Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đề giải tích 12 tập 2 (500 trang)

NGUYỄN PHÚ KHÁNH NGUYỄN TẤT THU – NGUYỄN TẤN SIÊNG NGUYỄN ANH TRƯỜNG – ĐẬU THANH KỲ ( Nhóm giáo viên chuyên toán THPT ) Dành cho thí sinh lớp 12 ôn tập thi Đại học, Cao đẳng Biên soạn theo nội dung cấu trúc đề thi Bộ GD &ĐT NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI XIN TRÍCH DẪN MỘT PHẦN TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Lũy thừa với số mũ nguyên: a Định nghĩa: Cho n số nguyên dương số thực a Khi đó: (tích n số a )  an  a.a a với a   a0  1  an  với a  an Ghi chú:  Với n  a n có nghĩa  a   Với a  a n  n a b Các tính chất đẳng thức: Với hai số thực a, b  m,n số ngun ta ln có:   aman  amn am a m m n n  a mn a n  ab   a n bn an c Các tính chất bất đẳng thức  Cho m,n số nguyên dương , ta có: n a an    b bn  b  0  Với a  am  an  m  n  Với  a  am  an  m  n Nhận xét: Với a  am  an  m  n  Cho  a  b số nguyên m , ta có: am  bm  m  am  bm  m  Nhận xét : Với  a  b am  bm  m   Nếu n số tự nhiên lẻ an  bn  a  b Căn bậc n a Định nghĩa: Với n số nguyên dương, bậc n a số thực b thỏa mãn: bn  a b Tính chất: Cho a, b  , hai số nguyên dương m,n hai số nguyên tùy ý p,q Ta có: n a.b  n a.n b n p a   a n p n m a  mn a Lũy thừa với số mũ hữu tỉ n n  b  0 b p q n n Nếu  ap  aq n m a  b a n a Định nghĩa: Cho số thực a  số hữu tỉ r  a  0 m ( m,n hai số nguyên n m n n  ) Khi ar  a n  a m Chú ý : Lũy thừa số mũ hữu tỉ định nghĩa cho số thực dương b Tính chất: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ tính chất lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa với số mũ thực a Định nghĩa: Cho số thực dương a  số vơ tỉ Khi tồn dãy số hữu tỉ  rn  có giới hạn  a  lim a n r n b Tính chất: Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ tính chất lũy thừa với số mũ nguyên Lưu ý :  Lũy thừa với số mũ nguyên âm mũ số khác không  Lũy thừa với số mũ hữu tỉ số thực số dương Logarit a) Định nghĩa: Cho a  0,a  1, b  loga b    a  b Đặc biệt: loga b    a  b b) Tính chất:  loga  lg b    10  b loga a  a  loga b   loga b  log a b loga  ln b    e  b  loga a   loga  x1x2   loga x1  loga x2 loga b  loga Đặc biệt: loga  log b   loga b b loga n b  a x1  loga x1  loga x2 x2 log a b n log a b  logc b log c a a   loga b  loga c  b  c    a   loga b  loga c   b  c Hàm số mũ a Định nghĩa: Là hàm số có dạng y  a x , a  gọi số b Tính chất: * Tập xác định: * Giới hạn – đạo hàm ex   Giới hạn: lim(1  )x  e lim  x0 x0 x x   Đặc biệt:  e  '  e    Đạo hàm: a x '  a x ln a Từ suy ra: a u '  u'a u lna x x   eu '  u'.e u * Tính đơn điệu: a  hàm đồng biến,  a  hàm nghịch biến Hàm số lũy thừa a Định nghĩa: Là hàm số có dạng: y  x ,   b Tính chất: * Tập xác định:  Nếu  số nguyên dương tập xác định  Nếu  nguyên âm tập xác định \{0}  Nếu  khơng số nguyên tập xác định (0; )     1 * Đạo hàm : x '  .x1 từ suy ra:  u(x)   '  u'(x)  u(x)    u'(x) Đặc biệt: n x '  n u(x) '  n n xn 1 n.n un 1 (x)     * Tính đơn điệu: Hàm đồng biến (0; )   nghịch biến (0; )   Hàm số logarit a Định nghĩa: Là hàm số có dạng: y  loga x ,  a  b Tính chất: * Tập xác định tập (0; ) * Giới hạn – Đạo hàm: ln(1  x) 1  Giới hạn: lim x0 x u' Từ đó, suy ra:  loga u  '   Đạo hàm:  loga x  '  x lna u lna u' Đặc biệt:  ln x  '   ln u  '  u x * Tính đơn điệu: Hàm đồng biến a  nghịch biến  a  B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN Dạng Tính giá trị biểu thức – Rút gọn Ví dụ 1.1.1 Rút gọn biểu thức A  (32) C 0,2      64  a b a4b  0,25 (  2) (  2)4  3    27  2 B  5  ab  D  ab  : 3  a b  a  ab a4b Lời giải     Ta có: A    (  2)| 2| 2 B  5  5   2  25      2   3 2( 1 ) 3  2   3  2    2 5 2 2 2      5 3  1 2   3 a3b  32  C a4b  a 4b a b  a4 a  b a b 3 D   a  ab  b2  ab  :   3 D   a  ab  b2  :      a  b  a  b a 3b    a3b 2 a3b  : a3b   Ví dụ 2.1.1 Rút gọn biểu thức E x  y        xy      4 2  a3 a  a3      F 1 1  a4 a4  a       Lời giải E  x2   y2   2x y   4x y   x2  y 2  2x y   F  3 a a  a a a a  a a   x   y   x  y a 1  a  a3  a  a2    1 a a 1 a a a 1  a  Ví dụ 3.1.1 Rút gọn biểu thức log 135 log A  log15 log 405 5 B  log  log 8.log   log 25 10  log 2 Lời giải log 135 log A   log 135.log 15  log 5.log 405 log15 log 405 5 A  log3  5.27  log3 15  log 5.log  27.15    log   log 15  log   log3 15  A   log 15  log   3.log B  log 32 15 3  3log3 2.log2 3  log52 10  21 log 51 25 1 5 1   log 3   log 10  log     log 25   2 2 2 Ví dụ 4.1.1 Rút gọn biểu thức 10 C  lg   20  lg  49  20     ln e  5ln e e 20  D log7 2.log6  log11 3.log6 11 log 3.log9 Lời giải 49  20  Ta có: C  lg   20 ln e 5    20  lg  3   52 lg (5  6)(5  6)     28 20 0  5ln e log7 log11  log7 log11  log  log  log 6 D    3 3 log 3.log 2 Ví dụ 5.1.1 Rút gọn biểu thức sau với điều kiện biểu thức tồn tại:   A  log 3b a  2log 2b a  log b a  loga b  logab b   log b a B C log 2a  log  log 2a 1 log a  log 42 a  log 2a 1    log n! log n! log n n! Lời giải   Ta có: A  log 2b a  2log b a  1  log b a.logab b   log b a  2   log b a  1     log b a loga ab    2   log b a  1     log b a  loga b   log b a     log b a  1     log b a  log b a   log b a  log b a    Ta có: B    log a  2(1  log a).log a  log 22 a  log 2a log 22 a  log a  log a log a  Ta có: C  logn!  logn!   logn! n  logn! (2.3 n)  Ví dụ 6.1.1 Tính log 36 24 , biết log12 27  a Tính log 24 15 theo a, b , biết log2  a, log  b Tính log 25 24 theo a, b , biết log6 15  a, log12 18  b Tính log126 150 theo a, b,c , biết log2  a, log  b, log5  c Lời giải a  log12 27  3log12  Suy log  3   log 12 log 22.3 log    3a 2a log  3a 2a   Ta có: log 36 24  log 36 23.3  3log 36  log 36 Hơn log 36  log 36  1 3a    log 36 log 1  log   2a 1 2a    log 36 log 1  log   2a Vậy, log 36 24  3log 36  log 36  log 24 15  log 24  log 24   3log   1  log 24 log 24 3log  log Hơn log  log 5.log  Vậy, log 24 15  9a  2a a 1  b   ab 1  log log ab 1 3log  log    3x  y  với x  log 2, y  log  2  y1 1   a  log 15  log  log  log log  log x  y  1  log  x  2y 1  b  log 18  log  log    12 12 12  log log 2x  y 2 1  log log  b2  2b , y Suy x  2b  a  ab  2b  a  ab  log 25 24  12 b5 4b  2a  2ab  log126 150  log126  log126  log126 Vậy, log 25 24   1 1     log 126 log 126 log 126 log 2  log  log  1  log  log 3  log log  log  log Từ giả thiết suy ra: log  1  , log2  log2 3.log3 5.log5  abc log a log3  log3 5.log5  bc , log  1  , log  log 3.log  ab log b  a  2ab  2a  abc CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tính giá trị biểu thức: Vậy, log126 150  A  7 B  log log7  log9 270  log9 10 D 1 log 1 0,2   101lg    5    lg  F  lg  49  20     ln e  5ln e e E  log a2 a C  a lg a  a loga 10   lg a loga 10  20 35 27  log 27 20  128 log7 2.log6  log11 3.log6 11 log 3.log9 Bài 2: Tính log 30 1350 theo a, b iết log30  a,log 30  b theo a, b iết log5  a,log  b 15 iết log6 15  a; log12 18  b Tính log 25 24 theo a, b Tính log iết a  log2 3; b  log Tính log 24 14 theo a, b Bài 3: Tìm m,n để biểu thức sau không ph thu c vào a, b    a 10  a   log A  3m log  a b   4n log 25    b    b   b2  B  m log7 49a6 b  3n log7    log7 ab  343a6    Bài 4: Chứng minh đẳng thức sau với điều kiện biểu thức tồn   logax  bx   loga b  loga x log x a  log x a   log x a n   loga x n  n  1 log x a Bài 5: Với giá trị x, y biểu thức sau không đổi với a, b  a b5 A  2x log  ab2 a b   3y log 32  log a   a b B  y log 3  a b2   4xlog 27 (81 ab2 )  6log ab   Dạng Chứng minh Đẳng thức – Bất đẳng thức Ví dụ 1.2.1 So sánh: 1 log log Lời giải           log 2 log log  log 3  log 3    log  log 2  2 1  log  log  log 2   3 2 1 log 2.log   log  log   log  log  ( theo Cô Si) 2  log 2.log   log   log log Ví dụ 2.2.1 Tìm a, b thỏa mãn đồng th i hai điều kiện sau: 2a  3b  21 2lg(a  3b)  lg  lga  log b Lời giải Điều kiện: a  3b  Ta có: 2lg(a  3b)  lg  lga  log b  lg(a  3b)2  lg(4ab)  (a  3b)2  4ab  2a  3b  21 2a  3b  21  Do đó, ta có hệ :  2  (a  b)(a  9b)  a  10ab  9b  2a  3b  21 a    a  9b  b  Ví dụ 3.2.1 Chứng minh rằng: 14 D  lg   20 ln e   lg  3  5ln e  20    lg        28 20  lg1 0 10 20 775 3      3 72 log7 log11  log7 log11  log  log  log 6 F    3 3 log 3.log 2 Bài 2: E Để ý : 1350  32.5.30 log 30 1350  log 30 32.5.30  log 30 32  log 30  log 30 30  2a  b  1  1 1     log  2   log 2  log  log 5   15   1 5a  b   a b  2 2 log 24  log 3 Ta có: log 25 24   log 25 log log 1  a  log  log  a  log 15  a log  Từ giả thiết     log 18  blog 12    b  log   2b  2b  log   5b  2b   log 25 24  ab  a  2b  ab   a  2b  1 lg   2b  log 14  log  Ta có: log 24 14  log 24  log Mặt khác: ab  log 3.log  log  log 24 14   ab 3a Bài 3: 1 6  2n  10 5   A  3m log a  log b  log a  log b   log a  log b         3  2n    3m  log a  log b    10 log a  log b   log a  log b 5 5     28  9m   3m 12n    4n   log a      log b 25      9m  55   4n   m  51  A không ph thu c vào a, b     3m  12n   n  25   25 34   B  m   log a  log b   2n  log b   log a      log7 a  log b   1 m 1   6m  12n   log7 a    4n   log b  2m  6n 2 2    10  m  6m  12n    33  B không ph thu c vào a, b    m 29   4n   n    264 Bài 4: loga bx loga b  loga x logax  bx    loga ax  loga x log x a  log x a   log x a n      n n  n  1  loga x loga x n    loga x loga x loga x Bài 5:  26x y   22x 11y     log a    Ta có: A    log b 20   15 20   15 5 Từ ta tìm được: x  ; y   2y 4x   4y 8x  16x    log a      log b  Ta có: B    21   21  Từ tìm được: x   63 27 ;y  16 Dạng Chứng minh Đẳng thức – Bất đẳng thức Bài 1: log 1   log 3 log0.3 0.2   log0.2 0.3 log  3log  4     log 16 3 35.104  53  35.1010  53.106  (300)5  (500)3  300500  500300   log  log log  814  25 125  49  19       log log  log 45 7  72  49 5   4    Bài 2: Từ giả thiết, ta có : a2  b2  c2  a2   c  b  c  b   loga a2  loga  c  b  c  b    loga  c  b   loga  c  b  2 1   log c  b a  log c  b a  log c  b a.log c  b a log c  b  a log c  b  a Từ giả thiết : a2  b2  7ab  a  b2  2ab  9ab  a  b   9ab 2 a b ab   ab  a  0, b     ab    ab  log 2012  log 2012 ab   log 2012 a  log 2012 b  3 a a  3b  Ta có: 2lg  a  3b   lg  lga  log b  lg a  3b   lg  4ab    a  3b   4ab   a  2a  3b  21 2a  3b  21   Ta có hệ :    b   a  b  a  9b   a  10ab  9b   4373 a  2b  33 a  81 b   2a  b   b   2185  81 Ta có: 3log a  2log 2 c  log b3  log2 a3  log2 c3  log b6  a3c3  b6  ac  b2 30 logx a  logx c  2logx b  logx ac  logx b2  ac  b2 logc b a  logcb a  2logc b a logcb a  1   loga  b  c  loga  c  b  loga  c  b  loga  c  b     lga  b  c   loga  c  b    loga c  b2   c2  b2  a2  c2  a2  b2  ABC vuông C Bài 3: Giả sử ba số lớn  log2012 a,log2012 b,log2012 c   logabc 2012  log 2012 a  log 2012 b  log 2012 c  log 2012 abc  logabc 2012  9logabc 2012  logabc 2012   abc  vơ lí ab ab Ta có:    log 2012 a  log 2012 b    ab  log 2012 4   Bài 4: a b ab ln a  ln b   ln a  ln b   ln ab  ln    ln   Đẳng thức xảy  a  b Ta có: a log b c c log b c log b a a log b c logc a c loga b logc a b  2a; b c Tương tự: a C ng ba ĐT lại với nhau, ta có: a log b c logc a b c loga b c log b a loga b c loga b 2 c log b a loga b  2b  a  b  c  3 abc Đẳng thức xảy Bài 5: ất đẳng thức cho trở thành: log a log  b  c   log b2 log  c  a   log c2 log  a  b     1   hay a  b  ab a b Suy log2  a  b   log  ab  , tương tự log2  b  c   log  bc  Vì a, b,c  nên log2  c  a   log2  ca  Đặt x  log2 a, y  log2 b,z  log c suy x, y,z  Khi VT   log a log b log c 2y 2x 2z      log bc log ca log ab y  z z  x x  y  2c Ta cần chứng minh: Thật vậy, 2y 2x 2z    ; x, y,z  yz zx xy 2y 2x 2z   3 yz zx xy  1    2x  2y  2z     9 xy yz zx Áp d ng bất đẳng thức trung bình c ng trung bình nhân cho vế trái, ta điều phải chứng minh x, y,z  Đẳng thức xảy  tức a  b  c  x  y  z Bài 6: y x Đặt a  , b  với a  0, b  Khi : P   a  b3  ab2  ba ab a  b2 Áp d ng bất đẳng thức trung bình c ng trung bình nhân tử mẫu 4ab  2 a  b3  ab2  ba   a  b   a  b     a  b  ab ab   ab a  b2   ab ab  a  b  2ab a  b2  2   Suy P  Vậy, P  , a  b tức x  y  1 1 Ta có:  a     a  a    a  a  2 4  1 Tương tự : b2  b  ,c2  c  ,d2  d  4 1   1  1 a, b,c,d   ;1   l oga b2  loga  b    loga  b    log a b 4        1  1 Tương tự : log b  c    log b c,logc  d    logc d, 4      1 logd  a    logd a  F   loga b  log b c  log c d  log d a   4   MinF   a  b  c  d  2 log x a  2b  a  2b   log x ab     ab   32   a2  5ab  4b2   a  4b do a  b  P  29 36 Bài 7: 2 2  1 3sin x  3cos x  3sin xcos x  Giả sử ba số lớn  log2010 a,log2010 b,log2010 c   logabc 2010  log 2010 a log 2010 b  log 2010 c  log 2010 abc  logabc 2010  9logabc 2010  logabc 2010   abc  vơ lí a b ab Ta có:    log a  log b    ab  log   Bài 8: 1 Xét hàm số f(x)  ln(1  x)  x  x2 với x  x2 1 x   x  1 x x1  f(x)  f(0)  x   (1) Có f '(x)  Chứng minh tương tự câu Dạng Tìm tập xác định hàm số Bài 1:   0 1 ln   x   x    x   D  1;  x   x    x   ln  x  x2     x  x2     x  2 x2    2   x     x   x2      x   D   3;  3x     x    1 2  x  2x2  5x        x   D  1;   x  1 x      x   x      x  4x    x1       x   D    ;1 2     25  4x   x   2  0  2x   x        D    ;   \0   0  3x   x     x       0  3x       D    ;   \  ,0       x   ; x  1   4x    Bài 2: 4  x  2  x  1    D  [  2; 1)  (1; 2] Điều kiện:  x  0 1  x   x  x2  4x     D  [3; ) Điều kiện: 0  x   x    x2   x   Điều kiện:  x   D  (3; ) 1  x   0  x  Điều kiện:   D  ( 1  17 ; )   x  2x   Bài 3: Hàm số xác định với x   x2  mx   (3)     x x1  x  mx   (4)  2  x x1 x2   3m   x     x  x  2m  x        0  m    m 1  m   2 x    9m  12m       4m  12m   34 Điều kiện: 2x2  3x  2m   x  Điều kiện: x2  2mx  m  x2  m  x  17 16  1  m   x2  mx  0  Điều kiện:  3x  2mx  2m  x   3x  2mx  2m   , không tồn m Dạng Tính giới hạn đạo hàm Bài 1: H  lim x0 ex  x 1 1  lim x0  ex   x 1 1   x1 1  x1 1  ex  ex  lim x    1.2  Vì lim 1 x0 x x0 x x0   I  lim    ln  tan x  lim cot x ln  tan x x0  sin x x0  H  lim  I  lim  ln  tan x x0 tan x     Vì lim x  x0   ln  u  x  u  x    1  x    e ln1x    ln 1  x  x x  ln 1  x   ln 1 x e     ln 1  x  J  lim  x0  ln   x  x  * 1  x    e ln(1x)   a   xa   * a x  xa  aa ax a   aa    a        a  xa 1  a   x a x a a x a  a 1     aa a xa xa xa a a  xa 1  a   x a a  a 1 a  K  aa lim  a lim   aa ln a  aa 1 a  aa ln xa xa x  a xa e a Bài 2:  2x  1' y'   2x  1 3 y'  y'  6x2  5.5  2x  1 3x ln x 3cos 3x 10 10 sin9 3x x x 2 1 1 ln   y        y'  x ln x ln  ln  ln   5 5 x ln 5 y'   3x  3x 2  2 2x  x2  2x  y'  e 6x    3x  2x  1 ln  2x     ln  x  2x    ln  x  2x    2x  ln  x2 y  ln   x2   y'    2x  '  2x  x2  2x   4x2  12 x4  2x   2x   ' x 1 x   3x 1  3x  1 'ln  x   x      2x  e x 1  x    33 x     '      33x ln    Dạng Ứng dụng – chứng minh đẳng thức – bất đẳng thức Bài 1: Ta có y'  cos x.esin x  y''   sin x.esin x  cos2 x.esin x  y''   sin x.y  cos x.y'  y'cos x  y.sin x  y"  đpcm Ta có: y'   tan x  y''  1  tan2 x  1  y'.tan x  y'.tan x  y''   x    x ' 1 x    x   0;1 , ta có y'   x x x  x    x   1 x 36 x  x ln 1x  x x e  1 x x 1 x   Ta có: y'  3cos  ln x   sin  ln x   x  sin  ln x   cos  ln x  x  x  Suy y' 1  x  e y  y'  cos  ln x   sin  ln x   y''   sin  ln x   cos  ln x  x x   Do đó: x2 y'' xy' 2y  x2  sin  ln x   cos  ln x   x  x  x 7 cos  ln x   sin  ln x   2x 3cos  ln x   4sin  ln x   7xsin  ln x   xcos  ln x   7xcos  ln x   xsin  ln x   6xcos  ln x   8xsin  ln x   Bài 2: 1.Ta có: f '  x   ex   f '  x    x  Lập bảng biến thiên, ta thấy f  x   f    x  Xét hàm số f  x   e x   x  f '  x   ex   x  x  x2 với x  , ta có: (theo kết câu 1)  f  x   f    x  đpcm Xét hàm số f  x   ln 1  x   x  x2 với x  x2 1 x   x  1 x x1  f  x   f    x   1 Có f '  x   Bài 3: x  0,x  Ta có: y  x log x  x  ln x   ln x  ln  y'  ln   ln x ln x  ln x   ln x   y'   ln     ln x    ln x    x  e  ln x  Vậy bất phương trình có nghiệm :  x  e x  y'   2x  1 e  x x   , y''  4x  4x  e  x x   y' y' 2y   4x2  6x  e  x x   2x  3x    x  ,x   x  x2   '   2x   Khi đó: 2x.y'   1 y'    x2 x  x2  x2   x   2x   x2   x  4x   x Bài 4: Hàm số cho xác định : x4  3x2    1  x  Ta có : y'  4x3  6x   2x 2x2   x  3x  x  3x  Trên khoảng  1;1 : y'   x  Lập bảng biến thiên, ta thấy: hàm số đồng biến khoảng  1;  nghịch biến khoảng  0;1 Bài 5: Hàm số đồng biến khoảng  0;    2a3  3a2  2a       a  1 2a  5a     a  1 a  1 2a       a  1 a  2a y'   5x x2   2x2  5x  x2  x   y'    x   Lập bảng biến thiên, ta có :  1 Hàm đồng biến khoảng  ;   2;   2  1  Hàm nghịch biến khoảng  ;  2     x   2b y'  5x ln  x2   x   5x     5x  x2   x   ln          x2    x 1   x2   x  x2  x     y'  x  Ta có:  1  ln  0 ln    x2  x2   Vậy hàm số đồng biến Bài 6: 38 y  y  1  2, max y  y 1  12 y  y  1  18 Bài 7:    b c d a d c b a b c d a d c b a a b c d  a d c b  ln a b c d  ln a d c b   blna  cln b  dlnc  alnd  dlna  clnd  blnc  aln b   d  b  ln c  lna    c  a  lnd  ln b    Nếu c  a b  d Thì bất đẳng thức ln Xét c  a b  d c d ln ln ln c  ln a ln d  ln b a b Khi đó:       ca db c  d  a   1 b   1 a b     Xét hàm số: f  x   x   x ln x ln x 1;   ta có: f '  x   x 1 x  x  1 Đặt: g  x   x   xln x  g'  x    ln x  0, x   g  x  nghịch biến 1;    g  x   g 1  f '  x   0, x  1;    f  x  nghịch biến 1;    c d c d  f    f       a b  a  b c d c d ln ln ln ln a  b  a  b  c d c  d  đpcm 1  a   1 b   1 a b a  b  xy xy  1,t   tx  x  y  y  x  t  1 x x 2x  t  1 2y t 1  2 Do đó: 2x  y 2x  x  t  1 t 1 Đặt: t  ài toán trở thành chứng minh: ln t  t 1 với t  t 1  t  1  t  1  Xét hàm số: f  t   ln t  , t  f 't   t  t  12 t  t  12 t 1  t  1  f  t   f 1  t  hay ln t  2 t 1 với t  đpcm t 1 ất đẳng thức cần chứng minh  Xét hàm số f  t    ln t ln b 1 b  ln a  a2 , 0t 1  t2  1  t  2t ln t  t  2t ln t t Ta có: f '  t    2  t2 t  t2     Do  t   ln t   f '  t   t  0;1  f  t  hàm đồng biến  0;1 nên với  b  a  ta có f  b  f a   ln b lna  (đpcm) 1 b  a2 ất đẳng thức cần chứng minh tương đương với b a      1 ln   1 ln   1  bln   1  a ln   1   a b ln   1 Xét hàm số : f  t   , t   0;    a   b  a 2  a   2  b   1     b b a a a b b  1 t t Ta có : f '  t   t t      1 ln  4t  ln 4t  t2 t  0;   Vậy : a  b   f  a   f  b      0, t  nên hàm số nghịch biến   ln   1  1 ln 4a  b a b Bài 8: Trước hết, ta chứng minh: x  x    với x  Thật vậy: Ta có f  x  hàm liên t c D   0;   f '  x   x      x  1 , x   f '  x    x  Vì f '  x  đổi dấu từ  sang  x qua x  nên f  x   f 1  x  Hay x  x    1, x  Đẳng thức xảy  x   a k  bk Tiếp theo, ta chứng minh :    k a  b     40    a k  bk  k a b 2a k 2bk Đặt m    2  ,x  , y   xk  y k    m m a k  bk a k  bk    trở thành: x  y    k       1 k x  1 , y  yk k   yk    k k C ng  1   theo vế ta đước x  y  suy   chứng minh Ta có: x  xk  1 Áp d ng   ta :  a k  bk     k  bk  c k       1  k  ck  ak  k a  b b  c c  a   abc        2    k k Ta có: a k bk a k  bk  a k 1  a  a k  1  a    f a    k k Xét hàm số : f  a   a k 1  a  a k  1  a   , a   0;1   k k k 1 k f '  a   ka k 1 1  a  a k  1  a    ka k 1  a  a k  1  a       k k  a k 1  a   ka k 1  k 1  a      f '  a    a  Lập bảng biến thiên ta đpcm Xét hàm số: f  x   ln    x2    ln x, x    x Ta có: f '  x     x2   x x2  x2   f  x  hàm tăng  0;     x2  1      f  x   x  Mặt khác: lim  ln x  x x   Xét hai hàm số f  x   ln 1  x   x g  x   ln 1  x    xa  Xét hàm số f  x     xb  f '  x x b x với x  x1  xa  ln f  x    x  b  ln   xb   x a  b a  xa  ba  ln   f '  x   ln   f x   f  x xb xa   x b xa  b  a  xa  ba Đặt g  x   ln   g'  x     suy g  x  nghịch  xb xa x  a x  b     biến, mà lim g  x    g  x   0, x   f '  x   x b a Suy f  x  đồng biến 0;    f  x   f      , x  b  x Ta có:  x   2 y y y 3 y  y x 2 xy   x    y  1      2xy 1      2   2      x x   x    y    x  x    y  y  1      1      1      1      2   2   2   2          1  ln  a x  ln  a y 1 Trong a  x y         a t ln a t   a t ln  a t t  0, t  Đặt f  t   ln  a  f '  t   t t2 Vậy f  t  nghịch biến  0;   mà x  y   f  x   f  y   1 nên   bất đẳng thức chứng minh x 1  x  1 x1 Ta có xx    x ln x  (x  1)ln 0     xln x  (x  1)ln(x  1)  (x  1)ln  Khảo sát hàm số f(x)  xln x  (x  1)ln(x  1)  (x  1)ln với x  ta có điều phải chứng minh 42 ... a2  b2  ABC vuông C Bài 3: Giả sử ba số lớn  log2 0 12 a,log2 0 12 b,log2 0 12 c   logabc 2 0 12  log 2 0 12 a  log 2 0 12 b  log 2 0 12 c  log 2 0 12 abc  logabc 2 0 12  9logabc 2 0 12  logabc 2 0 12. .. 2b , y Suy x  2b  a  ab  2b  a  ab  log 25 24  12 b5 4b  2a  2ab  log 126 150  log 126  log 126  log 126 Vậy, log 25 24   1 1     log 126 log 126 log 126 log 2  log  log ... log 2 0 12  log 2 0 12 ab   log 2 0 12 a  log 2 0 12 b  3 a a  3b  Ta có: 2lg  a  3b   lg  lga  log b  lg a  3b   lg  4ab    a  3b   4ab   a  2a  3b  21 2a  3b  21