Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng

PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒNVÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Phần 1: TÓM TẮT --- Các bài toán hình học phẳng có liên quan đến đường tròn là những bài toán hay và thường xuất hiện tro

PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Phần 1: TÓM TẮT

-

Các bài toán hình học phẳng có liên quan đến đường tròn là những bài toán hay và thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi hoặc đề thi tuyển sinh Đại học Một khái niệm rất quan trọng và có nhiều ứng dụng liên quan đến đường tròn đó là phương tích của một điểm đối với đường tròn Đây là một khái niệm không khó nắm bắt, nhưng những ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán hình học phẳng là rất phong phú Nhiều bài toán phức tạp có thể được giải quyết gọn gàng nhờ sử dụng các tính chất có liên quan đến phương tích Bài viết nêu lên một số ứng dụng của phương tích trong việc giải một số bài toán hình học phẳng Nội dung của bài viết này được chia làm 3 phần, đầu tiên là tóm tắt lại lý thuyết

cơ bản về phương tích, phần thứ hai là một số bài toán áp dụng, được chia làm bốn loại, đó là các bài toán định lượng, định tính, dựng hình và biểu thức tọa độ Phần cuối là một số bài tập vận dụng khác

Phần 2 NỘI DUNG

A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa:

Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M Phương tích của điểm M đối

với đường tròn (O), ký hiệu là SM O/( ), được xác định như sau:

2 2 /( )

Định lý 1 Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M Một đường thẳng d thay đổi đi

qua M và cắt (O) tại hai điểm A, B Khi đó SM O/( ) =MA MB×

Hệ quả 1 Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M nằm ngoài (O) Từ M kẻ tiếp tuyến

MT đến (O) (M là tiếp điểm) Khi đó SM O/( ) =OM2−R2 =MT2

Hệ quả 2 Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm

M d d lần lượt là hai đường thẳng bất kỳ qua M và 1, 2

cắt (O) lần lượt ở A, B và C, D Khi đó

MA MB MC MD× = × .

Ngược lại, cho d d lần lượt là hai đường thẳng bất 1, 2

kỳ qua M A, B là hai điểm trên d và C, D là hai điểm 1

trên d Khi đó, nếu MA MB MC MD2 × = × thì bốn điểm

A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

2 Trục đẳng phương của hai đường tròn

Cho hai đường tròn ( )O và 1 ( )O không cùng tâm Lúc đó quỹ tích các điểm có cùng 2

phương tích đối với hai đường tròn trên là một đường thẳng vuông góc với đường nối tâm

1 2

O O Đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương của ( )O và 1 ( )O 2

Chú ý:

• Nếu hai đường tròn ( )O và 1 ( )O cắt nhau tại hai 2

điểm A, B Lúc đó A, B đều có cùng phương tích

bằng 0 đối với cả hai đường tròn ( )O và 1 ( )O 2

Do đó trục đẳng phương của ( )O và 1 ( )O chính 2

là đường thẳng AB.

• Nếu hai đường tròn ( )O và 1 ( )O tiếp xúc với 2

nhau tại điểm T Lúc đó T có cùng phương tích

bằng 0 đối với ( )O và 1 ( )O Do đó trục đẳng 2

phương của ( )O và 1 ( )O là đường thẳng qua T và 2

vuông góc với O O và đó chính là tiếp tuyến 1 2

chung của ( )O và 1 ( )O tại điểm T.2

3 Tâm đẳng phương của ba đường tròn

Cho ba đường tròn ( ),( ),( )O1 O2 O có các tâm 3

1, 2, 3

O O O không cùng thuộc một đường thẳng Gọi

1, ,2 3

d d d lần lượt là các trục đẳng phương của ( )O 2

và ( )O ,của 3 ( )O và 3 ( )O , của 1 ( )O và 1 ( )O Khi đó 2

ba đường thẳng d d d đồng quy tại một điểm K 1, ,2 3

K là điểm duy nhất có cùng phương tích đối với cả ba

đường tròn ( ),( ),( )O1 O2 O và được gọi là tâm đẳng 3

phương của ba đường tròn này.

4 Phương trình đường tròn và biểu thức tọa độ của phương tích

a) Phương trình đường tròn

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I x y bán kính R Khi ( 0; 0)

đó điểm M x y thuộc đường tròn ( ; ) (C) khi và chỉ khi IM =R, tức là:

(x x− ) + −(y y ) =R (1)Phương trình (1) có thể được viết lại là:

x +y − x x− y y x+ +y −R =

Phương trình (1) hoặc (2) đều được gọi là phương trình của đường tròn (C) đã cho

Ngược lại, cho phương trình: x2 +y2+2ax+2by c+ =0 (*) Khi đó có ba trường hợp sau xảy ra:

( )x y thỏa phương trình (*).;

• Nếu 2 2

0

a + − =b c thì có duy nhất điểm I(− −a b; ) có tọa độ thỏa (*).

• Nếu a2+ − >b2 c 0 thì (*) là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(− −a b; ) và bán

R= a + −b c

b) Biểu thức tọa độ của phương tích

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình

M C = f x y = x + y +ax + by +c

S

Từ đó ta có:

• Điểm M x y nằm trên đường tròn ( ; )0 0 (C) khi và chỉ khi f x y( ; ) 0.0 0 =

• Điểm M x y nằm ngoài đường tròn ( ; )0 0 (C) khi và chỉ khi f x y( ; ) 0.0 0 >

• Điểm M x y nằm trong đường tròn ( ; )0 0 (C) khi và chỉ khi f x y( ; ) 0.0 0 <

Cho hai đường tròn (C )1 và (C )2 không cùng tâm, có phương trình lần lượt là:

(2a −2 )a x+(2b −2 )b y c+ − =c 0

c) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆ Khi đó:

• (C) và ∆ không có điểm chung khi và chỉ khi ( , )d I ∆ >R

• (C) tiếp xúc với ∆ khi và chỉ khi ( , )d I ∆ =R

• (C) cắt ∆ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi ( , )d I ∆ <R

d) Vị trí tương đối giữa hai đường tròn

Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (C )1 và (C )2 không cùng tâm Gọi ∆ là trục đẳng phương của chúng Khi đó vị trí tương đối giữa (C )1 và (C )2 chính là vị trí tương đối giữa một trong hai đường tròn (C )1 (hoặc (C )2 ) với ∆

B Các ví dụ

1 Một số bài toán định lượng

Mục này được dành để trình bày một số bài toán mang tính định tính như tính phương tích của một số điểm đặc biệt trong tam giác đối với đường tròn ngoại tiếp tam giác và một số bài toán tính toán khác có sử dụng phương tích của một điểm đối với đường tròn Một số ví dụ

dưới đây có sử dụng một tính chất quen thuộc của tích vô hướng là

Ví dụ 1 (Phương tích của trọng tâm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) O Tính phương tích của trọng tâm G đối với ( ) O theo các cạnh BC a CA b AB c= , = , =

2 2(cos 2 cos 2 cos 2 ) 8 cos cos cos

Chú ý: Từ kết quả trên ta suy ra một công thức tính OH là: OH2 =R2(1 8cos cos cos ).− A B C

Ví dụ 3 (Phương tích của tâm đường tròn nội tiếp đối với đường tròn ngoại tiếp)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O R và ngoại tiếp đường tròn ( ; ).; ) I r Hãy tính phương tích của I đối với đường tròn ( )O

Giải:

aOA bOB cOC

+ +

uuur uuur uuur

Chú ý: Lời giải bài toán trên cho ta hệ thức Euler là: OI2 =R2−2 Rr

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c= , = , = Xét đường tròn ( ) I sao cho

A I +a = B I +b = C I + =c

a) Chứng minh rằng I là trực tâm của tam giác ABC.

b) Gọi R và ' R lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đường tròn ( ) I Chứng minh rằng ' 2 R = R

c) Gọi M là trung điểm BC Tính SM I/( )

Từ (1) và (2) suy ra CA2−CB2 =IA2−IB2 và do đó CI ⊥ AB Lập luận tương tự ta

cũng có BI ⊥ AC và AI ⊥BC Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.

b) Gọi M là trung điểm BC, do I là trực tâm của tam giác ABC nên:

Ví dụ 6 Cho nửa đường tròn đường kính AB và hai điểm M, N thay đổi trên đó Gọi I là giao

điểm của AM và BN Ký hiệu ( )O , 1 ( )O là đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMP và ANP 2

Chứng minh rằng SA O/( 1)+SA O/( 2) không đổi.

Vậy SA O/( 1 )+SA O/( 2 ) không đổi

Ví dụ 7 Cho hai đường tròn ( )O , 1 ( )O có tâm 2 O1 ≠O2 và M là một điểm tùy ý Ký hiệu d là

trục đẳng phương của ( )O và 1 ( )O , H là hình chiếu vuông góc của M trên d Chứng minh 2

rằng SM O/( 1)−SM O/( 2) = −2O O MH1 2 . Từ đây suy ra /( 1 ) /( 2 )

1 2

2

M O M O MH

O O

−

Giải:

BE BF =BD BC Do đó tứ giác DECF nội tiếp một

đường tròn (T) Tâm của đường tròn (T) nằm trên các

đường trung trực của ED và CF nên I chính là tâm

của (T) Mà I thuộc CD nên I là trung điểm CD Từ

Ví dụ 9 (IMO Shortlist 2011) Cho A A A A không phải là tứ giác nội tiếp Gọi 1 2 3 4 O và 1 r lần 1

lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác A A A Định nghĩa 2 3 4 O O O và 2, 3, 4

Trong các Ví dụ 1, Ví dụ 2 và Ví dụ 3 dưới đây, ta sẽ sử dụng phương tích để chứng minh

số điểm nằm trên đường tròn Một kết quả thường sử dụng để làm việc này là Hệ quả 2

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD ( AB CD≠ ) nội tiếp (O) Dựng hai hình thoi AEDF và BMCN có

cạnh bằng nhau Chứng minh rằng bốn điểm EFMN cùng thuộc một đường tròn.

Ví dụ 2 (IMO Shortlist 1995) Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba

cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F X là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho đường

tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với XB, XC, BC lần lượt tại Z, Y, D Chứng minh rằng tứ giác EFZY nội tiếp.

− Từ đây suy ra I I≡ '. Do BC là trục đẳng phương của đường tròn nội tiếp

tam giác ABC và đường tròn nội tiếp tam giác XBC do đó IE IF IZ IY= suy ra EFZY là tứ

giác nội tiếp

Ví dụ 3 (IMO 2008) Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M M M lần lượt là các 1, 2, 3

trung điểm của BC, CA, AB Đường tròn tâm M bán kính 1 M H cắt BC tại 1 A A đường 1, ;2

tròn tâm M bán kính 2 M H cắt CA tại 2 B B đường tròn tâm 1, ;2 M bán kính 3 M H cắt AB tại 3

1, 2

C C Chứng minh rằng A A B B C C cùng thuộc một đường tròn.1, , , , ,2 1 2 1 2

Giải:

Do M M1 2//AB và AB CH⊥ nên M M1 2 ⊥CH Mà H là một điểm chung của đường tròn

( )M và đường tròn 1 ( )M nên CH là trục đẳng phương của hai đường tròn 2 ( )M và 1 ( )M 2

Suy ra CA CA1 2 =CB CB1 2 và do đó A A B B cùng thuộc đường tròn 1, , ,2 1 2 ( )T1

Tương tự A A C C cùng thuộc đường tròn 1, , ,2 1 2 ( )T và 2

Nếu cả ba đường tròn này phân biệt thì các trục đẳng

phương của ( )T và 1 ( )T là BC, trục đẳng phương của 2

( )T và 2 ( )T là AB và trục đẳng phương của 3 ( )T và 1 ( )T 3

là AC phải đồng quy nhưng chúng lại cắt nhau tại A, B, C

nên vô lý Vậy A A B B C C cùng thuộc một đường 1, , , , ,2 1 2 1 2

C

Gọi M là trung điểm của AB, H là điểm đối xứng với D qua M thì H là điểm cố định và BH = AD Vì

1,0

2

AD kAB= < <k nên D thuộc đoạn

AM, H thuộc đoạn MB, M thuộc đoạn EF.

Ta có ME MF =MD MB MH MA = do

đó tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác AEF nằm trên đường thẳng d là đường trung trực của AH.

Đảo lại, với điểm I bất kỳ trên đường trung trực của AH, gọi E và F là các giao điểm của đường tròn tâm I bán kính IA với đường tròn đường kính BD Gọi M là giao điểm của EF và

AB Khi đó ME MF =MH MA MD MB = , suy ra MH MB MB MH BH 1

MD MA MA MD AD

−

là trung điểm của HD và do đó cũng là trung điểm của AB.

Nếu ∆ đi qua M và cắt đường tròn đường kính BD tại E,F thì quỹ tích là một điểm I, chính

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Nếu ∆ không đi qua M Khi đó qua M vẽ đường thẳng song song với ∆ cắt đường tròn

đường kính DB tại E,F thì tâm I’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không thuộc quỹ

tích

Nếu I ≠ I ':

Gọi C là điểm giao của ∆ và đường thẳng EF và không trùng với M Khi đó ta có tam giác ABC mà đường trung tuyến qua C cắt đường tròn đường kính BD tại hai điểm E, F và tam giác AEF có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm I.

Lúc này quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF khi C thay đổi là đường trung trực của đoạn thẳng AH loại trừ I’.

Một ứng dụng tiếp theo của phương tích là chứng minh ba đường thẳng đồng quy Theo cách này, chúng ta thường chỉ ra ba đường thẳng đã cho là ba trục đẳng phương của từng cặp đường tròn lấy trong ba đường tròn nào đó Lúc đó theo tính chất về tâm đẳng phương thì ba đường thẳng này đồng quy Các Ví dụ 5, 6, 7 dưới đây minh họa điều này

Ví dụ 5 Cho nửa đường tròn đường kính AB và điểm C nằm trên đó sao cho C không phải là

trung điểm của cung nửa đường tròn này Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB Đường tròn đường kính CH cắt CA tại E, CB tại F và đường tròn đường kính AB tại D Chứng minh rằng CD, EF, AB đồng quy.

Ta có ·EAB=90o−ECH· , ·EFC =90o−CEF· Vì CEHF là hình chữ nhật nên · ECH =CEF· Suy ra ·EAB EFC= · và do đó tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn (T).

Ta có CD là trục đẳng phương của đường

tròn đường kính CH và đường tròn đường kính

AB; EF là trục đẳng phương của đường tròn (T)

và đường tròn đường kính CH và AB là trục

đẳng phương của đường tròn đường kính AB với

đường tròn (T) Từ đó theo tính chất của tâm

đẳng phương, ta có AB, CD, EF đồng quy.

Chú ý: Cũng có thể chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp bằng cách chỉ ra rằng

2

CE CA CF CB CH= =

Ví dụ 6 (USA MO 1997) Cho tam giác ABC Bên ngoài tam giác này vẽ các tam giác cân

BCD, CAE, ABF có các cạnh đáy tương ứng là BC, CA, AB Chứng minh rằng ba đường thẳng vuông góc kẻ từ A, B, C xuống EF, FD, DE đồng quy.

Giải:

Ký hiệu d d d lần lượt là các đường thẳng 1, ,2 3

vuông góc kẻ từ A, B, C xuống EF, FD, DE

Khi đó d là trục đẳng phương của đường tròn 1

(E EA và đường tròn ; ) (F EA ; ; ) d là trục 2

đẳng phương của đường tròn (F EA và ; )

đường tròn (D DB ;; ) d là trục đẳng phương 3

của đường tròn (D DB và đường tròn ; )

(E EA Theo tính chất của tâm đẳng phương ; )

thì ba đường thẳng này đồng quy

Chú ý: Bài toán này cũng có thể được giải rất nhanh gọn bằng cách sử dụng Định lý Carnot

như sau: “Cho tam giác ABC và các điểm , , M N P Gọi ∆ ∆ ∆A, B, C lần lượt là các đường thẳng qua , , M N P và vuông góc với BC CA AB Khi đó , , ∆ ∆ ∆A, B, C đồng quy khi và chỉ khi

(MB −MC ) (+ NC −NA ) (+ PA −PB ) 0.= ”

Ví dụ 7 (IMO 1995) Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A,B,C,D (theo thứ tự đó) Đường tròn

đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y Đường thẳng XY cắt BC tại Z Lấy P là điểm trên XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là M và BD cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ hai là N Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng quy.

Giải:

Vậy tứ giác ADNM nội tiếp đường tròn (T).

Ta có AM là trục đẳng phương của đường tròn

đường kính AC và đường tròn (T); DN là trục

đẳng phương của đường tròn đường kính BD và

đường tròn (T); XY là trục đẳng phương của

đường tròn đường kính AC và đường tròn đường

kính BD Vậy theo tính chất về tâm đẳng phương,

suy ra AM, DN và XY đồng quy.

Ví dụ 8 (Iran MO 2001) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ( ),( ) I I lần lượt là các a đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A Giả sử II cắt BC và (O) lần lượt tại ' a A và M Gọi N

là trung điểm cung ¼ MBA của (O) NI NI cắt (O) lần lượt tại S và T Chứng minh rằng ba , a

đẳng phương của ( )O và (C )1 Theo tính chất về

tâm đẳng phương thì II , BC, TS đồng quy tại ' a A

Vậy ba điểm , , 'S T A thẳng hàng.

Ví dụ 9 Cho đường tròn (O;R) và hai điểm P, Q cố định (P nằm ngoài (O) và Q nằm trong

(O)) Dây cung AB của (O) luôn đi qua Q; PA, PB lần lượt cắt (O) lần thứ hai tại D, C Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định.

Giải:

Dự đoán điểm cố định là giao điểm I của PQ và CD.

Gọi K là giao điểm thứ hai của PQ với đường tròn ngoại tiếp

tam giác PAB Khi đó vì · PDC=PBA PKA· =·

chứng minh tứ giác IADK nội tiếp.

Ta có QO2−R2 =QA QB QP QK = , mà P và Q cố định nên

PQ không đổi suy ra QK không đổi do đó K cố định.

Do tứ giác IADK nội tiếp nên PO2−R2 =PA PD PI PK = ,

mà P và K cố định nên PK không đổi suy ra PI không đổi

do đó I cố định.

Vậy CD luôn đi qua điêm I cố định.

Ví dụ 10 Trên đường tròn (O) cho ba điểm A, B, C cố định sao cho tam giác ABC cân tại A

M là một điểm di động trên cung »BC không chứa A của (O) sao cho AM không đi qua O Đường tròn (T) có tâm A bán kính AB cắt tia MC tại D, đường thẳng AD cắt (O) tại E khác với A Gọi H là hình chiếu của D trên AC.

a) Chứng minh rằng · BDH MEC=· .

b) Gọi I là trung điểm AD, d là đường thẳng qua A và vuông góc với IO, 1 d là đường thẳng 2qua D và vuông góc với AI Giả sử rằng d và 1 d cắt nhau tại K Chứng minh rằng K luôn 2nằm trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi.

Giải:

a) Ta có MA là phân giác của góc ·BMC Gọi

D’ là điểm đối xứng với B qua MA, khi đó D’

thuộc tia MC Vì AD'= AB nên D’ nằm trên

đường tròn (T) tâm A bán kính AB và do đó D’

là một giao điểm (khác C) của (T) và MC Mà

D là giao điểm của CM và (T) do đó D D≡ '

Vậy BD⊥AM

Gọi N BD AM= ∩ , ta có tứ giác ANDH nội

tiếp đường tròn đường kính AD.

Xét tam giác NDH và tam giác MEC, ta có:

NHD NAD MCE= = (1)

HND HAD CME= = (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác NDH đồng dạng

với tam giác MEC và do đó · BDH MEC=· .

b) Ta có d là trục đẳng phương của đường tròn (I,IA) và (O); 1 d là trục đẳng phương của 2

đường tròn (I,IA) và (T); BC là trục đẳng phương của (O) và (T) Theo tính chất về tâm đẳng

phương thì d d và BC đồng quy Do đó giao điểm K của 1, 2 d d thuộc đường thẳng BC cố 1, 2

định