(SKKN mới NHẤT) SKKN phương tích của một điểm đối với đường tròn

MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu .2 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .2 Phạm vi kế hoạch nghiên cứu PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lý luận Thực trạng vấn đề 3 Những biện pháp, giải pháp thực 3.1 Nhắc lại kiến thức có liên quan 3.2 Xây dựng kiến thức từ toán sách giáo khoa 3.3 Lí thuyết phương tích điểm đường tròn .5 3.4 Xây dựng kết quen thuộc từ toán 3.5 Một số ứng dụng phương tích giải tốn hình học .7 3.5.1 Dùng phương tích để chứng minh tứ giác nội tiếp 3.5.2 Dùng phương tích để chứng minh đặc tính hình học 3.5.3 Dùng phương tích để chứng minh đẳng thức hình học 14 3.5.4 Dùng phương tích để chứng minh đường qua điểm cố định .20 Kết đạt 25 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ I Kết luận 24 II Khuyến nghị 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tham khảo 25 1/27 download by : skknchat@gmail.com PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Trong hoạt động giáo dục nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến trình giáo dục thành trình tự giáo dục Như vậy, học sinh phát huy lực sáng tạo, tư khoa học, từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Một phương pháp để giúp học sinh đạt điều mơn Tốn (cụ thể mơn Hình học 9) khích lệ em sau đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tịi tốn liên quan Làm có nghĩa em cần say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức Đối với học sinh lớp học tốn vị trí tương đối đường thẳng đường trịn chùm tập hai tiếp tuyến cát tuyến đường tròn quan trọng đề cập nhiều kì thi vào THPT thi học sinh giỏi cấp quận, cấp thành phố Đóng vai trị đơn vị kiến thức quan trọng nội dung Hình học lớp đa số em biết đến chứng minh số toán đơn lẻ mà khơng có cách nhìn khái qt dạng tập này, việc vận dụng kiến thức phương tích để giải tốn liên quan em lúng túng Với lý đó, kết hợp với số ỏi kinh nghiệm tích lũy q trình giảng dạy cho em học sinh lớp bồi dưỡng học sinh giỏi tơi mạnh dạn chọn đề tài “Phương tích điểm đường tròn” nhằm giúp em học sinh dễ dàng việc vận dụng, khai thác vấn đề liên quan tới dạng tập Và có kĩ “ đưa lạ quen” để giải vấn đề hình học cách tốt Mời bạn đồng nghiệp tham khảo đóng góp ý kiến để đề tài tơi hồn thiện mang tính thực tế cao giảng dạy Mục đích nghiên cứu - Giúp giáo viên có phương pháp giảng dạy mơn Hình hiệu để phát huy tính sáng tạo học sinh THCS gây hứng thú cho học sinh, giúp em thêm u thích mơn Tốn nhà trường - Truyền tải toàn vấn đề nghiên cứu đến với đối tượng học sinh Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp trường THCS Phương pháp nghiên cứu Trong trình thực đề tài tơi có áp dụng, kết hợp nhiều biện pháp, chủ yếu biện pháp sau: - Phương pháp khảo sát - Phương pháp phân tích 2/27 download by : skknchat@gmail.com - Phương pháp đọc tài liệu - Phương pháp thực hành - Phương pháp đối chứng Phạm vi kế hoạch nghiên cứu - Đề tài thực năm học 2016-2017 - Học sinh lớp trường THCS 3/27 download by : skknchat@gmail.com PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lý luận Trong chương trình giáo dục phổ thơng, Tốn học môn khoa học quan trọng, thành phần thiếu văn hóa phổ thơng người Với đặc trưng suy luận, tính tốn, chứng minh, phân tích, tổng hợp, so sánh, mơn tốn có tiềm khai thác góp phần phát triển lực trí tuệ, rèn luyện phát triển thao tác tư phẩm chất tư Để giải tốn, ngồi việc nắm vững kiến thức cần có phương pháp suy nghĩ khoa học với kinh nghiệm cá nhân tích lũy trình học tập, rèn luyện Trong mơn tốn trường trung học sở có nhiều tốn chưa có khơng có thuật tốn để giải Đối với toán ấy, người giáo viên cần phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, tìm tịi lời giải Trong q trình giảng dạy mơn tốn nhà trường kỳ thi học sinh giỏi cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông, việc sử dụng phương tích điểm đường trịn để góp phần giải tốn hình học chuyên đề hay lý thú, thu hút đông đảo thầy cô học sinh quan tâm Thực trạng vấn đề Trong trình giảng dạy cho em học sinh lớp ôn thi vào THPT thi học sinh giỏi cấp quận, cấp thành phố dạng tập “Phương tích điểm đường tròn” em gặp nhiều Tuy nhiên, hầu hết học sinh giải câu a tập cách dễ dàng, câu hỏi tư phần sau em tỏ lúng túng, khó khăn mà nguyên nhân chủ yếu do: - Khi gặp tốn hình em lao vào suy nghĩ, chứng minh dựa kiến thức học mà khơng có cách nhìn khái qt xem dạng tập nào, phương pháp chung để giải gì? - Một u cầu tốn quen thuộc dạng khơng phân tích hình vẽ để áp dụng phương tích vào giải - Hay đơn giản cách hỏi khác em vội khẳng định dạng tâp - Một số toán giả thiết cịn cho ẩn đi, khơng nắm dạng em không khôi phục đầy đủ giả thiết để áp dụng Với thực trạng vậy, thấy việc hình thành dạng tập cho em cần thiết, từ giúp em có kĩ tốt làm Những biện pháp, giải pháp thực 3.1 Nhắc lại kiến thức có liên quan Để làm tốt dạng tập phương tích điểm đường trịn trước tiên học sinh cần ôn lại kiến thức liên quan như: tiếp tuyến, cát tuyến đường trịn, khái niệm, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, hệ thức lượng tam giác vuông… 4/27 download by : skknchat@gmail.com 3.2 Xây dựng kiến thức từ toán sách giáo khoa Trên thực tế khái niệm phương tích điểm đường trịn khơng đề cập đến chương trình sách giáo khoa lớp 9, ứng dụng việc giải tốn hình học lớp lớn Nên xuất phát từ kết toán sách giáo khoa giúp đề cập tới vấn đề Bài 23 trang 76 – SGK toán tập Cho đường tròn (O) điểm M cố định khơng nằm đường trịn Qua M kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ cắt đường tròn (O) A B, đường thẳng thứ hai cắt đường tròn (O) C D Chứng minh: MA MB = MC MD - Với tập cần ý tới giả thiết “một điểm M cố định không nằm đường trịn” để từ học sinh phải xét hai trường hợp điểm M nằm bên bên ngồi đường trịn Trong trường hợp xét hai tam giác đồng dạng Nội dung toán trình bày phần lí thuyết - Và từ tập giáo viên giới thiệu lí thuyết phương tích điểm đường trịn 3.3 Lí thuyết phương tích điểm đường trịn Định lí: Giả sử hai đường thẳng cắt P cắt đường tròn điểm tương ứng A, B, C, D, đó: PA PB = PC PD * Chứng minh: +, TH 1: Điểm P nằm ngồi đường trịn: +, TH 2: Điểm P nằm đường tròn: B A A P C C P O B D D - Chứng minh trường hợp 1: Xét có: chung ( Hai góc nội tiếp chắn cung AC) (g – g) (đpcm) - Trường hợp chứng minh tương tự * Chú ý: Trong trường hợp cát tuyến trở thành tiếp tuyến định lí cịn Hệ quả: Cho điểm P có khoảng cách đến tâm O đường tròn (O; R) d Giả sử đường thẳng di động qua P cắt đường tròn hai điểm A B Khi ta có: - Nếu P nằm bên đường trịn thì: PA PB = R2 – d2 - Nếu P nằm bên ngồi đường trịn thì: PA PB = d2 – R2 * Chứng minh: 5/27 download by : skknchat@gmail.com +, TH 1: Điểm P nằm ngồi đường trịn: B A A P C +, TH 2: Điểm P nằm đường tròn: C P O O D B D - Chứng minh trường hợp 1: Gọi giao điểm PO với đường trịn C D Theo định lí ta có: PA PB = PC PD = ( d – R) ( d + R) = d2 – R2 - Tương tự cho TH Định nghĩa: Ta gọi đại lượng d2 – R2 phương tích điểm P đường trịn (O) - Quy ước: Khi P nằm đường trịn phương tích 3.4 Xây dựng kết quen thuộc từ tốn Bài tốn: Cho đường trịn (O), từ điểm A nằm ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B, C tiếp điểm) cát tuyến AEF ( E nằm A F), gọi I trung điểm EF, H giao điểm AO BC Chứng minh: B F 1, Các điểm B, I, O, C, A thuộc I E đường tròn 2, AB = AE AF = AH AO A O H Giải: 1, Vì AB, AC tiếp tuyến đường trịn (O) (gt) C Nên: (tính chất tiếp tuyến) - Xét đường trịn (O) có I trung điểm dây EF khơng qua tâm nên (quan hệ vng góc đường kính dây) Ta có: ba điểm B, I, C thuộc đường trịn đường kính AO Hay: Các điểm B, I, O, C, A thuộc đường trịn (đpcm) b, Xét có: Góc A chung (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn cung BE) (1) - Lại có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OC = OB (= bán kính) Nên OA đường trung trực BC H 6/27 download by : skknchat@gmail.com Xét tam giác AOB vuông B đường cao BH ta có: AB2 = AH AO (2) Từ (1) (2) suy AB2 = AE AF = AH AO (đpcm) * Nhận xét 1: - Từ kết thứ nhất, với điểm B, I, O, C, A thuộc đường trịn ta có tứ giác với bốn đỉnh nói nội tiếp ví dụ tứ giác ABIO; BIOC; ACOI nội tiếp - Từ đẳng thức AE AF = AH AO =>tứ giác EHOF nội tiếp Từ định hình cho em cách sử dụng phương tích để chứng minh tứ giác nội tiếp thơng qua chứng minh góc nhau, mà cặp góc suy từ cặp tam giác đồng dạng có nhờ kết phương tích Như vậy: từ tính chất phương tích giúp học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp * Nhận xét 2: - Khi chứng minh tứ giác nội tiếp ta có mối quan hệ góc nội tiếp góc ngồi đỉnh với góc đỉnh đối diện bổ sung thêm vào giả thiết để làm câu sau - Khi có AB2 = AE AF = AH AO giáo viên định hướng cho học sinh chứng minh đặc tính hình học , chứng minh hai đoạn thẳng thơng qua hai bình phương chúng, rút tỉ lệ thức để từ chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp c – g – c, chứng minh đẳng thức hình học - Với đường trịn (O) cố định ta suy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC IBC qua điểm O cố định Từ em làm tập chứng minh đường qua điểm cố định Trên sở nhận xét ban đầu nêu trên, mức độ tương đối gv hình thành cho em dạng tập có liên quan đến tính chất phương tích, cụ thể ta có số ứng dụng sau: 3.5 Một số ứng dụng phương tích giải tốn hình học - Chứng minh tứ giác nội tiếp - Chứng minh đặc tính hình học: Quan hệ vng góc, quan hệ song song, quan hệ đoạn thẳng, góc - Chứng minh đường qua điểm cố định - Chứng minh đẳng thức hình học Trên sở định hướng, phân tích rút nhận xét nói hình thành cho học sinh cách nhìn nhận tốn theo đặc trưng riêng Từ trang bị cho em nhiều cách nghĩ khác để tìm hướng thích hợp giải vấn đề 3.5.1 Dùng phương tích để chứng minh tứ giác nội tiếp Bài 1: Cho đường tròn (O), A điểm nằm ngồi đường trịn Một cát tuyến qua A cắt (O) B C Vẽ tiếp tuyến AP với (O) (P tiếp điểm), gọi H hình chiếu P OA Chứng minh điểm O, H, B, C thuộc đường tròn 7/27 download by : skknchat@gmail.com Giải: Chúng ta thấy BC OH cắt A, để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH AO = AB.AC Thật vậy: Xét có: chung P C B A H O ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn cung PB) AB AC = AP2 (1) ( g – g) Mặt khác: Tam giác APO vng P, PH đường cao nên ta có: AH AO = AP2 (2) (hệ thức lượng tam giác vng APO) Từ (1) (2) ta cóAH AO = AB AC => Xét tứ giác OHBC có: nên tứ giác OHBC nội tiếp ( tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện) Hay: điểm O, H, B, C thuộc đường tròn Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB B tiếp xúc với AC C Gọi H giao điểm OA BC Vẽ dây cung DE (O) qua H Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp Hướng dẫn giải Tam giác OCA vuông C, CH đường cao nên ta có: HO HA = HC2 (1) (Hệ thức lượng tam giác vuông) Dây cung BC DE (O) cắt H nên ta có: HD HE = HB HC = HC2 (2) (định lí) Từ ta có HA.HO = HD.HE => tứ giác ADOE nội tiếp A D B H C O E Bài 3: Cho đường tròn (O; R) điểm I nằm đường tròn Hai dây cung AB CD qua I Tiếp tuyến A B cắt P, tiếp tuyến C D cắt Q Gọi M giao điểm OQ CD, N giao điểm OP AB Chứng minh: a) Tứ giác MNPQ nội tiếp b) OI vng góc với PQ Giải: A a, Chứng minh ON OP = OM OQ (=R2) b, Chứng minh tg OMIN nội tiếp N O P Mà: D I M Trong tam giác OIN vng N có: C B Q 8/27 download by : skknchat@gmail.com Bài 4: Cho điểm A bên đường tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác c) DE cắt BC I Chứng minh : d) Cho Tính HI theo R Bài 5: Từ điểm A (O;R), kẻ tiếp tuyến AB AC đến (O) với B C tiếp điểm cát tuyến ADE đến (O) cho AD < AE, D C nằm mặt phằng bờ OA khác , góc góc nhọn Kẻ EM vng góc với BC M, DM cắt(O) N.Đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt OA I Chứng tỏ:Tứ giác ONEI nội tiếp N B K D A E M O H C Trước hết ta cm: K, M, E thẳng hàng, với K giao điểm AN (O) Dễ dàng chứng minh: DHOE, KHON tứ giác nội tiếp Từ có: DCEN tứ giác nội tiếp nên MHEN tứ giác nội tiếp ( Làm tương tự có DHMK tứ giác nội tiếp ( Ta cm ) ) Kết hợp với tứ giác nội tiếp vừa chứng minh ta thu , tức K, M, E thẳng hàng Trở lại tốn: Ta cần cm góc NIO = góc NEO xong Bằng biến đổi góc ta thấy hai góc phụ góc NAI 3.5.2 Dùng phương tích để chứng minh đặc tính hình học Bài 1: Cho điểm A nằm bên ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường trịn (B, C tiếp điểm) Gọi M trung điểm AB Đường thẳng MC cắt đường tròn (O) N (N khác C) Tia AN cắt đường tròn (O) D ( D khác N) Chứng minh: Giải: Xét tứ giác ABOC có : nên tứ giác ABOC nội tiếp 9/27 download by : skknchat@gmail.com Xét MBN MCB có : chung (Góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn cung BN) B M O A N D C  MBN MCB (g-g) Nên  Xét MAN MCA có góc Vì M trung điểm AB nên chung Theo chứng minh ta có: Do đó : MAN MCA (c-g-c) => (1) mà: ( chắn cung NC) (2) Từ (1) (2) suy ra: hay * Nhận xét: toán ta thấy việc áp dụng kết phương tích khơng áp dụng cho giả thiết ban đầu tốn mà cịn áp dụng cho hình vẽ thêm sau Cụ thể tốn phương tích áp dụng cho tiếp tuyến MB cát tuyến MNC Bài 2: Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O) Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME < MF) Vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC (O) (C tiếp điểm, A nằm hai điểm M B, A C nằm khác phía đường thẳng MO) a, Chứng minh MA.MB = ME.MF b, Gọi H hình chiếu vng góc điểm C lên đường thẳng MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp c, Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính MF; nửa đường tròn cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S giao điểm hai đường thẳng CO KF Chứng minh đường thẳng MS vng góc với đường thẳng KC d, Gọi P Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFS ABS T trung điểm KS Chứng minh ba K điểm P, Q, T thẳng hàng Giải: Vì hai tam giác đồng dạng MAE B MBF P T S Nên MA.MB = ME.MF A (Phương tích M đường trịn tâm O) a, Do hệ thức lượng đường tròn ta có: MA.MB = MC2, mặt khác hệ thức lượng tam giác vuông MCO ta 10/27 V H M E download by : skknchat@gmail.com O Q C F điểm) Gọi H trung điểm dây cung AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng OM OH Chứng minh điểm M, O, H, E, F nằm đường tròn Chứng minh: OH.OI = OK OM Chứng minh: IA, IB tiếp tuyến đường tròn (O) Giải: I 1/ điểm M, E, O, H, F nằm đường trịn đường kính MO 2/ OHM OKI (g.g) E B OH.OI = OM.OK 3/ Có MEO H A K M EKO (g.g) MO.OK = OE2 O F Mà OE = OA nên MO.OK = OA2 MOA AOK (c.g.c) OMA = OAK Mà OMA = OIK (cmt) OAK = OIK Tứ giác IAKO nt (tứ giác có đỉnh liên tiếp …) OAI = OKI = 900 (2 góc nội tiếp chắn cung OI) OA IA IA tiếp tuyến (O) Lại có OAI = OBI = 900 IB tiếp tuyến (O) Bài 6: Cho ABC có AB > AC ngoại tiếp đường trịn (I) Các cạnh BC, CA AB ABC tiếp xúc đường tròn (I) tiếp điểm D, E, F Tia FE cắt tia BC điểm M Đoạn thẳng AD cắt đường tròn (I) lần N Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (I) Giải: AI cắt EF H AD cắt IM K Ta chứng minh D H nhìn đoạn IM góc vng Do tứ giác IDMH nội tiếp, suy (1) Ta có ID2 = IF2 = IH IA(?), từ IDH IAD (c.g.c) (2) Từ (1) (2) suy A F N H I E M B C D Suy IAK IMH (g.g) Suy K trung điểm dây DN, suy đường thẳng IM đường trung trực đoạn thẳng DN Do dễ thấy INM = IDM (c.c.c) Vậy MN tiếp tuyến N đường tròn (I) 13/27 download by : skknchat@gmail.com Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Với K giao điểm EF BC kí hiệu (C1) (C2) đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, Chứng minh rằng: 1, ME tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) (C2) 2, KH AM Giải : Ta có nên tứ giác AEHF nội tiếp đường trịn (C1) có tâm trung điểm AH A F (1) mà góc ACD) E N H (2) ( phụ với (3)( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Từ (1), (2) (3) ta có K C D M B => ME tiếp tuyến đường tròn tâm (C1) 2, Gọi giao điểm AM với KH N trước tiên chứng minh điểm A,E,H,N,F thuộc đường tròn Ta thấy => nghĩa C,M,N, F thuộc đường tròn Chứng minh A,E,N, B nội tiếp KH AM 3.5.3 Dùng phương tích để chứng minh đẳng thức hình học * Nhận xét: Trong tốn chứng minh đẳng thức hình học hầu hết ta đưa tỉ lệ thức mà ta suy từ kết phương tích, hệ thức lượng tam giác vng định lí Talets Qua cho thấy cách chứng minh đẳng thức thơng thường lớp lớp bổ sung thêm số phương pháp sử dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông sử dụng phương tích để chứng minh đẳng thức hình học Cụ thể ta xét vài ví dụ sau: Bài 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối tia BA lấy điểm C (C không trùng với B) Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D tiếp điểm), tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng CD E Gọi H giao điểm AD OE, K giao điểm BE với đường trịn (O) (K khơng trùng với B) 1) Chứng minh AE2 = EK EB 2) Chứng minh điểm B, O, H, K thuộc đường tròn 14/27 download by : skknchat@gmail.com 3) Đường thẳng vng góc với AB O cắt CE M Chứng minh Giải: 1) Chứng minh AE2 = EK EB + Chỉ tam giác AEB vng A + Chi góc AKB = 900 suy AK đường cao tam giác vuông AEB + Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng AEB ta có: E K M D H A O B C AE2 = EK EB 2) Chứng minh điểm B, O, H, K thuộc đường tròn + Chỉ tứ giác AHKE nội tiếp suy góc EHK = góc EAK + Chỉ góc EAK = góc EBA + Suy tứ giác BOHK nội tiếp suy điểm B, O, H, K thuộc đường tròn 3) Đường thẳng vng góc với AB O cắt CE M Chứng minh + Chỉ tam giác OEM cân E suy ME = MO + Chỉ OM // AE, áp dụng định lý ta – lét tam giác CEA ta có + Ta có Mà ME = MO nên suy (đpcm) Bài 3: Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định nằm ngoài (O) Kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O) ( B,C là các tiếp điểm) Gọi M là một điểm di động cung nhỏ BC( M khác B và C) Đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ là N Gọi E là trung điểm của MN a, Chứng minh điểm A,B,O,E cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm của đường tròn đó b Chứng minh c Chứng minh AC2 = AM AN và MN2 = 4(AE2 - AC2) d Gọi I, J lần lượt là hình chiếu của M cạnh AB, AC Xác định vị trí M cho tích MI.MJ đạt giá trị lớn nhất 15/27 download by : skknchat@gmail.com Giải: a, Ta có: EM = EN(gt)  OE MN  B I M Mà (AB là tiếp tuyến (O)) A F H Suy ra: B, E thuộc đường tròn đương kính AO J Hay A,B,E,O cùng thuộc một đường C tròn, tâm của đường tròn là trung điểm của AO b, Ta có: (góc ở tâm và góc nt cùng chắn một cung) Mặt khác: suy ra: (đpcm) N E K O - Xét AMC và ACN có:  AMC ACN(g.g) (đpcm) - Ta có: AE2 =AO2 - OE2 (áp dụng ĐL Pi-ta-go vào AEO ) AC2 =AO2 - OC2 (áp dụng ĐL Pi-ta-go vào ACO ) Suy ra: AE2- AC2=OC2-OE2=ON2-OE2=EN2= hay MN2=4(AE2- AC2) c, Kẻ MKBC, đoạn AO  (O) ={F}, AO  BC ={H} Ta có: ( tứ giác MJCK nt) (cùng chắc cung MC) (tứ giác MKBI nt) Suy ra: (1) Chứng minh tương tự ta cũng có: (2) Từ (1) và (2) suy ra: MIK MKJ (g.g) Để MI.MJ lớn nhất thì MK phải lớn nhất Mặt khác M thuộc cung nhỏ BC nên MKFH vậy MK lớn nhất MK=FH Hay Vậy A, M, O thẳng hàng thì MI.MJ đạt giá trị lớn nhất Bài 4: Cho đường tròn (O; R) điểm S nằm bên ngồi đường trịn Kẻ đường thẳng qua S (không qua tâm O) cắt đường tròn (O; R) hai điểm M N với M nằm S N Gọi H giao điểm SO AB; I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt E a) Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp đường tròn b) Chứng minh OI.OE = R2 c) Tính diện tích tam giác EMS 16/27 download by : skknchat@gmail.com Giải: a) Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp đường trịn : Ta có SA = SB ( tính chất tiếp tuyến) Nên SAB cân S Do tia phân giác SO đường cao SO AB I trung điểm MN nên OI MN Do Hai điểm H I nhìn đoạn SE góc vng nên tứ giác IHSE nội tiếp đường trịn đường kính SE b) SOI đồng dạng E A N I M S H O B EOH ( g.g) mà OH.OS = OB2 = R2 ( hệ thức lượng tam giác vuông SOB) nên OI.OE = c) Tính OI= Mặt khác SI = Vậy SESM = Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường trịn (O) đường kính AB, (O) cắt BC điểm thứ hai D Gọi E trung điểm đoạn OB Qua D kẻ đường thẳng vng góc với DE cắt AC F 1) Chứng minh tứ giác AFDE nội tiếp 2) Chứng minh 3) Chứng minh 4) Một đường thẳng (d) quay quanh điểm C cắt (O) hai điểm M, N Xác định vị trí (d) để độ dài CM + CN đạt giá trị nhỏ c) Ta có: ABD vuông D: tan N = A AEF vuông A: tan = M E => 3tan Mà: AFD F O B D BEB (g-g) => Suy ra: tan = 3tan 17/27 download by : skknchat@gmail.com C d) Ta có: CMA đồng dạng CAN (g- g) => CM.CN = CA2 (không đổi) suy ra: CM + CN nhỏ CM = CN  M trùng với N => d tiếp tuyến (O) Bài 6: Từ điểm D nằm ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến DA, DB với đường tròn (A B tiếp điểm) Vẽ cát tuyến DEC không qua tâm O (E nằm D C) OD cắt AB M, AB cắt EC N Chứng minh rằng: a/ MA phân giác góc EMC b/ MB2⋅DC=MC2⋅DE c/ a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến, ta có D DE⋅DC=DA2 Mặt khác áp dụng hệ thức lượng tam giác DAO vng A có AM đường cao DA2=DM⋅DO Do đó, ta thu : DE⋅DC=DM⋅DO E Từ đây, ta suy tứ giác EMOC nội tiếp M A N Suy EMD=ÐECO Do tam giác OEC cân O B nên ÐECO=ÐCEO O Mà ÐCEO =ÐCMO (cùng chắn cung CO (EMOC)) nên ta có C ÐEMD =ÐECO = ÐCEO =ÐCMO ta có ÐEMD = ÐCMO; Mà ÐEMD +ÐEMA= 900 ÐCMO +ÐCMA = 90o nên với kết trên, ta thu Ð EMA = ÐCMA Nói cách khác, MA phân giác góc ÐEMC b) Theo chứng minh trên, ta có ÐEMD = ÐOMC ÐDEM =ÐCOM (do tứ giác EMOC nội tiếp), suy △DEM∽△COM Từ đây, ta có EM/OM=DM/MC hay MC⋅ME=MD⋅MO Mà MD⋅MO=MB2 (áp dụng hệ thức lượng tam giác MBO vng O có BM đường cao) nên ta suy MB2=MC⋅ME Nên: hệ thức cần chứng minh trở thành: MC⋅ME⋅DC=MC2⋅DE Þ ME⋅DC=MC⋅DE ÞDC/MC=DE/ME Do tứ giác EMOC nội tiếp nên dễ thấy DEO~DDMC DDEM DDOC Suy DC/MC=DO/OE DE/ME=DO/OC Mà OC=OE nên DC/MC=DO/OE=DO/OC=DE/ME c) Ta thấy hệ thức cần chứng minh viết lại sau: 2=EC/DC+EC/NC Þ1−EC/DC=EC/NC−1ÞDE/DC=EN/NC Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có EN/NC=EM/ MC Do đó, ta cần chứng minh DE/DC=ME/MC, hay DC⋅ME=DE⋅MC 18/27 download by : skknchat@gmail.com Đây kết chứng minh phần (b) Bài 7: Cho đường trịn tâm O điểm C ngồi đường trịn Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE ; CF ( E F tiếp điểm) cát tuyến CMN ( M nằm C N ) tới đường tròn Đường thẳng CO cắt đường tròn hai điểm A B Gọi I giao điểm AB với EF Chứng minh rằng: a, Bốn điểm O, I, M, N thuộc đường tròn b, Giải a, Do CE tiếp tuyến (O) nên: (Góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn cung ME) E N M C A I O B M' F Mặt khác: CE; CF tiếp tuyến (O) nên AB EF I Vì tam giác vng CEO đường cao EI ta có: CE2 = CI.CO (2) Từ (1) (2) suy CM.CN = CI.CO Tứ giác OIMN nội tiếp b, Kéo dài NI cắt đường tròn M’ Do tứ giác IONM nội tiếp nên : Mà: đpcm Bài 8: Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E Gọi I trung điểm DE a Chứng minh IA tia phân giác góc BIC b Đường thẳng qua D song song với AB cắt BC H,cắt BE K Chứng minh H trung điểm DK 19/27 download by : skknchat@gmail.com Giải: B a, Chứng minh năm điểm B, O, I, C, A thuộc đường tròn đường kính OA K Ta có : Góc BIA = góc CIA (cùng A O H góc ACB) D b, tứ giác DHIC nội tiếp ( hai đỉnh C,D I E nhìn cạnh HI hai góc ) C suy : IHC = ICD ( chắn cung ID đường trịn (DHIC)) mà góc ICD = góc EBC Nên: IHC = góc EBC suy HI // BE Trong tam giác DEK có : ID=IE HI // KE suy HD = HK Vậy H trung điểm DK 3.5.4 Dùng phương tích để chứng minh đường qua điểm cố định * Nhận xét: Quay trở lại kết phương tích với năm điểm thuộc đường trịn, ta điểm cố định ta có đường trịn ln qua điểm cố định - Hoặc từ kết thứ hai ta chứng minh đoạn thẳng có độ dài khơng đổi lập luận ta có điểm cố định Bài 1: Cho ( O; R) đường thẳng d cắt (O) điểm A; B, d lấy điểm M từ kẻ tiếp tuyến MN; MP ( N; P tiếp điểm) a, Tìm điểm cố định mà đường trịn ( MNP ) ln qua M di động d b, Xác định vị trí M để MNP c, Xác định vị trí M để tứ giác MNOP hình vng Giải: N A Q a, MN, MP hai tiếp tuyến ( O) B => (T/c M H O tiếp tuyến) Xét tứ giác ONMP có P Do tứ giác ONMP nội tiếp đường trịn đường kính OM Kẻ OQ vng góc với AB => QA = QB ( đường kính vng góc với dây) Vì AB cố định => Q cố định Gọi I trung điểm OM tam giác OQM vuông Q => QI = IO = IM Vậy Q thuộc đường trịn đường kính OM Kết hợp với câu a => điểm M, N, O, Q, P thuộc đường tròn đường kính OM => đường trịn ( MNP) ln qua hai điểm O, Q cố định M di chuyển d b, Để tam giác MNP => góc NMP = 600 mà MO phân giác góc NMP => => ON = OM => OM = 2NO = 2R 20/27 download by : skknchat@gmail.com Dựng cung trịn tâm O bán kính 2R cắt d M => M điểm cần dựng để MNP Thật OM = 2R= 2ON => Vậy tam giác MNP tam giác c, Tứ giác MNOP hình vuông MN= ON, MNO vuông cân N OM= ON = R ( R bán kính đường trịn (O)) M giao điểm (O; R ) với đường thẳng d Vậy ta xác định điểm M1; M2 thoả mãn điều kiện đề Bài 2: Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường trịn tâm O qua B C Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O); Gọi I trung điểm BC, N trung điểm EF a CMR: E, F nằm đường tròn cố định đường tròn (O) thay đổi b Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) K Chứng minh : EK // AB c Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy đường thẳng cố định đường tròn(O) thay đổi Giải: a ABF AFC đồng dạng (g- g) Ta có : AB/ AF=AF/AC AF2=AB.AC AF= Mà AE=AF nên AE=AF= khơng đổi Vậy E,F thuộc đường trịn (A; ) cố định E K A B N O H I C F b Tứ giác AOIF nội tiếp đường trịn, nên: Từ (1) (2) Do đó: EK AB song song vơí c Cm A, N, O thẳng hàng AO EF ; Gọi H giao điểm BC EF Ta có : ANH AIO đồng dạng nên Suy ra: AH AI =AN AO Lại có : AN AO =AE2 =AB AC Do : AI AH =AB AC không đổi Vậy H cố định Tứ giác OIHN tứ giác nội tiếp đường tròn nên đường trịn (OIN) ln qua I H; Do tâm đường tròn nằm đường trung trực IH Bài 3: Cho đường tròn (O), dây AB điểm C ngồi đường trịn nằm tia BA Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường trịn cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Các dây AB QI cắt K 21/27 download by : skknchat@gmail.com a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b) Chứng minh CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC phân giác góc đỉnh I tam giác AIB d) Giả sử A, B, C cố định, chứng minh đường tròn(O) thay đổi qua A, B đường thẳng QI ln qua điểm cố định Giải: a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp Ta có: P I C O A K D B Q Cách 2: Ta có: Mà: ; nên: b) Chứng minh CI.CP = CK.CD Xét: c) Chứng minh IC phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB: Ta có: d) Giả sử A, B, C cố định, chứng minh đường tròn(O) thay đổi qua A, B đường thẳng QI ln qua điểm cố định Ta chứng minh được: Từ (1) (2) 22/27 download by : skknchat@gmail.com Bài 4: Cho đường tròn (O; R) điểm M thay đổi nằm ngồi đường trịn Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A B tiếp điểm) Gọi D điểm di động cung lớn AB (D khơng trùng với A, B điểm cung) C giao điểm thứ hai đường thẳng MD với đường tròn (O; R) a) Giả sử H giao điểm OM với AB Chứng minh MH.MO = MC.MD, từ suy đường trịn ngoại tiếp tam giác HCD qua điểm cố định b) Chứng minh dây AD song song với đường thẳng MB đường thẳng AC qua trọng tâm G tam giác MAB c) Kẻ đường kính BK đường trịn (O; R), gọi I giao điểm đường thẳng MK AB Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, biết OM = 2R K A I D C M H O E B Giải: a) Vì tam giác AOM vng A có nên Mặt khác nên MAC đồng dạng MDA (g.g), Vậy Khi Do đồng dạng Từ suy OHCD nội tiếp, đường trịn ngoại tiếp HCD ln qua điểm O cố định b) Giả sử AC cắt MB E, nên EBC đồng dạng EAB Do Vì AD // MB nên Do EMC đồng dạng Vậy EB = EM, tức E trung điểm MB 23/27 download by : skknchat@gmail.com EAM Tam giác MAB có MH AE đường trung tuyến, nên AC qua trọng tâm G MAB Bài 5: Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O' M N (M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cố định Giải: Ta có: (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O) (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O')  hay  BDMI tứ giác nội tiếp  (cùng chắn cung MI) mà (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O)  mặt khác (chứng minh trên)  MBI  ABE (g.g)  C M A D Q O E K O' H I B N  MI.BE = BI.AE Gọi Q giao điểm CO DE  OC  DE Q   OCD vng D có DQ đường cao  OQ.OC = OD2 = R2 (1) Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm AB OO'  OO'  AB H Xét KQO CHO có chung  KQO CHO (g.g)  Từ (1) (2) Vì OH cố định R không đổi  OK không đổi  K cố định Kết đạt Năm TS Giỏi Khá T.Bình 24/27 Yếu download by : skknchat@gmail.com Kém học 20152016 20162017 HS SL % SL % SL % SL % SL % 26 34.6 10 38.5 19.2 7.7 0 26 15 57.7 26.9 11.5 3.8 0 PHẦN C KẾT LUẬN, KHUYẾN NGHỊ Kết luận 25/27 download by : skknchat@gmail.com Sau dạy cho hai nhóm đối tượng học sinh ôn thi vào lớp 10 bồi dưỡng học sinh giỏi cấp quận, cấp thành phố nhận thấy: - Học sinh có cách nhìn tổng qt đứng trước tốn hình học, có kĩ phân tích kiện để vận dụng linh hoạt kiến thức học vào giải toán - Được rèn kĩ tốt, theo mức độ nhận thức khác em nắm kiến thức bước đầu biết suy luận tình giải vấn đề Qua số năm đưa đề tài vào giảng dạy tùy theo mức độ nhận thức đối tượng học sinh thấy đề tài đem lại hiệu tốt cho em đứng trước ki thi, từ đánh thức niềm đam mê, tìm tịi toán học em, định hướng cho em tính tự học hiệu Các em nắm tốt kết bản, đặc biệt từ em hào hứng việc tự nghiên cứu để đặt thêm câu hỏi có liên quan Khuyến nghị Do để tạo điều kiện cho việc dạy - học thầy trò thuận lợi, thân người đứng lớp dạy môn Toán cần kiến nghị số vấn đề sau: * Về phía nhà trường: - Thường xuyên quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện cho giáo viên học sinh thực nội dung môn học - Trang bị thêm số trang thiết bị tài liệu tham khảo để phục vụ cho việc giảng dạy mơn để đạt hiệu cao * Về phía Phòng Giáo dục: - Tổ chức nhiều đợt tập huấn, chun đề mơn để giáo viên Tốn có điều kiện giao lưu, trao đổi kinh nghiệm phương pháp giảng dạy Tuy nhiên ý kiến mang tính chất cá nhân Bởi tơi mong đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp để thân có nhiều phương pháp giảng dạy có kết cao Tơi xin cam kết nội dung sáng kiến thân nghiên cứu đúc rút q trình học tập chun mơn thực tế giảng dạy, không chép hay vi phạm quyền tác giả hay nhà nghiên cứu Nếu sai xin chịu hồn tồn trách nhiệm Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 04 năm 2017 TÀI LIỆU THAM KHẢO STT Tên tài liệu Tác giả 26/27 download by : skknchat@gmail.com Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) Tơn thân (Chủ biên) SGK Tốn Và nhóm tác giả Tơn Thân (Chủ biên) Bài tập Tốn Và nhóm tác giả Toán nâng cao chuyên đề Vũ Dương Thụy (Chủ biên) Toán Nguyễn Ngọc Đạm Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán Bùi Văn Tuyên Nâng cao phát triển Toán (2 tập) Vũ Hữu Bình Tài liệu chun Tốn trung học sở Vũ Hữu Bình (chủ biên) Tốn (2 tập) Nguyễn Tam Sơn Nguyễn Vĩnh Cận Toán nâng cao hình học Lê Khắc Bảo Vũ Thế Hựu Hình học cho tuổi trẻ Tập 4: Các chuyên đề đường trịn 27/27 Vũ Hữu Bình download by : skknchat@gmail.com ... kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với đường tròn. .. ngồi đường trịn Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A B tiếp điểm) Gọi D điểm di động cung lớn AB (D khơng trùng với A, B điểm cung) C giao điểm thứ hai đường thẳng MD với đường tròn. .. 1: Cho điểm A nằm bên ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi M trung điểm AB Đường thẳng MC cắt đường tròn (O) N (N khác C) Tia AN cắt đường tròn