0 h ● Đối với tốn vật lí: tìm vận tốc tức thời Thừa nhận xem vận tốc tức thời vtt vật thể có phương trình chuyển động s  S t là giới hạn vận tốc trung bình khoảng thời gian t ; t  t  t  , Newton (1643 – 1727) đến biểu thức xác định vtt (có chất với biểu thức hệ số góc tiếp tuyến) mà theo ngôn ngữ ngày ta viết là: v  lim S t  t  S t   S' t  tt t t 0 Từ ta đưa định nghĩa đạo hàm: Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y  f x xác định khoảng a; b, xo   a; b , xo  x a; b Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) lim f x  x   f x  gọi đạo hàm f x o o x x 0 điểm xo , kí hiệu f ' xo  hay y' xo  f ' xo   lim f xo  x  f x o   lim f x  f xo  x x  xo x  x xo Các quy tắc tính đạo hàm bảng công thức đạo hàm thường gặp * Các quy tắc tính đạo hàm Giả sử u  u x, v  v x , w  w x hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: ● u  v  w '  u' v' w' ● uv '  u' v  v' u ● uvw '  u' vw  v' uw  w' uv ● u   1  ● ku '  ku' (với k số) u' v  v' u '  v '  ● v v v' v 2 v  v x   v  v x   * Bảng công thức đạo hàm thường gặp Đạo hàm f x với x biến số Đạo hàm f u với u hàm số download by : skknchat@gmail.com SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12   k'  (với k số)     n1  x      k , k     e  x  ' u'   cos u   , x  0 0  a  1  x        u    u u a '  a ln a u ' ,  a    u  e 'e u' u log a u '  ln x '  x      cot u u ' ux  k  , k     k , k  x ln a   sin      tan u  u '  2 x log a x '   cotu '  u '   x e     cot x '  a lna,  a  x  cosu '  sinu u '  x  k , k  a u  sinu '  cosu u '   u x sin x u tanu '  x  1 u x  0 2  cot x '   u'  u '  u' , u x  0 tan x '  cos x   tan      u cos x '  sin x  n1   ,  x  0   u '  nu    u' x sin x '  cos x   n x  x '  ku '  k.u' (với k số)  '  nx    1 x  0    x n x   kx '  k (với k số)     u  u' u x  , 0  a  1 u ln a   lnu '  u' u x  * Đạo hàm số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp Hàm số Đạo hàm hàm số ax  b y y cx  d  cx  d   b1 x  c y'   b2 x  c2 c1 x  b1 c1 a2 b2 c2 a2 a Tính đơn điệu hàm số  x  b x  c2 b2 c2     * Định nghĩa: Gọi K khoảng a;b hàm số f x xác định K a1 b1 x  a1 a1 x a2 x y'  ad  bc  cx  d a b c d    đoạn  a;b nửa khoảng  a;b , a;b download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Hàm số y  f x đồng biến (tăng) K x1 ,x2  K : x1  x2  f x1  f x2  Hàm số y  f x nghịch biến(giảm) K : x1 ,x2  K : x1  x2  f x1   f x2  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K * Các định lí:  Định lí 1: Cho hàm số y  f x có đạo hàm a; b  Nếu f x  0, x a;b hàm số f x đồng biến a; b  Nếu f x  0, x a;b hàm số f x nghịch biến a; b Định lí 2: (Điều kiện cần  đủ để hàm số đơn điệu K) Cho hàm số y  f x có đạo hàm a; b  Hàm số f x đồng biến a; b  f x  0, x a;b phương trình f x  có hữu hạn nghiệm thuộc a; b  Hàm số f x nghịch biến a; b  f x  0, x a;b phương trình  f x  có hữu hạn nghiệm thuộc a; b Định lí 3: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K)  Nếu hàm f x đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng a; b f x liên tục     đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn f x nửa đoạn a ; b a;b    Nếu hàm f x đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng a; b f x liên tục  nửa đoạn    đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn   a ; b a;b f x  Nếu hàm f x đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng a; b f x liên tục     f   x đồng biến(hoặc nghịch biến) đoạn  a; b đoạn  a; b Cực trị hàm số * Định nghĩa: Giả sử hàm số y  f x xác định tập hợp D, D    xo  D x0 gọi điểm cực đại hàm số f x tồn chứa khoảng a; b x0 cho a, b   D f x   f x0  với x a; b x  x0 Khi f x0  gọi giá trị cực đại hàm số f x f (x0 )  x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f x tồn chứa x0 cho (a,b)  D f (x)  f (x0 ) Khi với x (a; b)\ x0  gọi giá trị cực tiểu hàm số f x Điểm cực đại, cực tiểu gọi chung điểm cực trị * Các định lý: download by : skknchat@gmail.com khoảng (a;b) download by : skknchat@gmail.com SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12   Định lý (điều kiện cần): Giả sử hàm số f x đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f '( x0 )  Lưu ý: Điều ngược lại định lý không Đạo hàm f ' điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 ví dụ hàm y  x hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm ví dụ hàm y  x Định lý (Quy tắc - Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f liên tục khoảng a; bchứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0 ) ( x0 ; b) Khi  Nếu f '( x) đổi dấu từ  sang  x0 f đạt cực đại x0 x a f ' x  f  x  b xo  Giá trị cực đại Nếu f '( x) đổi dấu từ  sang  x0 f đạt cực tiểu x0 Do f đạt cực trị x0  f ' x đổi dấu x0 x a b xo f ' x   f x  Giá trị cực tiểu Chú ý: f ' xo  tồn khơng tồn Định lý (Quy tắc - Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng a; b chứa điểm x0 f có đạo hàm cấp khác điểm x0  Nếu f '( x0 )  f ''( x0 )  hàm số đạt cực đại điểm x0  Nếu f '( x0 )  f ''( x0 )  hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Giá trị lớn nhỏ hàm số * Định nghĩa: f x miền xác định D:  Số M gọi giá trị lớn (GTLN) M  max f x   xD  f x   M , x  D   x o  D : f x o   M  Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) f x miền xác định D: m  f x   xD  f x   m, x  D   x o  D : f x o   m download by : skknchat@gmail.com ... skknchat@gmail.com SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Mô tả chất sáng kiến: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI TOÁN THỰC TẾ LÝ THUYẾT VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ PP GIẢI BÀI TẬP TNKQ... by : skknchat@gmail.com SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 PHẦN B : CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Qua tìm hiểu, tổng hợp phân tích, tác giả nhận thấy toán thực tế liên... DẪN GIẢI download by : skknchat@gmail.com SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, lí thuyết tốn học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng