Chuyên đề PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn O1 và O2.. Từ định lý 2.1 ta suy ra

Chuyên đề: PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái

I Phương tích của một điểm đối với đường tròn

1 Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d Một

đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B Khi đó

2 2 2 2

MA MB MO= −R =d −R

2.Định nghĩa Giá trị không đổi MA MB d = 2 −R2 trong định lý 1.1 được

gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu ℘M/(O)

Ta có: ℘M O/( ) =MA MB d = 2 −R2

3.Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P và

PA PB PC PD= thì 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD tại D’

Khi đó ta có theo định lý 1.1 ta có PA PB PC PD. = . ′, suy ra

PC PD PC PD= ′⇒ ≡D D′ Suy ra 4 điểm A, B, C và D cùng thuộc một đường tròn

4.Chú ý:

1 Khi M nằm trên (O) thì ℘M O/( ) =0

2 Khi M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến của (O) thì

/

3 Nếu A, B cố định và AB AM. =const⇒M cố định Ý tưởng này giúp ta giải các bài toán về đường đi qua điểm cố định

II Trục đẳng phương của hai đường tròn – Tâm đẳng phương

1 Trục đẳng phương

a) Định lý 2.1 Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2) Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2)

b) Các hệ quả

Cho hai đường tròn (O) và (I) Từ định lý 2.1 ta suy ra được các tính chất sau:

1) Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm

2) Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng

3) Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O) và (I) thì đường thẳng qua

M vuông góc với OI là trục đẳng phương của hai đường tròn

4) Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn

5) Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng

6) Nếu (O) và (I) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với OI chính là trục đẳng phương của hai đường tròn

2 Tâm đẳng phương

a) Định lý 2.2 Cho 3 đường tròn (C1), (C2) và (C3) Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm, điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn

b)Các hệ quả

1.Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm

2.Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng

3.Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng phương trùng nhau

4.Cách dựng trục đẳng phương của hai đường tròn không cắt nhau

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) không cắt nhau, ta có cách dựng trục đẳng phương của hai đường tròn như sau:

1 Dựng đường tròn (O3) cắt cả hai đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại A,

B và C, D

2 Đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M

4 Đường thẳng qua M vuông góc với O1O2 chính là trục đẳng phương của (O1) và (O2)

III Các bài tập áp dụng

Bài 1 Cho góc ·xOy , A thuộc Ox; B,C thuộc Oy sao cho OA2 =OB OC Chứng minh rằng: Đường tròn (ABC) tiếp xúc Ox tại A

Hướng dẫn

Giải sử đường tròn (ABC) cắt Ox tại A’

Ta có OA.OA’ = OB.OC

Theo giả thiết OA2 =OB OC nên ta có:

2 '

OA =OA OA

⇒ OA = OA’ ⇒ A A≡ '

Vậy đường tròn (ABC) tiếp xúc Ox tại

A

Bài 2 Cho ∆ABC có (O, R) và (I, r) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp và

đường tròn nội tiếp của ∆ABC Chứng minh rằng: OI2 = R2 −2Rr

Hướng dẫn

Gọi M là giao của AI và đường tròn (O) Ta có

2 2

IA IM =R −OI

∆MIC có · · µ µ (2)

2

A C MIC MCI= = + ⇒IM =MC

Theo định lí Sin trong ∆AMC, MC = 2Rsin

2

A

(3)

Dựng IH ⊥ AB tại H Trong ∆IAH có

(4)

sin

2

r

IA

A

=

Thay (2), (3), (4) vào (1) ta có: 2Rr R= 2 −OI2 ⇒OI2 =R2 −2Rr

Bài 3 Cho đường tròn (O,R) và điểm A nằm ngoài đường tròn Gọi BC là

đường kính thay đổi của (O,R) Chứng minh rằng: Đường tròn (ABC) luôn đi qua một điểm cố định khác A

Hướng dẫn

Gọi A’ là giao điểm thứ 2 của AO và đường

tròn (ABC)

Ta có OA OA '=OB OC R = 2 OA' R2

OA

Vậy A’ nằm trên đường thẳng OA cố định và

2

' R

OA

OA

= không đổi nên A’ cố định

Vậy mọi đường tròn (ABC) đều đi qua điểm

A’ cố định

Bài 4 Hai đường tròn ngoài nhau có bốn tiếp tuyến chung Chứng minh rằng:

Trung điểm các đoạn tiếp tuyến chung nằm trên một đường thẳng

Hướng dẫn

Gọi I, J, M, N là trung điểm các đoạn

tiếp tuyến chung

/( ) , /( )

℘ = ℘ = mà IA = IB

nên ℘I O/( 1) =℘I O/( 2) Chứng minh

tương tự ta có J, M, N cùng phương

tích với (O1) và (O2) Vậy I, J, M, N

cùng nằm trên trục đẳng phương của

hai đường tròn

Bài 5 Cho ∆ABC vuông ở A, đường cao AH Gọi E, F theo thứ tự là hình

chiếu của H trên AB, AC Chứng minh rằng: Khi A, H không thay đổi còn B, C thay đổi thì:

a) Tứ giác BCFE nội tiếp

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCFE luôn đi

qua 2 điểm cố định

Hướng dẫn

a) Ta có ·ACH =·AHF (góc có cạnh tương ứng

vuông góc)

Do AEHF là hình chữ nhật nên

AHF = AEF ⇒ ACH =AEF mà

AEF BEF+ = nên BEF FCB· + · =1800⇒ Tứ

giác BECF nội tiếp

b) Gọi P, Q là giao điểm của AH với đường

tròn (BEFC)

Ta có HP HQ HB HC = = AH2

Mặt khác AP AQ AE AB AH = = 2

2

HP HQ AH

HP HQ AH



 giải hệ ta được

5 1 2

5 1 2

=





+



⇒P, Q cố định

Vậy đường tròn (BEFC) luôn đi qua 2 điểm cố định P, Q

Bài 6 Cho đường tròn (O) tiếp xúc đường thẳng d tại H Hai điểm M, N di động

trên d sao cho HM HN = −k2 ( k ≠0 cho trước ) Từ M, N kẻ tiếp tuyến MA và

NB của (O) ( với A, B khác H)

a) Chứng minh rằng: Đường tròn (OMN) luôn đi qua 2 điểm cố định

b) Chứng minh rằng: Đường thẳng AB luôn đi qua 1 điểm cố định

Hướng dẫn

a) Gọi P là giao điểm của OH với đường tròn (OMN), có

2

HM HN =HO HP= −k

Mà H, O cố định, k không đổi

nên P cố định Vậy đường tròn

(OMN) luôn đi qua hai điểm cố

định O, P

b) Gọi IH là đường kính của

(O); E, F là giao điểm của IA,

IB với d

Dễ thấy M, N lần lượt là

trung điểm của EH, FH

Ta có

2

HE HF = HM HN = − k Dựng đường tròn (IEF) cắt IH tại điểm thứ hai J

2 /(IEF) 4

℘ = = = − ⇒ J cố định

Trong các tam giác vuông∆IHE và ∆IHF Ta có IA IE IB IF IH = = 2⇒ Tứ giác ABEF nội tiếp

⇒IAB EFB· = · (cùng bù ·EAB )

Mà EFB EJI· = · nên IAB EJI· = ·

Gọi K là giao điểm của AB và IJ ta có tứ giác AKJE nội tiếp

2 /( )

I AKJE IA IE IK IJ IH

℘ = = = ⇒ K cố định

Vậy AB luôn đi qua điểm K cố định

Bài 7.Cho AB và AC là các tiếp tuyến của

đường tròn (O) với B, C thuộc (O) Lấy

điểm M bất kì trên AC (M, A khác phía so

với C) Giả sử (O) cắt đường tròn (ABM)

tại điểm thứ hai P, Q là chân đường vuông

góc hạ từ C xuống MB Chứng minh rằng:

· 2·

MPQ= AMB

Hướng dẫn

Gọi P’ là giao điểm thứ hai của MP với (O), Q’ là giao điểm của OC và MB

Ta có MP MP '=MC2 =MQ MQ '

⇒ Tứ giác PQQ’P’ nội tiếp ⇒ MPQ P Q M· = · ' '

Lại có

0

'

(180 )

P BC MPC MPB BPC

⇒ BP’//AC ⇒OC ⊥BP'⇒OQ'⊥BP'

Mặt khác O thuộc đường trung trực của đoạn BP’ nên OQ’ là trung trực của BP’ Theo đó

·' ' 2· ' 2·

P Q M = MBP = AMB(2)

Từ (1), (2) ⇒ ·MPQ=2·AMB

Bài 8 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O), M là giao của AD và

BC, N là giao của AB và CD, I là giao của AC và BD Chứng minh rằng: O là trực tâm của ∆MIN

Hướng dẫn

Gọi H là giao điểm thứ hai của đường tròn (AID) và đường tròn (BIC)

Vì MA.MD = MB.MC nên M thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác AIHD và BIHC

⇒ M, I, H thẳng hàng

Xét tứ giác DOHC có:

DHC DHI IHC DAC DBC DOC= + = + =

⇒ Tứ giác DOHC nội tiếp

Tương tự ta có tứ giác AOHB nội tiếp

Ta có NA NB NC ND. = . nên M thuộc trục đẳng phương của 2 đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOHB và DOHC

⇒O, H, N thẳng hàng

Ta có:

1

90 2

IHO IHD OHD DAC OCD

DOC OCD

Chứng minh tương tự ta có IN ⊥OM

Vậy O là trực tâm tam giác MIN

Bài 9 Cho tam giác ABC có đường tròn tâm I nội tiếp, tiếp xúc các cạnh

, ,

BC CA AB tại , , D E F AI cắt đường tròn ( )I tại và N M (M nằm giữa

và N

A ) DM cắt cạnh EF tại K, NK cắt đường tròn ( )I tại điểm P khác N

Chứng minh rằng các điểm , ,A P D thẳng hàng.

Hướng dẫn

Gọi Q là giao điểm của AI và EF thì Q cuãng là trung điểm của EF Tứ giác MQKP có hai góc đối diện đỉnh P, Q vuông nên

nội tiếp

Do đó ·NPQ DMN= ·

mà DMN· =DPN·

· 2·

ta lại có ·DIN =2·DMN

⇒ = suy ra tứ giác DPQI nội

tiếp đường tròn (T)

Ta có ℘A T\( ) = AQ AI

mà tam giác AEI vuông tại E với đường

cao EQ nên AQ AI =AE2

Do đó ℘A T\( ) =AQ AI =℘A I\( ) suy ra A nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn (I) và (T) Vậy A, P, D thẳng hàng

Bài 10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các

đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P, đường thẳng AD và đường thẳng BC cắt

nhau tại Q Chứng minh rằng: cosPOQ· 2R 2

OP OQ

Hướng dẫn

Lấy điểm E trên PQ sao cho tứ giác PBCE

nội tiếp Ta có ·PEC =·ABC QDC=· nên

tứ giác QDCE nội tiếp

2

P o Q o

PC PD QC QB

PE PQ QE QP PQ

·

2

2

2

2 cos 2

4 os

c POQ

+ Dấu "=" xẩy ra khi OP = OQ

Bài 11 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi P, Q, M là lượt

là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và DC, AD và BC, AC và BD Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OPQ, OMP và OMQ bằng nhau

Hướng dẫn

Gọi S là giao điểm thứ 2 của đường tròn

ngoại tiếp tam giác PDA và PQ

Khi đó

(SA SP, ) (= AD PD, ) (= AB BC, )

(4 điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn)

Suy ra S, A, B, Q cùng nằm trên đường tròn

2 2 / AS

2 2 Q/ CS

P QB

QB

PS PQ PA PB PO R

QS QP QA QD QO R

PQ PQ PS SQ QS QP PS PQ OQ OP R

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Tương tự: MQ2 =OQ2 +OM2 −2R2

suy ra OP2 −OQ2 =MP2 −MQ2 ⇒MO⊥PQ

Tương tự ta chứng minh được OP⊥MQ suy ra O là trực tâm của tam giác MPQ

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OPQ, OMP và OMQ bằng nhau

Bài 12.Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với

(O) Từ (O) hạ OH ⊥d tại H Giả sử M là một điểm bất kỳ trên d Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống MA, MB Chứng minh rằng đường kính KI luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn

Gọi J, T lần lượt là giao điểm của AB

với OH và OM Ta có

OM ⊥ AB do MA, MB là các tiếp

tuyến của đường tròn (O)

suy ra ·MTJ =900

Lại có MHJ· =90 do OH0 ⊥HM

MTJ MHJ

⇒ + = suy ra MTJH nội tiếp

mà OT OM =OA2 =R2 tam giác OMA

vuông tại A có AT là đường cao

suy ra

2

OJ R

OH

= suy ra J cố định

Gọi N là hình chiếu vuông góc của H xuống AB, L là giao điểm của KI và OH

Ta có năm điểm M, H, O, A, B cùng nằm trên đường tròn đường kính OM

Do K, I, N là hình chiếu vuông góc của H xuống MA, MB, AB nên K, I, N thẳng hàng, tính chất đường thẳng simson của tam giác MAB tương ứng với H

Vậy tứ giác HIBN nội tiếp do đó INH· =·IBH

Mặt khác IBH· =MOH· do tứ giác MOBH nội tiếp

Lại có HN / /OM cùng vuông góc AB nên ·MOH = ·JHN

vậy ·INH =·JHN hơn nữa tam giác JHN vuông góc tại N nên từ đó ta có L là trung điểm của JH Do J, H có định nên L cố định Vậy đường thẳng KI luôn đi qua điểm L cố định

Bài 13.Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay

quanh A, cắt (O) tại M và N Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng cố định

Hướng dẫn Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác MNB

Gọi C là giao điểm của AB và (I) Khi đó ta có:

A I AC AB AM AN A O

℘ = = =℘ (không đổi vì

A, (O) cố định)

Suy ra AC A O/( )

AB

℘

=

Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức

trên ta có C cố định

Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định.

Bài 14.Cho đường tròn tâm O đường kính AB, và điểm H cố định thuộc

AB Từ điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và D Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn

Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy

ra I cố định và thuộc (K)

Gọi M là giao điểm của CD và AB

Vì CD là trục đẳng phương của (O) và

(K) nên ta có:

( )( ) ( )

( )( ) 2

2

MH MI MC MD MA MB

BH

BM

BA

Vì A, B, H cố định suy ra M cố định

Bài 15.Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và B, C thay đổi trên đường

thẳng d cố định sao cho nếu gọi A’ là hình chiếu của A lên d thì A B A C′ . ′ âm và không đổi Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A’ lên AB, AC K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định

Hướng dẫn

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác A’MN và I là giao điểm

của OK và MN Ta thấy O chính là

trung điểm của AA’

Gọi D và P là giao điểm của AA’

với (ABC) và MN

Dễ thấy 2

AM AB AA= ′ = AN AC

Suy ra tứ giác BMNC nội tiếp

Mà ·ADB ACB=·

2 2 2 2 ( ) ( ) MO R NO R − − −

Nên ·AMN =·ADB

Suy ra MPDB nội tiếp

Do đó ta có AP AD AM AB AA′. = . = 2

Mà A, A’ và D cố định suy ra P cố định

Gọi H là hình chiếu của K trên AA’

4

OP OH OI OK ON= = = AA′

Mà O, P, A’ cố định suy ra H cố định

Vậy K thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với AA’

Bài 16.Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đường

tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y Đường thẳng XY cắt BC tại Z Lấy

P là một điểm trên XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ 2 là M, và BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là N Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui

Hướng dẫn:

Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và

AM với XY Ta cần chứng minh Q Q≡ ′

Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra

PM PC PQ PZ=

Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra

PQ PZ′ =PN PB

Mà P thuộc XY là trục đẳng phương của

đường tròn đường kính AC và đường tròn

đường kính BD nên

PN PB PX PY= =PM PC

Suy ra PQ PZ = PQ PZ′ ⇒ ≡Q Q′

Vậy XY, AM và DN đồng quy

Bài 17 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn

AB Đường thẳng qua H cắt đường tròn tại C Đường tròn đường kính CH cắt

AC, BC và (O) lần lượt tại D, E và F

a) Chứng minh rằng AB, DE và CF đồng quy

b) Đường tròn (C, CH) cắt (O) tại P và Q Chứng minh rằng P, D, E, Q thẳng hàng

Hướng dẫn

a) Ta có 2

CA CD CH= =CB CE, suy ra ADEB nội tiếp Xét các đường tròn (ADEB), (O) và đường tròn đường kính CH, thì DE, AB và CF lần lượt là các trục đẳng phương của các cặp đường tròn trên nên chúng đồng quy

b) Ta có PQ là trục đẳng phương của ( C)

và (O) nên OC ⊥PQ Ta cũng dễ thấy

OD⊥DE

Hơn nữa M chính là tâm đẳng phương của

ba đường tròn (O), (C, CH) và đường tròn

đường kính CH Suy ra PQ đi qua M

Vậy DE, PQ cùng đi qua M và cùng vuông

góc với OC nên trùng nhau Hay D, E, P, Q

thẳng hàng

Bài 18 Cho tam giác ABC có đường cao

BD và CE cắt nhau tai H M là trung điểm của BC, N là giao điểm của DE và

BC Chứng minh rằng NH vuông góc với AM

Hướng dẫn

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của

AH, MH

Ta có

· 2.· 2.· ·

Suy ra tứ giác EDMF nội tiếp

Từ đó ta có NE ND NF NM. = . , suy

ra N nằm trên trục đẳng phương của

đường tròn

(O, OH) và đường tròn (I, IH)

Mặt khác H là giao điểm của đường tròn

(O, OH) và đường tròn(I, IH), suy ra NH chính là trục đẳng phương của (O) và (I)

Suy ra NH ⊥OI , mà OI // AM, do đó NH ⊥ AM

Bài 19 Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AB,

AC tại D và E Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của

DE với BP và CP Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q Chứng minh rằng

AQ OI⊥

Hướng dẫn.