PHƯƠNG TÍCH TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

Có rất nhiều cách, có nhiều định lý, nhiều kiến thức để học sinh có thể xử lý các yêu cầu của bài toán như: Phép biến hình; hàng điểm điều hòa; định lýCeva, Menelauyt; các tính chất của

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TÍCH - TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

A.PHẦN MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

Hình học phẳng là một chuyên đề tương đối quan trọng của chương trình

THPT chuyên Toán Trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Thi Olympic Toán Quốc tế và khu vực, các bài toán về hình học phẳng luôn luôn xuất hiện một bài hoặc thậm chí hai bài Có rất nhiều cách, có nhiều định lý, nhiều kiến thức để học sinh có thể xử lý các yêu cầu của bài toán như: Phép biến hình; hàng điểm điều hòa; định lýCeva, Menelauyt; các tính chất của đường thẳng Simson, Steiner…Tuy nhiên, trong nhiều năm trở lại đây , các bài toán hình học thi VMO thường xoay quanh các vấn đề về: Phương tích, trục đẳng phương; hàng điểm điều hòa hay các dạng biến đổi góc cơ bản

Bên cạnh đó ta thấy, kiến thức về Phương tích và trục đẳng phương là một vấn đề quen thuộc trong hình học phẳng, học sinh được tiếp cận trong chương trình sách giáo khoa THPT Chuyên Toán 10 Lý thuyết, các tính chất về phần này tương đối đơn giản, dễ hiểu nhưng lại có nhiều ứng dụng trong các bài toán: Chứng minh sự đồng quy; ba điểm thẳng hàng; điểm cố định hoặc tính toán một

số đại lượng trong tam giác và trong đường tròn…Sử dụng phương tích và trục đẳng phương thường cho ta lời giải gọn gàng, dễ hiểu; tránh được một số bước

vẽ hình phức tạp Tuy nhiên, làm thế nào để học sinh phát hiện và vận dụng kiến thức về Phương tích - Trục đẳng phương vào trong các dạng toán chứng minh trên? Nếu dùng Trục đẳng phương thay một số kiến thức khác thì sẽ thu được điều gì? Giải quyết xong một bài toán, ta có thể dùng kiến thức đó để làm các bài toán mở rộng khác được không? Đó là những câu hỏi đặt ra và cần tìm hướng giải quyết Sự đơn giản về kiến thức nhưng đem lại những ứng dụng hay

đã hấp dẫn được nhiều học sinh và giáo viên khi học, giảng dạy về chuyên đề hình phẳng sử dụng tính chất trục đẳng phương, tâm đẳng phương Từ những điều thú vị, hấp dẫn và một số câu hỏi đặt ra ở trên chúng tôi đã chọn đề tài “

Phương tích- Trục đẳng phương” làm chuyên đề hội thảo năm 2015-2016

2.Mục đích của đề tài

Việc sử dụng kiến thức về phương tích - trục đẳng phương trong hình học

phẳng được khai thác dưới nhiều khía cạnh khác nhau, tùy theo yêu cầu của mỗi bài toán Tuy nhiên, nhằm khai thác thế mạnh của kiến thức này, đề tài “

Phương tích - Trục đẳng phương” tập trung vào một vài ứng dụng chính mà

tần số các câu hỏi dạng đó xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi tương đối cao

Đó là: Chứng minh thẳng hàng; sự đồng quy; điểm cố định; quỹ tích điểm và

một số bài toán khác Nội dung đề tài là một số kinh nghiệm của chúng tôi khi

giảng dạy chuyên đề này và được tham khảo qua một số đồng nghiệp các trường Chuyên khác Với hi vọng giới thiệu, đem đến cho các thầy cô và các học sinh những ứng dụng thú vị của phương tích, trục đẳng phương; chúng tôi đã trình bày những phát triển , mở rộng từ các đề thi IMO, VMO và vô địch các nước Bên cạnh đó, chúng tôi rất mong nhận được các góp ý của các đồng nghiệp và học sinh để chuyên đề hoàn thiện hơn

B PHẦN NỘI DUNG

I.Tóm tắt lý thuyết

1 Phương tích của một điểm đối với đường tròn

1.1.Bài toán: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d Một đường

thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B Khi đó

MA MB MA MB=uuur uuur= MO OC MO OAuuuur uuur uuuur uuur+ + = MOuuuur −OAuuur =d −R

1.2.Định nghĩa Giá trị không đổi MA MB d = 2 −R2trong bài toán trên được gọi

là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu PM/(O)

Và PM O/( ) = MA MB d = 2 −R2

1.3.Định lý 1.1 Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P và

Chứng minh: Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD tại D’ Khi đó

ta có theo định lý 1.1 ta cóPA PB PC PD = ' , suy ra PC PD PC PD = ' ⇒ ≡ D D'.

Suy ra 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

1.4.Nhận xét:

a Có các cách khai triển phương tích như sau

+)Khai triển theo cát tuyến: Cho hai cát tuyến MAB, MCD của đường tròn

+)Khai triển theo tam giác: Cho hai dây cung AB, CD của đường tròn

(O)cắt nhau tại điểm M Khi đó 2 2

+) Khi M nằm trên (O) thì PM O/( ) =0

b Nếu A, B cố định và AB AM. là số không đổi, do đó M cố định Khai thác tính chất này giúp ta giải các bài toán về đường thẳng đi qua điểm cố định

2 Trục đẳng phương của hai đường tròn - Chùm đường tròn

2.1 Định lý 2.1 Cho hai đường tròn không đồng tâm (O R1 ; ) 1 và (O R2 ; 2 ) Tập

hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường

thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1 )

và( ).O2

Chứng minh:

Giả sử điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn đã cho.

Gọi H là hình chiếu của M trên O 1 O 2 , I là trung điểm của O 1 O 2 Ta có:

Do H cố định, nên tập hợp các điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn là đường thẳng qua H và vuông góc với O 1 O 2

2.2.Các hệ quả: Cho hai đường tròn (O) và (I) Khi đó

1.Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối

tâm

2.Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương

của chúng

3.Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O) và (I) thì đường thẳng qua

M vuông góc với OI là trục đẳng phương của hai đường tròn.

4.Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường

thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.

5.Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó

thẳng hàng

6.Nếu (O) và (I) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với

OI chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.

2.3.Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn

Trong mặt phẳng cho hai đường tròn ( )O1 và ( )O2 Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó

đường thẳng AB chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.

Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T Khi đó tiếp tuyến chung tại

T chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.

Trường hợp 3: Hai đường tròn không có điểm chung Dựng đường tròn (O3)

cắt cả hai đường tròn ( O O O1 , 2 , 3 không thẳng hàng) Trục đẳng phương của các

cặp đường tròn ( ) à ( );O v O1 3 ( ) à ( )O v O2 3 cắt nhau tại K Đường thẳng qua K

vuông góc với O O1 2 là trục đẳng phương của ( ),( ).O1 O2

3.1 Định lý 3.1 Cho 3 đường tròn ( ),( ),( )O1 O2 O3 sao cho O O O1 , 2 , 3 không thẳng

hàng Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn trùng nhau hoặc song

song hoặc cùng đi qua một điểm, điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn

Chứng minh: Gọi d ij là trục đẳng phương của hai đường tròn (O )ij và (O )ji Ta xét hai trường hợp sau

a) Giả sử có một cặp đường thẳng song song, không mất tính tổng quát ta

Từ đây suy ra nếu có hai đường thẳng trùng nhau thì đó cũng là trục đẳng phương của cặp đường tròn còn lại

Nếu hai trục đẳng phương chỉ cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cũng thuộc trục đẳng phương còn lại

II Ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương

II.1.Ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương trong chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy, chứng minh một đường đi qua điểm cố định.

Có nhiều cách để chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc ba đường thẳng

đồng quy Tuy nhiên trong một số bài toán mà giả thiết có sự xuất hiện của nhiều đường tròn thì việc liên hệ đến trục đẳng phương là có thể

1.1.Giả sử cần chứng minh A, B, C thẳng hàng bằng cách sử dụng trục đẳng

phương ta cần xây dựng mô hình bài toán như sau: Hai đường tròn (C 1 ), (C 2 ) có

trục đẳng phương là đường thẳng d Ta đi chứng minh PA C/( ) 1 = PA/(C ) 2 ;

B/(C) = B/(C )

P P ;P C/(C1 ) = P C/(C ) 2 Khi đó A, B, C cùng thuộc đường thẳng d.

1.2.Giả sử cần chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy bằng cách sử

dụng tâm đẳng phương ta cần xây dựng các đường tròn (C ), (I), (T) từng cặp nhận a, b, c làm trục đẳng phương và a, b cắt nhau tại K khi đó K là tâm đẳng phương của ba đường tròn Do đó c đi qua điểm K.

1.3 Giả sử cần chứng minh một đường thẳng c đi qua điểm cố định M ta

xây dựng mô hình bài toán theo các hướng sau:

1.3.1.Ba đường thẳng a,b, c là trục đẳng phương của ba cặp đường tròn

trong đó a, b cố định cắt nhau tại M, suy ra c qua M.

1.3.2.Nếu A, B cố định và AB AM. là số không đổi, do đó M cố định Khai

thác tính chất này giúp ta giải các bài toán về đường thẳng đi qua điểm cố định

1.4 Giả sử cần chứng minh một đường tròn (C) đi qua điểm cố định D ta

xây dựng mô hình bài toán:Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P ,

đường tròn (ABC) thay đổi và PA PB PC PD = thì 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc

một đường tròn

Một số bài minh họa

Bài 1 (VMO- 2015) Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên (O),

BC không là đường kính Một điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC

nhọn Gọi E, F là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC Cho (I) là đường tròn thay đổi đi qua E, F , I là tâm.

a Giả sử (I) tiếp xúc với B C tại điểm D Chứng minh rằng cot .

PQ) Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc MTN luôn đi qua

O A

b.Trường hợp tam giác ABC cân tại A , bài toán đúng

Xét trường hợp tam giác không cân tại A , không mất tính tổng quát, giả sử

.

AB< AC Gọi G là giao điểm của EF BC; Xét các đường tròn (BHC), (I) và đường tròn đường kính BC

Ta thấy: +)Trục đẳng phương của (BHC), (I) là PQ.

+)Trục đẳng phương của (I) và đường tròn đường kính BC là E F.

+)Trục đẳng phương của (BHC) và đường tròn đường kính BC là BC.

Do đó PQ, E F, BC đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn Ta có

GT =GP GQ GM GN= nên đường tròn (TMN) tiếp xúc với đường tròn ( )O tại T

Do đó, ta có GTM· =GNT· (cùng chắn TM¼ của đường tròn (K))

Mặt khác, theo tính chất góc ngoài của tam giác NCT thì GNT· = ·NTC NCT+ · .

Hơn nữa, do GT tiếp xúc với (O) nên GTB GCT· = · . Khi đó thu được BTM· =CTN· .

Từ đây dễ thấy phân giác của hai góc MTN BTC· ;· trùng nhau hay phân giác góc

·MTN đi qua trung điểm J của »BC không chứa A và J là điểm cố định Vậy ta có điều phải chứng minh

Nhận xét:

1.Trong bài toán này xuất hiện khá nhiều đường tròn, trong đó có đường tròn

thay đổi Do đó với yêu cầu chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định việc nghĩ đến tâm đẳng phương là điều dễ hiểu Tuy nhiên ta có thể giải bài toán này

mà không cần sự có mặt điểm E, F.Xét trục đẳng phương của ba đường tròn

(BHC), (O),(TPQ) thì sẽ có tiếp tuyến tại T đi qua giao điểm của BC PQ, và ta thu được kết quả bài toán

2.Vấn đề EF cũng đi qua G sẽ đưa ra bài toán khác để khai thác và mở rộng

Bài 2 (Phát triển VMO 2015).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O Một đường tròn ( )I bất kì đi qua B, C và ( )J là đường tròn khác thay đổi cắt BC tại

M, N; và cắt ( )I tại P, Q Đường tròn đi qua P, Q và tiếp xúc với đường tròn

( )O tại T nằm cùng phía với A so với BC Chứng minh rằng phân giác ·MTN

luôn đi qua trung điểm cung BC không chứa A

(Nguyễn Văn Linh)

Lời giải:

Trước hết xét bổ đề về hai đường đẳng giác của một tam giác

Bổ đề: Cho tam giác BCT, TM, TN là hai đường đẳng giác góc BTC

MTN luôn đi qua trung điểm cung BC không chứa A.

Bài 3 (Đề thi Olympic Duyên hải và Đồng bằng Bắc bộ lớp 12 năm 2015)

Cho hai đường tròn ( ),( )O1 O2 cắt nhau tại hai điểm A B XA, , AY theo thứ tự là hai đường kính của hai đường tròn đó.I là một điểm thuộc phân giác trong ·XAY

sao cho I không thuộc hai đường tròn và OI không vuông góc XY O, là trung điểm của XY. Đường thẳng qua A vuông góc AI cắt ( ), ( )O1 O2 lần lượt tại

Ta cần chứng minh hai tứ giác DLKC ELKF, nội tiếp

+) Chứng minh tứ giác DLKC nội tiếp

Gọi U = AI∩ ( )O1 ⇒OUA O AU UAY·1 =·1 = · ⇒OU1 / /AY⇒ ∈O OU1

Vì OE tiếp xúc (CEK) nên ·KCE KEU=· =KAU· =KAI· =KLI· ( do tứ giác ALIK nội tiếp có hai góc đối vuông)

Từ đó suy ra tứ giác DLKC nội tiếp.

+)Chứng minh tứ giác ELKF nội tiếp

Ta có ·FLK =FLI KLI· −· =FLY KEU FEK· −· ;· =FEO KEU· −· .

Mặt khác ·FEO FLI=· ⇒FLK· =FEK· ⇒ELKF nội tiếp

Gọi J =EK∩FL do ELKF nội tiếp nên JE JK =JL.JF ⇒ PJ CEK/( ) = PJ DFL/( )

Vậy J nằm trên trục đẳng phương của (CEK),(DFL).

Tương tự do DLKC nội tiếp nên I nằm trên trục đẳng phương của (CEK),(DFL)

Ta có ba điểm O I J, , cùng nằm trên trục đẳng phương của (CEK),(DFL) nên chúng thẳng hàng

Bài 4 (VMO- 2014).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O),B, C cố định và

A thay đổi trên (O) Trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho

tại P P( ≠ A). Đường thẳng MNcắt đường thẳng BC tại Q

a Chứng minh ba điểm A P Q, , thẳng hàng

b Gọi D là trung điểm BC Các đường tròn có tâm là M N, và cùng đi qua

A cắt nhau tại K K( ≠ A). Đường thẳng qua A vuông góc với AK cắt BC

tại E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt ( )O tại F F( ≠ A). Chứng

minh đường thẳng A F đi qua một điểm cố định

Lời giải:

a.Không mất tính tổng quát , giả sử AB≤ AC , các trường hợp còn lại hoàn toàn tương tự Khi đó, M nằm ngoài đoạn AB N; nằm trong đoạn AC. Do

BMCN nội tiếp và ta được

QM QN QB QC =

Suy ra Q có cùng phương tích đối với hai đường tròn ( ), (O AMN) Do đó Q

thuộc trục đẳng phương AP của hai đường tròn này Vậy A P Q, , thẳng hàng

b.Ta thấy (ODC),(O) tiếp xúc với nhau tại C nên trục đẳng phương của hai đường này chính là tiếp tuyến d của (O) tại C. Ta chứng minh O∈ (ADE).

Thật vậy, O M, cùng nằm trên đường trung trực của AC→OM ⊥AC. Tương tự

ON ⊥ AB⇒O là trực tâm tam giác AMN. Suy ra AO⊥MN.

Xét hai đường tròn ( ,M MA N NA);( , ) ta có AK ⊥MN →A O K, , thẳng hàng nên

· 90 0

OAE= Hơn nữaODE· = 90 0 →AODE nội tiếp hay O∈ (ADE).Do đó trục đẳng

phương của (ADE OCD), ( ) là OD Trục đẳng phương của ( ), (O ADE) là AF.

Xét ba đường tròn ( ), (O ADE ODC),( ) đôi một có các trục đẳng phương là

,d, AF

OD nên chúng đồng quy tại một điểm Vậy AF đi qua điểm cố định là giao điểm của OD d,

Nhận xét: 1.Ý tưởng để chứng minh bài toán a bằng phương tích và trục đẳng

phương là khá rõ ràng Trong câu b có sự xuất hiện của nhiều đường tròn,

đường thẳng hơn làm cho vấn đề phức tạp hơn Tuy nhiên với các giả thiết đó kết hợp với yêu cầu điểm cố định ta có thể liên tưởng đén tâm đẳng phương

2.Với sự phát hiện AO⊥MN có thể khai thác và mở rộng thành bài toán sau:

Bài 5( Phát triển VMO 2014-N.V.Linh).Cho tam giác ABC có đường trung trực cạnh ABcắt cạnh AC tại A1 và đường trung trực cạnh ACcắt cạnh AB tại 2

A Các điểm B B C C1 , 2 , 1 , 2được xác định tương tự Các đường thẳng

1 2 , 1 2 , 1 2

A A B B C C đôi một cắt nhau tại D, E, F Khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác DE F tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại một điểm K và

điểm này nằm trên đường tròn ngoại tiếtp các tam giác AA A1 2 , BB B1 2 ,CC C1 2

Bài 6 (Iran NMO 2001).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ),( ), ( )O I I a lần

lượt là tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A Giả sử II a giao với BC và (O)

lần lượt tại A', M Gọi N là trung điểm cung MBA NI NI¼ , a giao với (O) tại S, T

Chứng minh ba điểm S T A, , ' thẳng hàng.

Lời giải: Hình vẽ trên

T A' I O A

I a TIS nội tiếp đường tròn (w 1 )

90

IBI =ICI = nên tứ giác IBI a C nội tiếp đường tròn (w 2 ).

Ta thấy I a I là trục đẳng phương của (w ),(w ) 1 2 , BC là trục đẳng phương của (O) và (w ) 2 , TS là trục đẳng phương của ( ),(w ).O 1 Khi đó I a I, BC, TS đồng

quy tại A' là tâm đẳng phương của ba đường tròn trên Vậy điểm S T A, , ' thẳng

hàng

Bài 7 (Phát triển Iran NMO 2001).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

( ),( ),( )O I I a lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A Giả sử I a I giao

với BC và (O) lần lượt tại A M', Gọi N, P là trung điểm cung MBA ACM¼ ,¼ Các

đường thẳng NI, PI, NI a, PI a giao với (O) lần lượt tại E, F, G,, H Chứng minh

FG, EH, I a I đồng quy

Lời giải:

M

A' I O

Theo bài Iran NMO 2001 ta có E, G, A ’ thẳng hàng và F, H, A ’ thẳng hàng Gọi

K là trung điểm của AM, ta có

FG A K EH đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn

Vậy FG, EH, I a I đồng quy

Bài 8 (IMO 1995) Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó

Đường tròn đường kính AC BD, cắt nhau tại X,Y Đường thẳng XY cắt BC tại

Z, lấy điểm P trên XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính

AC tại điểm thứ hai M; đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD tại

điểm thứ hai N Chứng minh rằng AM, DN, XY đồng quy.

Lời giải:

J N Z

Vậy AM, DN, XY đồng quy

Bài 9 (Phát triển IMO 1995).Cho hai đường tròn (O,R); (O ’ , r) , R > r có hai

tiếp tuyến chung XY, X ’ Y ’ trong đó OO ’ < R + r, X X, ' ∈ ( );Y, YO ' ∈ ( );O XY X Y' , ' '

cắt nhau tại S Kẻ tia Sx cắt (O) tại A, C, cắt (O ’ ) tại B, D sao cho A, B, C, D, S

theo thứ tự và phân biệt Giả sử (O) , (O ’ ) cắt nhau tại P, Q Lấy I thuộc PQ BI,

CI cắt lại đường tròn (O ’ ), (O) tại M, N Chứng minh ba đường thẳng AM, DN,

Q

P

D C

O

O' X

S

X'

A

M N

Trước hết ta chứng minh bổ đề : Cho hai đường tròn (O) , (O ’ ) cắt nhau tại P, Q

có hai tiếp tuyến chung XY, X ’ Y ’ cắt nhau tại S Kẻ tia Sx cắt (O) tại A, C, cắt

(O ’ ) tại B, D sao cho A, B, C, D, S theo thứ tự Khi đó SA SD SB SC =

Chứng minh bổ đề : Thật vậy , Xét phương tích PS/(O) =SA SC . Mặt khác ta có

Vậy bổ đề được chứng minh

Trở lại bài toán : Kẻ SM∩ ( )O' =N M N' ( , ' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ PQ) Theo

bổ đề suy ra SM SN ' =SB SC ⇒BCMN' nội tiếp

Bài 10.Cho tam giác ABC không cân ở A, (w) là đường tròn đi qua B, C cắt AC,

AB tại E, F Gọi D là giao điểm của E F, BC Chứng minh rằng trực tâm H, I,

K, L của các tam giác ABC, AE F, BDF, CDE thẳng hàng.

Lời giải :

Y

T O H

F

E A

D

B

C N

J X

K

Gọi (O), (T) là đường tròn đường kính BE, CF ;

CN, BJ là hai đường cao của tam giác ABC.