Hình học phẳng là một chuyên đề tương đối quan trọng của chương trình THPT chuyên Toán. Trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Thi Olympic Toán Quốc tế và khu vực, các bài toán về hình học phẳng luôn luôn xuất hiện một bài hoặc thậm chí hai bài. Có rất nhiều cách, có nhiều định lý, nhiều kiến thức để học sinh có thể xử lý các yêu cầu của bài toán như: Phép biến hình; hàng điểm điều hòa; định lýCeva, Menelauyt; các tính chất của đường thẳng Simson, Steiner…Tuy nhiên, trong nhiều năm trở lại đây , các bài toán hình học thi VMO thường xoay quanh các vấn đề về: Phương tích, trục đẳng phương; hàng điểm điều hòa hay các dạng biến đổi góc cơ bản. Bên cạnh đó ta thấy, kiến thức về Phương tích và trục đẳng phương là một vấn đề quen thuộc trong hình học phẳng, học sinh được tiếp cận trong chương trình sách giáo khoa THPT Chuyên Toán 10. Lý thuyết, các tính chất về phần này tương đối đơn giản, dễ hiểu nhưng lại có nhiều ứng dụng trong các bài toán: Chứng minh sự đồng quy; ba điểm thẳng hàng; điểm cố định hoặc tính toán một số đại lượng trong tam giác và trong đường tròn…Sử dụng phương tích và trục đẳng phương thường cho ta lời giải gọn gàng, dễ hiểu; tránh được một số bước vẽ hình phức tạp. Tuy nhiên, làm thế nào để học sinh phát hiện và vận dụng kiến thức về Phương tích Trục đẳng phương vào trong các dạng toán chứng minh trên? Nếu dùng Trục đẳng phương thay một số kiến thức khác thì sẽ thu được điều gì? Giải quyết xong một bài toán, ta có thể dùng kiến thức đó để làm các bài toán mở rộng khác được không? Đó là những câu hỏi đặt ra và cần tìm hướng giải quyết. Sự đơn giản về kiến thức nhưng đem lại những ứng dụng hay đã hấp dẫn được nhiều học sinh và giáo viên khi học, giảng dạy về chuyên đề hình phẳng sử dụng tính chất trục đẳng phương, tâm đẳng phương. Từ những điều thú vị, hấp dẫn và một số câu hỏi đặt ra ở trên chúng tôi đã chọn đề tài “ Phương tích Trục đẳng phương”
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TÍCH - TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG A.PHẦN MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Hình học phẳng chuyên đề tương đối quan trọng chương trình THPT chun Tốn Trong kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Thi Olympic Toán Quốc tế khu vực, tốn hình học phẳng ln ln xuất chí hai Có nhiều cách, có nhiều định lý, nhiều kiến thức để học sinh xử lý yêu cầu tốn như: Phép biến hình; hàng điểm điều hịa; định lýCeva, Menelauyt; tính chất đường thẳng Simson, Steiner…Tuy nhiên, nhiều năm trở lại , tốn hình học thi VMO thường xoay quanh vấn đề về: Phương tích, trục đẳng phương; hàng điểm điều hịa hay dạng biến đổi góc Bên cạnh ta thấy, kiến thức Phương tích trục đẳng phương vấn đề quen thuộc hình học phẳng, học sinh tiếp cận chương trình sách giáo khoa THPT Chun Tốn 10 Lý thuyết, tính chất phần tương đối đơn giản, dễ hiểu lại có nhiều ứng dụng toán: Chứng minh đồng quy; ba điểm thẳng hàng; điểm cố định tính tốn số đại lượng tam giác đường tròn…Sử dụng phương tích trục đẳng phương thường cho ta lời giải gọn gàng, dễ hiểu; tránh số bước vẽ hình phức tạp Tuy nhiên, làm để học sinh phát vận dụng kiến thức Phương tích - Trục đẳng phương vào dạng toán chứng minh trên? Nếu dùng Trục đẳng phương thay số kiến thức khác thu điều gì? Giải xong tốn, ta dùng kiến thức để làm tốn mở rộng khác khơng? Đó câu hỏi đặt cần tìm hướng giải Sự đơn giản kiến thức đem lại ứng dụng hay hấp dẫn nhiều học sinh giáo viên học, giảng dạy chuyên đề hình phẳng sử dụng tính chất trục đẳng phương, tâm đẳng phương Từ điều thú vị, hấp dẫn số câu hỏi đặt chọn đề tài “ Phương tích- Trục đẳng phương” làm chuyên đề hội thảo năm 2015-2016 2.Mục đích đề tài Việc sử dụng kiến thức phương tích - trục đẳng phương hình học phẳng khai thác nhiều khía cạnh khác nhau, tùy theo yêu cầu toán Tuy nhiên, nhằm khai thác mạnh kiến thức này, đề tài “ Phương tích - Trục đẳng phương” tập trung vào vài ứng dụng mà tần số câu hỏi dạng xuất kì thi học sinh giỏi tương đối cao Đó là: Chứng minh thẳng hàng; đồng quy; điểm cố định; quỹ tích điểm số toán khác Nội dung đề tài số kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề tham khảo qua số đồng nghiệp trường Chuyên khác Với hi vọng giới thiệu, đem đến cho thầy cô học sinh ứng dụng thú vị phương tích, trục đẳng phương; chúng tơi trình bày phát triển , mở rộng từ đề thi IMO, VMO vô địch nước Bên cạnh đó, chúng tơi mong nhận góp ý đồng nghiệp học sinh để chuyên đề hoàn thiện B PHẦN NỘI DUNG I.Tóm tắt lý thuyết Phương tích điểm đường trịn 1.1.Bài tốn: Cho đường trịn (O; R) điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A B Khi MA.MB d R Chứng minh: Gọi C điểm đối xứng A qua O Ta có CB AM hay B hình chiếu C AM Khi ta có uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuu r uuuu r uuu r2 MA.MB MA.MB (MO OC )( MO OA) (MO OA ) d R 2 1.2.Định nghĩa Giá trị không đổi MA.MB d R toán gọi P phương tích điểm M đường trịn (O) kí hiệu M /(O) Và PM / O MA.MB d R 1.3.Định lý 1.1 Nếu hai đường thẳng AB CD cắt P PA.PB PC.PD điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Chứng minh: Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD D’ Khi ta có theo định lý 1.1 ta có PA.PB PC.PD ' , suy PC.PD PC.PD ' Suy điểm A, B, C, D thuộc đường trịn D D' 1.4.Nhận xét: a Có cách khai triển phương tích sau +)Khai triển theo cát tuyến: Cho hai cát tuyến MAB, MCD đường tròn (O) Khi PM /(O ) MA.MB MC.MD MO R +)Khai triển theo tam giác: Cho hai dây cung AB, CD đường trịn (O)cắt điểm M Khi PM /( O ) MA.MB MC.CD R MO2 +)Khai triển theo tiếp tuyến: M nằm ngồi đường trịn (O) MT tiếp tuyến (O) PM / O MT +) Khi M nằm (O) PM / O b Nếu A, B cố định AB AM số khơng đổi, M cố định Khai thác tính chất giúp ta giải toán đường thẳng qua điểm cố định Trục đẳng phương hai đường tròn - Chùm đường tròn 2.1 Định lý 2.1 Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O ; R1 ) (O ; R2 ) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O ) (O2 ) Chứng minh: Giả sử điểm M có phương tích hai đường trịn cho Gọi H hình chiếu M O1O2, I trung điểm O1O2 Ta có: ( MH HO12 ) ( MH HO22 ) R12 R22 � ( HO1 HO2 )( HO1 HO2 ) R12 R22 R12 R22 � O2O1.2 HI R R � IH 2O1O2 2 Do H cố định, nên tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng qua H vng góc với O1O2 2.2.Các hệ quả: Cho hai đường trịn (O) (I) Khi 1.Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm 2.Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng 3.Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vng góc với OI trục đẳng phương hai đường trịn 4.Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường trịn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường trịn 5.Nếu điểm có phương tích hai đường trịn điểm thẳng hàng 6.Nếu (O) (I) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn 2.3.Cách xác định trục đẳng phương hai đường tròn Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) Xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt A, B Khi đường thẳng AB trục đẳng phương hai đường tròn Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc T Khi tiếp tuyến chung T trục đẳng phương hai đường trịn Trường hợp 3: Hai đường trịn khơng có điểm chung Dựng đường tròn (O3 ) cắt hai đường tròn ( O1 , O2 , O3 không thẳng hàng) Trục đẳng phương cặp đường tròn (O1 ) (O3 ); (O2 ) (O3 ) cắt K Đường thẳng qua K vng góc với O1O2 trục đẳng phương (O1 ),(O2 ) 2.4.Chùm đường trịn Tập hợp đường trịn có chung trục đẳng phương gọi chùm đường tròn Định lý bản: Cho hai đường tròn (O1 ), (O2 ) tập hợp A { PM /(O ) PM /(O ) 0} chùm đường tròn Tâm đẳng phương 3.1 Định lý 3.1 Cho đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) cho O1 , O2 , O3 khơng thẳng hàng Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm, điểm gọi tâm đẳng phương ba đường tròn Chứng minh: Gọi dij trục đẳng phương hai đường tròn (Oij ) (O ji ) Ta xét hai trường hợp sau a) Giả sử có cặp đường thẳng song song, khơng tính tổng qt ta giả sử d12 // d23 Ta có d12 O1O2 , d 23 O2O3 suy O1 , O2 , O3 thẳng hàng Mà d13 O1O3 suy d13 // d 23 // d12 b) Giả sử d12 d23 có điểm chung M Khi ta có � �P M / O1 P M / O2 � P M / O1 P M / O3 � M �d13 � P P M / O M / O 3 � 2 Từ suy có hai đường thẳng trùng trục đẳng phương cặp đường tròn lại Nếu hai trục đẳng phương cắt điểm điểm thuộc trục đẳng phương cịn lại 3.2.Các hệ 1.Nếu đường trịn đơi cắt dây cung chung qua điểm 2.Nếu trục đẳng phương song song trùng tâm đường trịn thẳng hàng 3.Nếu đường tròn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng II Ứng dụng phương tích trục đẳng phương II.1.Ứng dụng phương tích trục đẳng phương chứng minh ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy, chứng minh đường qua điểm cố định Có nhiều cách để chứng minh ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy Tuy nhiên số toán mà giả thiết có xuất nhiều đường trịn việc liên hệ đến trục đẳng phương 1.1.Giả sử cần chứng minh A, B, C thẳng hàng cách sử dụng trục đẳng phương ta cần xây dựng mơ hình tốn sau: Hai đường trịn (C1), (C2) có trục đẳng phương đường thẳng d Ta chứng minh PB/(C1 ) PB/(C2 ) PC/(C1 ) PC/(C2 ) ; PA /(C1 ) PA /(C2 ) ; Khi A, B, C thuộc đường thẳng d 1.2.Giả sử cần chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy cách sử dụng tâm đẳng phương ta cần xây dựng đường tròn (C ), (I), (T) cặp nhận a, b, c làm trục đẳng phương a, b cắt K K tâm đẳng phương ba đường trịn Do c qua điểm K 1.3 Giả sử cần chứng minh đường thẳng c qua điểm cố định M ta xây dựng mơ hình toán theo hướng sau: 1.3.1.Ba đường thẳng a,b, c trục đẳng phương ba cặp đường tròn a, b cố định cắt M, suy c qua M 1.3.2.Nếu A, B cố định AB AM số khơng đổi, M cố định Khai thác tính chất giúp ta giải toán đường thẳng qua điểm cố định 1.4 Giả sử cần chứng minh đường tròn (C) qua điểm cố định D ta xây dựng mơ hình tốn:Nếu hai đường thẳng AB CD cắt P , đường tròn (ABC) thay đổi PA.PB PC.PD điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Một số minh họa Bài (VMO- 2015) Cho đường tròn (O) hai điểm B, C cố định (O), BC khơng đường kính Một điểm A thay đổi (O) cho tam giác ABC nhọn Gọi E, F chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Cho (I) đường tròn thay đổi qua E, F , I tâm DB cot B cot C a Giả sử (I) tiếp xúc với B C điểm D Chứng minh DC b Giả sử (I) cắt cạnh BC M, N Gọi H trực tâm tam giác ABC; P,Q giao điểm (I) với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Đường tròn (K) qua P, Q tiếp xúc với (O) T ( T phía A PQ) Chứng minh đường phân giác góc MTN ln qua điểm cố định Lời giải: a.Gọi X, Y giao điểm (I) với BE, CF Xét phương tích với đường trịn (I), 2 ta có BD BX BE ; CD CY CF A E O I F Y X C B D � � � � Xét BXF ; CYE có XBF YCE , BXF CYE nên hai tam giác đồng dạng Suy BX BF cos B BD BX BE cos B sin C cot B � CY CE cos C CD CY CF cos C sin B cot C BD cot B cot C Hay CD b.Trường hợp tam giác ABC cân A , toán Xét trường hợp tam giác khơng cân A , khơng tính tổng quát, giả sử AB AC Gọi G giao điểm EF ; BC Xét đường trịn (BHC), (I) đường trịn đường kính BC A T E O F H Q C P B N M G J Ta thấy: +)Trục đẳng phương (BHC), (I) PQ +)Trục đẳng phương (I) đường trịn đường kính BC E F +)Trục đẳng phương (BHC) đường trịn đường kính BC BC Do PQ, E F, BC đồng quy tâm đẳng phương ba đường trịn Ta có GT GP.GQ GM GN nên đường tròn (TMN ) tiếp xúc với đường tròn (O ) T � � � Do đó, ta có GTM GNT (cùng chắn TM đường tròn (K)) � � � Mặt khác, theo tính chất góc ngồi tam giác NCT GNT NTC NCT � � � � Hơn nữa, GT tiếp xúc với (O) nên GTB GCT Khi thu BTM CTN � � Từ dễ thấy phân giác hai góc MTN ; BTC trùng hay phân giác góc � � MTN qua trung điểm J BC không chứa A J điểm cố định Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét: 1.Trong toán xuất nhiều đường trịn, có đường trịn thay đổi Do với yêu cầu chứng minh đường thẳng qua điểm cố định việc nghĩ đến tâm đẳng phương điều dễ hiểu Tuy nhiên ta giải tốn mà khơng cần có mặt điểm E, F.Xét trục đẳng phương ba đường trịn (BHC),(O),(TPQ) có tiếp tuyến T qua giao điểm BC , PQ ta thu kết toán 2.Vấn đề EF qua G đưa toán khác để khai thác mở rộng Bài (Phát triển VMO 2015).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) Một đường tròn ( I ) qua B, C ( J ) đường tròn khác thay đổi cắt BC M, N; cắt ( I ) P, Q Đường tròn qua P, Q tiếp xúc với đường tròn (O ) � T nằm phía với A so với BC Chứng minh phân giác MTN qua trung điểm cung BC không chứa A (Nguyễn Văn Linh) Lời giải: Trước hết xét bổ đề hai đường đẳng giác tam giác Bổ đề: Cho tam giác BCT, TM, TN hai đường đẳng giác góc BTC � BM BN BT CM CN CT (*) Trở lại toán: Gọi ( K ) qua P, Q tiếp xúc với (O) T Kẻ ST tiếp tuyến T đường tròn (O),(K) ST trục đẳng phương (O),(K) PQ trục đẳng phương (I), (K) BC trục đẳng phương (I), (O) Khi ST , PQ, BC đồng quy tâm đẳng phương S ba đường tròn Suy S , P, Q thẳng hàng Gọi P ' BP �(J); Q ' CQ �( J ); H BP �CQ � � � Ta có HPQ HQ ' P ' HCB � P ' Q '/ / BC Ta có BST : TSC ( g g ) � SB ST BT SB BT � ST SC CT SC CT Vì S , P, Q thẳng hàng nên theo định lý Menelauyt, ta có 10 (1) N A S T O B E Q P D C M Mặt khác, tính chất tâm đường trịn bàng tiếp nên � 900 BCM � 900 BAD � BAT � � ABQT MQB 2 nội tiếp Do MA.MB MQ.MT hay M có phương tích (O),( I ) Tương tự N thuộc trục đẳng phương (O ), ( I ) � MN trục đẳng phương (O),( I ) Suy OI MN Vậy O, I, E thẳng hàng Nhận xét : 1.Trong câu b, với yếu tố E giao điểm hai đường chéo tứ giác ABCD điểm M, N việc nghĩ đến định lý Brocard điều dễ thấy thu OE MN 2.Việc chứng minh OE MN cho ta thấy bước cần chứng minh OI MN Do O, I tâm đường tron ngoại tiếp tứ giác ABCD, PQTS nên ý tưởng tự nhiên ta chứng minh MN trục đẳng phương hai đường trịn 3.Bài tốn tương tự (Crux Mathematical 2005) Cho tứ giác ABCD lồi, nội tiếp đường tròn tâm O có cặp cạnh đối khơng song song Gọi E t giao điểm hai đường chéo AC, BD Gọi P, Q, S,T giao điểm đường phân giác cặp góc (A,B); (B,C); (C, D); (D,A) ABCD Chứng minh tứ giác PQST nội tiếp đường tròn tâm X O, E, X thẳng hàng, PS QT II.2.Ứng dụng phương tích trục đẳng phương tốn quỹ tích số tốn chứng minh tính chất hình học khác Giả sử cần tìm quỹ tích điểm M cách dùng kiến thức phương tích trục đẳng phương ta xử lí tình sau: 22 2.1 Dùng định lý trục đẳng phương: Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1; R1 );(O2 ; R2 ) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) 2.2.Dùng tính chất:Nếu hai đường thẳng AB CM cắt P A, B, C cố định PA.PB PC PM điểm A, B, C, M thuộc đường tròn Vậy tập hợp điểm M đường tròn (ABC) Các tốn chứng minh tính chất hình học khác thường dùng trực tiếp việc biến đổi đẳng thức phương tích: PM / O MA.MB d R Bài 14 Cho hai đường tròn (O; r), ( I ; R) tiếp xúc M ( r R) Xét điểm A di động đường tròn ( I ) cho A, I , O không thẳng hàng Từ điểm A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O), B, C tiếp điểm Các đường thẳng MB, MC cắt lại ( I ) E , F Gọi D giao điểm thứ hai EF tiếp tuyến A ( I ) Chứng minh D di động đường thẳng cố định Lời giải: Qua điểm M kẻ tiếp tuyến chung My (O),( I ) , ta có � CMy � FMD � FAM � � FAM : FCA( g g ) � FA2 FM FC FO r MCA 2 Tương tự ta chứng minh EA EO r (1) (2) Coi ( A,0) đường trịn tâm A, bán kính 0, từ (1) (2) suy EF trục đẳng phương hai đường tròn ( A, 0), (O) Do DA tiếp tuyến 23 2 ( I ) � DA2 DI R Mặt khác D �EF � DA DO r � PD /( O ) =PD/( I ) Vậy D �My trục đẳng phương hai đường tròn cố định (O),( I ) Bài 15 (TST 2012) Cho tam giác ABC không vuông A, AM đường trung tuyến Gọi D điểm di động đường thẳng AM (O1), (O2) đường tròn qua điểm D, tiếp xúc với BC B, C Gọi P, Q giao điểm đường thẳng AB với đường tròn (O1), AC với đường tròn (O2) Chứng minh rằng: a Tiếp tuyến P (O1 ) tiếp tuyến Q (O2 ) phải cắt điểm Gọi điểm S b Điểm S ln di động đường thẳng cố định D di động AM Lời giải: a.Vì M trung điểm BC nên MB MC , suy M thuộc trục đẳng phương hai đường tròn (O1), (O2) Mặt khác D giao điểm hai đường trịn nên MD trục đẳng phương (O1), (O2) Lại có A�DM � AP AB AQ AC (1) hay tứ giác BPQC nội tiếp Từ hệ thức (1) ta thấy : P trùng với A Q trùng với A, P thuộc đoạn AB Q thuộc đoạn AC ngược lại � Khơng tính tổng qt, giả sử ABC nhọn, gọi Px tia tiếp tuyến đường � trịn (O1 ) cho xPB nhọn Theo tính chất tiếp tuyến , ta có : � PBC � � xPB � � � ) � Px xPB AQB ( � AQB PBC tiếp tuyến đường tròn ( APQ) Suy (O1 ) tiếp xúc với đường tròn ( APQ) 24 Tương tự (O2 ) tiếp xúc với đường trịn ( APQ) Do tiếp tuyến P (O1 ) tiếp tuyến Q (O2 ) hai tiếp tuyến ( APQ ) P, Q � Theo giả thiết, PAQ �90 nên hai tiếp tuyến khơng song song chúng phải cắt (Đpcm) b.Theo chứng minh trên, ta có : S thuộc tiếp tuyến (O1 ), (O2 ),SP SQ � S thuộc trục đẳng phương hai đường tròn Nghĩa S nằm AM Vậy D thay đổi AM S di chuyển đường thẳng AM cố định Bài 16.Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định B, C thay đổi đường thẳng B A� C âm d cố định cho gọi A’ hình chiếu A lên d A� khơng đổi Gọi M, N hình chiếu A’ lên AB, AC K giao điểm tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN M N Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định Lời giải: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN I giao điểm OK MN Ta thấy O trung điểm AA’ Gọi D P giao điểm AA’ với (ABC) MN Dễ thấy AM AB AA� AN AC Suy tứ giác BMNC nội tiếp �� AMN � ACB Mà � ADB � ACB nên � AMN � ADB 25 Suy MPDB nội tiếp Do ta có AP AD AM AB AA� Mà A, A’ D cố định nên P cố định Gọi H hình chiếu K AA’ Ta có OP.OH OI OK ON AA� Mà O, P, A’ cố định nên H cố định.Vậy K thuộc đường thẳng qua H vng góc với AA’ Bài 17.Cho đường tròn (I ; r) tiếp xúc với đường thẳng d D.B, C hai điểm d cho BD.CD k Từ B, C kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( I ) , tiếp điểm tương ứng F , E Lấy N , P điểm đối xứng với D qua B, C Gọi M giao điểm NF , PE Kẻ MH vng góc với AD , đường trịn ngoại tiếp tam giác ( AHF ) cắt EM G , ( AEH ) cắt FM K Chứng minh GK song song với đường thẳng cố định B, C chuyển động Lời giải: Theo ta thấy tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn � DEP � 900 � DEMF ( I ; r) � BD BF BN;CD CE CP � DEN nội tiếp đường trịn đường kính DM Mà D, E , F �( I ) � M �( I ) Do MH AD � H �( I ) � � � � Mặt khác ta có tứ giác AHFG nội tiếp nên AGF FHD BDF DEF � � � � Tương tự : AHEK nội tiếp nên AKE DHE DFE CDE � � Do GFK GEK 90 � EFGK nội tiếp Suy D, F , G thẳng hàng D, E , K thẳng hàng Do AG / / DB; AK / / CD � GK / / BC Vậy GK / / d cố định 26 Bài 18 (TST Romania 2008).Cho tam giác ABC có D, E, F �BC , AC , AB cho DB EC FA EA EA FB Chứng minh hai tam giác ABC , DEF có chung tâm đường trịn ngoại tiếp O hai tam giác có chung trực tâm H k Lời giải: �Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), tam giác DE F nội tiếp đường trịn (O;r) Xét phương tích PD /( ABC ) DO R DB.DC PE/( ABC ) EO R EA.EC PF/( ABC ) FO R FB.FA Suy DB.DC EA.EC FA.FB Mặt khác kết hợp giả thiết ta có: k DB CE ( k ) AF2 (k ) � AF BD CF Tương tự chứng minh được: AE BF CD Suy AB AC BC � ABC Khi AEF BFD CDE (c.g.c) � DE DF EF � DEF Vậy ABC , DEF có trực tâm H �O �Giả sử ABC , DEF có trực tâm H Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi uuu r uuu r uuur r uuur CD uuu r BD uuur GA GB GC 0, GD GB GC BC BC Tương tự ta có: uuur uuur uuur �CD AF �uuu r �CE BF � uuu r �AE BD �uuur GD GE GF � GB � GA � GC � � � �BC AB � �AC AB � �AC BC � uuu r uuu r uuur ur GA GB GC O Suy G trọng tâm tam giác DEF Gọi (O1 ), (O2 ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , DEF Xét đường thẳng Euler cho hai tam giác ta có: 27 GO1 1 GO2 � GH GH O1 O2 O Vậy hai tam giác ABC , DEF có chung tâm đường trịn ngoại tiếp O Bài toán chứng minh Bài 19.Cho tam giác ABC, đường tròn (O) qua B, C cắt AB, AC điểm thứ hai K, N Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AKN cắt M, A Chứng minh rằng: � 900 OMA Lời giải: Theo giả thiết ta có AM trục đẳng phương hai đường tròn ( ABC ), ( AKN ) KN trục đẳng phương hai đường tròn (O), ( AKN ) BC trục đẳng phương hai đường tròn ( ABC ), (O) Mặt khác: KN cắt BC nên AM, KN, BC đồng quy D Gọi I, L tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AKN F AI �( I ), E AL �( L) � I , L trung điểm AF , AE � IL / / EF � Lại có: IL AM � EF AM � AME 90 � E , F , M thẳng hàng Ta có OL KN , OI BC 0 � � � Do B, C , N , K �(O) � CAI 90 ABC 90 ANK � AI KN Tương tự: AL BC � AIOL hình bình hành � LI qua trung điểm AO, LI đường trung bình tam giác AEF � O �EF � O, E , F , M thẳng hàng � 900 OMA Suy 28 Bài 20 Cho hai đường trịn (O; R); (O’; r) ngồi Kẻ hai tiếp tuyến chung chung hai đường trịn A A’, BB’( A, B �(O), A ', B ' �(O ') Chứng minh AB, A ' B ', OO' đồng quy Lời giải: Gọi H giao điểm AB, A ' B ' Khi ta chứng minh � AHA ' 900 � AA ' H ; BB ' H vng H Suy đường trịn ngoại tiếp tam giác AA ' H , BB ' H có tâm thuộc AA ', BB ' � OB, O ' B ', O ' A ', OA tiếp tuyến đường tròn ( BB ' H ), ( AA ' H ) Do trục đẳng phương hai đường trịn OO ' Mặt khác H điểm chung hai đường trịn nên O, O ', H thẳng hàng Hay AB, A ' B ', OO' đồng quy Bài 21 (Phát triển 20) Cho hai đường tròn (O; R); (O’; R) ngồi nhau, R khơng đổi; O, O ' nằm đường thẳng d cố định Kẻ hai tiếp tuyến chung ngồi chung hai đường trịn A A’, BB’( A, B �(O), A ', B ' �(O ') AB cắt A’B’ điểm H Chứng minh HO.HO ' không đổi O, O ' chuyển động đường thẳng d Lời giải: Theo 2.7 ta có H �OO ';( AA ' H ) �( BB ' H ) {H , K } � K �OO ' 29 � � � K �( ACO ) AKH � AA ' H � ACB ACO Suy Mặt khác tứ giác OACB nội 2 tiếp nên K �(OACB) � HA.HB HO.HK � PH /(O) HO.HK � HO.HK R OH Tương tự: O ', A ', C , B ', K thuộc đường tròn nên HK HO ' HA '.HB ' � HK HO ' PH /(O ') � HK HO ' O ' H R Suy R O ' H OH O ' H R OH OH O ' H � OH O ' H R Hay OH O ' H R Bài toán chứng minh Bài 22.Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE , CF ; P điểm Chứng minh đường tròn ( PAD), ( PBE ), ( PCF ) lập thành chùm Lời giải: Gọi H trực tâm tam giác ABC � HA.HD HB.HE HC.HF � H thuộc trục đẳng phương ba đường tròn ( ADP), ( BEP), (CFP) Mặt khác P thuộc trục đẳng phương ba đường tròn ( ADP), ( BEP), (CFP) Suy ba đường tròn lập thành chùm Bài 23 (Trần Quang Hùng-KHTN) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Dựng ngồi tam giác hình bình hành ABKL, ACMN cho ABL : CAM Các đường thẳng AN , AL theo thứ tự cắt BK , CM F , E Gọi P giao điểm nằm trong tam giác ABC đường tròn ngoại tiếp tam giác LME , NFK Chứng minh B, C , O, P thuộc đường tròn Lời giải : 30 � � Gọi G KB �CM , ABL : CAM � ABK ACM 180 � G nằm đường tròn tâm (O) � � � Dễ thấy tứ giác AFGE hình bình hành nên AFG 180 FGE BAC � � Lại có: AGF ACB � AFG : BAC � AC.FA AB.FG AB AE Hơn từ ABL : CAM � AC AL AB AN � AF AE � AL AE AF AN AL AN Vậy A thuộc trục đẳng phương hai đường tròn ngoại tiếp tam giác LME , NFK 0 � � � Gọi D KL �MN � DNF 180 ANM 180 FKL � D �( NFK ) Tương tự chứng minh D �( LME ) Vậy DP trục đẳng phương đường tròn ( LME ), ( NFK ) � A �DP Mặt khác, tứ giác DMEP, DKFP nội tiếp nên � � DKF � 1800 � P �EF APF � APE DME Gọi Q trung điểm � 1800 DPF � 1800 � AG � � AOQ � AOG � ACG AMC APQ Suy tứ giác APQO nội tiếp, mà OQ AQ � AP OP RB S DAB S LAB AL AB AB R AP �BC � RC S S AN AC AC DAC LAC Gọi Suy AP đường đối trung tam giác ABC � AP qua giao điểm hai tiếp tuyến B, C (O) T Từ OP AP � O, P, B, C thuộc đường trịn đường kính OT 31 Tương tự 23: Cho tam giác ABC khơng cân A Dựng ngồi tam giác ABC hình chữ nhật đồng dạng ABKL, ACMN Các đường thẳng AL, AN theo thứ tự cắt CM , BK E , F Gọi P giao điểm nằm trong tam giác ABC đường tròn ngoại tiếp tam giác LME , NFK Gọi Q giao điểm KN � � LM Chứng minh PAB QAC Bài 24.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O), AD, BE , CF đường cao đồng quy H AX đường kính đường trịn (O) Đường thẳng qua X , H vng góc với XH cắt EF , BC A1 , A2 a Chứng minh tứ giác HXA1 A2 hình chữ nhật nội tiếp đường tròn ( K a ) b Tương tự có đường trịn ( K b ), ( K c ) Chứng minh tâm đường tròn ( K a ), ( Kb ), ( K c ) nằm đường đường thẳng Lời giải: � a.Gọi A ' AO �EF Chứng minh AO EF , mà ACX 90 � A ' ECX nội tiếp Suy AE AC AA '.AX Mặt khác CDHE nội tiếp nên AE AC AH AD � DHA ' X nội tiếp � � � � Do HXA1 HDA1 XHA2 XA ' A2 90 � A1 , A2 �( DXA ' H ) Ta có HA2 / / XA1; HA2 XH � HXA1 A2 hình chữ nhật nội tiếp đường trịn ( K a ) �( XDH ) b.Ta có BH AC ; XC AC ; BX AB; CH AB � BHCX hình bình hành nên HX qua trung điểm M BC M trung điểm HX Lấy X ' đối xứng A1 qua M � X ' B A1C ; X ' C BA1 32 (*) Kết hợp A1 HX ' X hình bình hành Suy HX '/ / XA2 / / HA2 � X ' �HA2 Tam giác MHX ' vuông H � X ' D X ' M X ' H Gọi ( K ) đường tròn Euler ABC � D, E , F , M �( K ), ( H ) đường tròn ( H ;0) Suy PX '/( K ) =PX '/( H ) Các đường thẳng BY , CZ , Y ', Z ' xác định tương tự AX , X ' Suy PY '/( K ) =PY '/( H ) ;PZ '/( K ) =PZ '/( H ) � X ', Y ', Z ' thẳng hàng trục đẳng phương hai đường tròn ( K ; KM ),( H ;0) Do X ', Y ', Z ' thuộc ba cạnh tam giác ABC nên theo định lí Menelauyt ta có X ' B Y 'C Z ' A AC B A C B 1� 1 X 'C Y ' A Z ' B A B B1C C1 A (do (*)) Suy A1 , B1 , C1 thẳng hàng Theo câu a ta có K a , K b , K c trung điểm đoạn thẳng HA1 , HB1 , HC1 � K a , K b , K c thẳng hàng Vậy toán chứng minh Bài luyện tập Bài 25.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi ( I ; r );(J; R A ) đường trịn nội tiếp, bàng tiếp góc A tam giác ABC Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Chứng minh ID.JD ( RA r ) R Bài 26 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có trọng tâm G.GA, GB, GC cắt đường tròn (O) D, E , F Chứng minh 1 27 2 2 GD GE GF AB BC CA2 R ) Lấy điểm Bài 27 (USAMO 1998) Cho hai đường tròn A nằm đường tròn (O; R ) , qua A kẻ dây cung AC (O; R ) tiếp xúc với đường tròn (O; r ) điểm B.D trung điểm AB, d đường thẳng qua A cắt ( (O; R), (O, r ), (R r AM O; r ) E , F cho trung trực đoạn DE , CF cắt M �AC Tính CM Bài 28 (Phát triển USAMO 1998) Cho hai đường tròn (O; R), (O, r ), (R r R ) Lấy điểm A nằm đường tròn (O; R) , qua A kẻ dây cung AC (O; R) tiếp xúc với đường tròn (O; r ) điểm B.D trung điểm AB, d đường thẳng qua A cắt ( O; r ) E , F cho E thuộc đoạn AF , trung trực đoạn DE , CF cắt 33 M thuộc AC.S điểm đối xứng B qua A Trung trực SM cắt OM I Đường tròn ( I ; IS ) cắt ( M ; AB) X , Y Chứng minh B, X , Y thẳng hàng Bài 29 (IMO 2012 ngày 2).Cho tam giác ABC vuông C Gọi D chân đường cao hạ từ C Cho X điểm nằm miền đoạn thẳng CD Cho K điểm đoạn thẳng AX cho BK BC Tương tự L đoạn thẳng BX cho AL AC Cho M giao điểm AL BK Chứng minh MK ML Bài 30.Cho tam giác ABC , H trực tâm Gọi D, E , F điểm đối xứng với A, B, C qua trung điểm BC , CA, AB Chứng minh trung trực HD, HE , HF cắt BC , CA, AB theo ba điểm thẳng hàng Bài 31 ( Mathematical Reflection MR2-2007).Từ điểm P nằm bên đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (O), (A, B tiếp điểm) Gọi M trung điểm AP N giao điểm BM với (O), ( N �B) Chứng minh PN 2MN Bài 32 (Iran NMO 1996).Trên hai cạnh AB, AC tam giác ABC lấy điểm D, E cho DE song song với BC Gọi P điểm tùy ý bên tam giác ABC, đường thẳng PB, PC cắt DE F G Gọi (O1 ), (O2 ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PDG, PEF Chứng minh AP vng góc với O1O2 Bài 33 (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D, E , F điểm đối xứng A, B, C qua BC , CA, AB a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OAD, OBE , OCF qua điểm chung L b) Điểm đẳng giác với tâm đường tròn Euler tam giác ABC gọi điểm Kosnita K Chứng minh O, K , L thẳng hàng Bài 34.Cho đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua H vng góc với AB cắt đường trịn C Đường trịn đường kính CH cắt AC, BC (O) D, E F a) Chứng minh AB, DE CF đồng quy b) Đường trịn tâm C bán kính CH cắt (O) P Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng 34 Bài 35.Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC Gọi d đường thẳng qua D vng góc với đường thẳng AD Trên đường thẳng d lấy điểm M Gọi E, F trung điểm đoạn thẳng MB, MC Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường thẳng AB P, đường thẳng qua F vng góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng PQ ln qua điểm cố định M di động đường thẳng d Bài 36.Cho tứ giác ABCD có cạnh AB CD cắt I, AD BC cắt K a) Chứng minh trực tâm tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng b) Chứng minh trung điểm đoạn AC, BD, IK thẳng hàng C.PHẦN KẾT LUẬN Nội dung đề tài “Phương tích - Trục đẳng phương” xếp hệ thống số tập phát triển tập Bên cạnh chúng tơi cịn đưa luyện tập để củng cố lại ứng dụng trực tiếp tính chất hệ phương tích, trục đẳng phương Hi vọng mang lại phần hiệu cho thầy học sinh giải tốn hình học phẳng 2.Đề xuất ý kiến: -Tổ chức lớp tập huấn, bồi dưỡng giáo viên chuyên khu vực hè -Học sinh đội tuyển trường Chuyên khu vực tham gia học tập, giao lưu thường xuyên -Chuyên đề hình học phẳng dạy thường xuyên năm THPT chuyên Bài viết có tham khảo từ: [1] Tài liệu giáo khoa chuyên Toán 10 [2] Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10- Nguyễn Minh Hà [3] Tài liệu Internet [4]Lời giải bình luận đề thi VMO- Trần Nam Dũng [5] Một số tập từ kì thi IMO,VMO, khu vực Olympic nước 35 36 ... hàng 3.Nếu đường trịn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng II Ứng dụng phương tích trục đẳng phương II.1.Ứng dụng phương tích trục đẳng phương chứng minh ba điểm thẳng hàng ba đường... trùng trục đẳng phương cặp đường tròn lại Nếu hai trục đẳng phương cắt điểm điểm thuộc trục đẳng phương cịn lại 3.2.Các hệ 1.Nếu đường trịn đơi cắt dây cung chung qua điểm 2.Nếu trục đẳng phương. .. QT II.2.Ứng dụng phương tích trục đẳng phương tốn quỹ tích số tốn chứng minh tính chất hình học khác Giả sử cần tìm quỹ tích điểm M cách dùng kiến thức phương tích trục đẳng phương ta xử lí tình