Bìh luậ: Ta có thể dùg bất đẳg thức Cauchy để giải hah bài toá hư sau:

C. x 2 h D x h 3.

nBìh luậ: Ta có thể dùg bất đẳg thức Cauchy để giải hah bài toá hư sau:

RE 2 E 2 E 2 E2 r 2 Cauchy r2 Ta có P    do R   2 R.  2 R  r 2 2rRr2 2 r2 r 4r R R R Dấu “=” xảy ra Rr2 rR. Đáp án A. R

Bài tập tương tự 1: Một dòng điện (đơn vị Ampere–A) trong mạch máy khuếch đại tuân

  

theo hàm số theo thời t(giây – s) cho bởi công thức i t 0 , 1 cos 120t  (A). Hãy

 6 

xác định biểu thức của điện áp đi qua cuộn cảm có độ lớn 2 mH biết rằng VL L.i't  ?

Hướng dẫn giải

     

i' t   12 sin 120t . Ta có VL  Li' t  24.103 sin 120t V 

6 6

   

Bài tập tương tự 2: Mạch điện xoay chiều gồm biến trở, cuộn dây không thuần cảm và tụ điện ghép nối tiếp. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp có biểu thức là u U 2 sin t V.

Trong đó U và  không đổi. Khi biến trở R  75 thì công suất tiêu thụ trên biến trở đạt giá trị lớn nhất. Xác định điện trở thuần của cuộn dây và tổng trở Z của mạch AB. Biết rằng chúng đều có giá trị nguyên.

A. r21vàZ120. B. r15và Z100.

C. r12vàZ157. D. r 35vàZ150.

(trích thi thử lần 4 - THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An 2012) Hướng dẫn giải Mạch gồm (R đổi)----(L-r)---(C) có U và  = const Ta có: Ta có P  U 2 R  U 2 R  U2 R Z2 R  r 2 Z L ZC2  r 2 ZL ZC2 2r  ê R   ê R     r 2 Z L ZC2 PR max  R R   Min  

Dùng đạo hàm hoặc áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

r 2 Z L ZC2

Cauchy2 . Dấu “=” xảy ra R

2 r2ZLZC2

R  r 2 Z L ZC2

R

Trở lại với bài toán ta có R 75, r ,ZAB

Ta có: ZAB  Rr2ZLZC2  R 2 2Rr  r 2 Z L Z C2  2R 2 2Rr R2 ZAB  150 75  r  5 6 75  r  Do ZABZ75r6k2r6k275 Mặt khác ta có 0rR7506k275755  k  5 2 Lại có: k  r  21  ZAB  120.Đáp án A.

Bài tập tương tự 3: Cho mạch điện xoay chiều AB như hình vẽ

u AB 200 sin 100t V , R100,C  104

F , cuộn cảm thuần có độtựcảm L thay

2



đổi được. Hãy xác định L để hiệu điện thể hiệu dụng hai đầu cuộn cảm UL đạt cực đại.

H.A. 2H  B. 2 C. 1H. D. 1H  A. 2H  B. 2 C. 1H. D. 1H     2 Hướng dẫn giải: Cảm kháng ZL L và dung khángZ  1  100 C C Đồng thời tổng trở Z  R2ZLZC2 Ta có U  IZ  UZL  U L L Z R2 ZC2 1  2ZC  1 ZL2 ZL Đặt X 1  f X  R 2 ZC2X 22ZC X 1 Z L (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Khi đó UL max  f Xmin . Do f Xlà một tam thức bậc hai vớiaR2ZC

2

 0

 minf Xtại đỉnh của parabol khi b  Z R2Z2

2H X 2a R2Z 2 L Z   X 2a R2Z 2 L Z   C C C C Và khi đó UL max U R 2  ZC 2 V    200 2 R

* Nhận xét: Nếu L = const, tụ C có điện dung thay đổi. Tìm C để UC max đạt giá trị cực đại

U R2ZL2 R2 ZL2

ta làm tương tự trên và kết quả là: UC max   ZC 

ZL

R

Bài toán 14. Khi cá hồi bơi với tốc độv km / h ngược dòng nước, năng lượng sản ra củanó trên một đơn vị thời gian là v3 J, đơn vị là Jun. Người ta thấy rằng, khi cá di cư cố gắng cực tiểu hóa năng lượng tổng thể để bơi một cách nhất định. Nếu vận tốc dòng nước

là akm / h thì thời gian cần bơi được khoảng cách L là L và năng lượng sản ra là

v  a

E v  qv3 L trong đó q là hằng số dương. Để giảm thiểu tối đa năng lượng khi bơi

v  a

quãng đường L thì tốc độ v cần thỏa mãn

A. va B. v 3a C. v5a D. v7a

2 2 2 2

(Bài toán từtác giảHứa Lâm Phong , 2016)

● Do bài toán đã cho ta sẵn hàm Evqv3 L nên ta có thể ứng dụng đạo hàm tìm v  a

min của E. (lưu ý va ).

Hướng dẫn giải.

E v  qv 3 L  E' v  q 3 v2vav3  q v 22 v 3a, v  a

v  a2

v  a v  a 2

E' v 0 v 3a.Lập bảng biến thiên ta thấy

2 v 0 3a  v 0 3a  2 E' v  0  E v 27a3 4 min E v  3 a 27 3

Dựa vào bảng biến thiên ta có: E    a

 2  4

n (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Bình luận: trong thực tế, khi khảo sát việc bơi ngược dòng của những chú cá này, ta thấy tốc độ của chúng gần gấp 1,5 lần tốc độ của dòng nước.

Bài tập tương tự 1: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi công thức:

f v 290 , 4v (xe/ giây), trong đó v km / h) là vận tốc trung bình của các0 , 36 v2  13 , 2 v 264 0 , 36 v2  13 , 2 v 264

xe khi vào đường hầm. Tính vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất ? Hướng dẫn giải f v  290 , 4 v  f ' v 290 , 4 0 , 36 v2  264 , v 0 0 , 36 v2  13 , 2 v 264 0 , 36 v2  13 , 2 v 264 2 f ' v 0 v  264  10 66  27,08 km / h 0 , 6 3 Lập bảng biến thiên ta có: v 0 10 66  3 f 'v 0  0  f v max

Bài tập tương tự 2: Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km / h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là

v km / h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

dòng quãng đường 300 km trên trong khoảng thời gian t với vận tốc bao nhieu để năng lượng tiêu hao là thấp nhất ?

A. 12km / h. B. 9 km / h. C. 21km / h. D. 15km / h.

Hướng dẫn giải

Vận tốc khi cá bơi ngược dòng sẽ là v6

Do đó thời gian để đi quãng đường 300 km là t 300

v 6

Do đó năng lượng tiêu hao sẽ là Ev300c v3

v 6 Do c0Evmin v3  f vmin v 6 , f ' v 0  êv0 ktm Với v6,f'v3v v 6 v  2v  18v 2 3 3   tm  v 6 v 6 2 2 êv 9 Lập bảng biến thiên ta nhận v9 .

Bài toán 15. Thể tích V của 1kg nước ở nhiệt đột (t nằm giữa 00Cđến 300C) được cho bởi công thức V999,87 0,06426t0,0085043t20,0000679t3cm3 . Ở nhiệt độ nào nước có khối lượng riêng lớn nhất ?

nPhân tích:

● Khối lượng riêng lớn nhất tương ứng với thể tích của vật nhỏ nhất. Do bài toán đã xác lập hàm nên ta có thể dùng công cụ đạo hàm để min cho biểu thức trên.

Hướng dẫn giải. V ' t   0 , 064262.0 , 0085043t  3.0 , 0000679t 2 t 79 , 5313800 ;300 V ' t 0 ê êt 3 , 9665  Lập bảng biến thiên ta có: t 0 3, 9665 30 V 't   0  V t  V min

Dựa vào bảng biến thiên ta có khối lượng riêng lớn nhất của vật khi thể tích nhỏ nhất lúc vật có nhiệt độ xấp xỉ gần bằng 40

C .

n Bình luận: Trong thực tế, thì ở nhiệt độ là 4 độ C thì nước có khối lượng riêng lớnnhất. Đây là 1 kiến thức ta đã học được từ Vật Lý lớp 7.

Bài tập tương tự 1: Nhiệt độT của một người trong cơn bệnh được cho bởi công thức

T t  0 , 1t 2 1, 2t 98 , 6 , 0 t 12, trong đóT là nhiệt độ o

FFahrenheit theo thời

gian t trong ngày. Tìm nhiệt độ lớn nhất độ celcius ( o

CCelcius ) của người bệnh trong

o F32

Hướng dẫn giải Ta có: T t   0,1t2  1, 2t 98 , 6 ,T't 0 , 2t 1, 2 T't 0 t 6 T 0  98 , 6 oF 370C Đồng thời ta có:  T6  102 , 2 oF 39 0Cmax Tt 39 0Ct 6    t0 ;12 T   12  98 , 6 oF 370C 

Vậy, nhiệt độ lớn nhất của người bệnh trong ngày là 390C khi t6 .

Cách khác: Ta có T (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

t

 0,1t2 1,2t98,6102,20,1

t6

2 102,2t 0;12 

Vậy dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t6 . Do đó maxT102,2t6

Bài tập tương tự 2: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là

f t 45t 2 t3(kết quảkhảo sát được trong tháng 8 vừa qua). Nếu xem f 't là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm t . Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ:

A.15. B.30. C.20. D. 12.

Hướng dẫn giải

Ta có f t 45t 2 t 3

 f ' t 90t 3t 2 g t 90 t 3t2  6t 0  t 15

 g '  t  90

Lập và dựa vào bảng biến thiên của gt t15 là giá trị cần tìm. Đáp án A

Bài toán 16. Hai con tàu A và B đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, tàu A chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu A với vận tốc 7 hải lý/giờ. Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách giữa hai tàu là lớn nhất ?

n Phân tích:

A B B

  1 

dA1 A1

● Trước tiên, bạn cần hiểu đôi chút về khái

niệm vĩ tuyến và kinh tuyến ?

Trên Trái Đất hay các hành tinh hoặc thiên thể hình cầu, vĩtuyến là một vòng tròn tưởng tượng nối tất cả các điểm có cùng vĩ độ. Trên Trái Đất, vòng tròn này có hướng từ đông sang tây . Vị trí trên vĩ tuyến được xác định bằng kinh độ. Một vĩ tuyến luôn vuông góc với một kinh tuyến tại giao điểm

giữa chúng. Các vĩ tuyến ở gần cực Trái Đất có đường kính nhỏ hơn. (theo wikipedia.org).

Kinh tuyến là một nửa đường tròn trên bề mặt Trái Đất, nối liền haiĐịa cực, có độdài khoảng 20.000 km, chỉ hướng bắc-nam và cắt thẳng góc với đường xích đạo. Mặt phẳng của kinh tuyến 0° (chạy qua đài quan sát thiên văn tại Greenwich thuộc Luân Đôn) và kinh tuyến 180°, chia Trái Đất ra làm hai bán cầu – Bán cầu đông và Bán cầu tây.(theo wikipedia.org).

● Như vậy khi các tàu, thuyền đi trên biển chúng ta sẽ dùng một đơn vị đo khoảng cách khác là hải lý (1 hải lý = 1852 mét). Từ mô hình và mô tả của bài toán ta có thể gọi t là thời gian mà sau khi xuất 2 tàu cách nhau một khoảng d.

Khi đó dA1B12AB12AA12 . Trong đó AA chính là quãng đường của tàu A đi 1

được. Dựa vào gợi ý 2 tàu cách nhau ban đầu 5 hải lý theo đường vĩ tuyến, nên ta có thể tính AB125BB12

.

● Cuối cùng, ta vận dụng công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian là

Sv.tAA 1 v A t .  BB1 v B t Hướng dẫn giải.

Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d . khi đó tàu A đang ở vị trí A1 và tàuBđang ởvịtrí B1 như hình vẽ. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Ta có d2  AB12AA12   5 BB1 2 AA12   57t 2 6t 2

Với BB1 là quãng đường tàu B đi được BB1vB.t7t

Và AA1 là quãng đường tàu A đi được AA1 vA.t6t

. Đặt ft

Suy ra d 85t2 70t 25 85t2 70t 25 vớit 0 .

Bài toán trở thành tìm min f t  ?



 

t0 ;

Ta có: f 't 170t 70 , f 't 0 t 7h

2 85t2 70t 25 17 Lập bảng biến thiên ta thấy

t 0 7 17 17 f 't   0  f t  6 85 17 f t   

Dựa vào bảng biến thiên ta có: min  7  6 85  3,254 (hải lý)

f   17



0 ;  17 

t

n Bình luận: Ta có thêm một cách khác để tìm minf(t) như sau:

f t  2 2 245 185  72 185 6 85

85t  70t 25  85t  70t   85 t    

17 17  17 17 17

min f t 6

1785 t 177.(hoặc sử dụng cực trị của parabol)

Bài tập tương tự 1: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 > v2). Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất ?

Hướng dẫn giải

Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D. D h Thời gian t là: tACCDAECE CD v1 v2 v1 v2 l  h h l  h.cot a  t  tan a sina   h v 2 sina v1  v 2 v1  l  h.cota h Xét hàm số t a  v2 sina v1

Bài toán trở thành tìm min ta ?

Ta có: t 'a h h cos a h  1

  