phân loại và phương pháp giải toán 12 chương 2: hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Nội dung tài liệu gồm hầu hết các dạng toán vềhàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit thường gặp ở chương trình phổ thông. Học sinh 12 có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các kì thi học kì, tốt nghiệp, đại học. Giáo viên Toán sử dụng tài liệu này để giảng dạy.

HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

 Để so sánh s1a và s2b Ta sẽ đưa 2 căn đã cho về cùng bậc n (với n là bội số chung của s1 và s2 ) ⇒ Hai

số so sánh mới lần lượt là n A và n B Từ đó so sánh A và B ⇒ kết quả so sánh của s1a và s2b

 Công thức lãi kép: Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì ⇒ Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C = A ( 1 + r )N

- 2 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

4

4 5

1/ (a−1)−23 <(a−1)−13 2/ ( 2 a + 1 )−3 > ( 2 a + 1 )−1 3/

0,2 2

1

a a

2 6 4

6 4 2

4 2 3

- 4 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

Bài 10 Giải các phương trình sau:

- 6 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

Logarit thập phân: lgb =logb =log10b

Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb =loge b

b/ Tính chất

Cho a >0,a ≠1và b c, >0 Khi đó:

7 1

10/ log 5 3 log 36 9 4 log 7 9

lg tan1 lg tan2 lg tan89

Bài 2 Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán

1/ Cho log 2712 = a Tính log 166 theo a

2/ Cho log 142 = a Tính

49 7

3/ Cho log 52 = a ; log 32 = b Tính log 1353 theo a b,

4/ Cho log 315 = a Tính log 1525 theo a

5/ Cho logab = 3 Tính

3log

b a

b a

ab

b a

8/ Cho log 27 = a Tính 1

2log 28 theo a

9/ Cho logab = 13 Tính logb 3 2

8 theo a b,

11/ Cho lg 3=a; lg 2=b Tính log12530 theo a b,

12/ Cho log 330 = a ; log 530 = b Tính log 135030 theo a b,

13/ Cho log 714 = a ; log 514 = b Tính log 2835 theo a b,

14/ Cho log 32 = a ; log 53 = b ; log 27 = c Tính log14063 theo a b c, ,

16/ Cho log 527 = a ; log 78 = b ; log 32 = c Tính log 356 theo a b c, ,

17/ Cho log 1149 = a ; log 72 = b Tính 3

7

121log

- 8 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

4

2log

5 và 5

2

3log4

1 log 23

13/ log log log

- 10 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

1.2/ Giới hạn đặc biệt

( )10

1

x x

ln 1

x

x x

n

n n

u u

x x

2

x

x

x x

x

x

x x

3

x

x

e x

+

=

2 5 2

21

x

−

=+Với x > 0nếu nchẳn

Với x < 0nếu nlẻ

- 12 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

11

; '' 2 ' 2

y =e + e− y − y− y =Bài 6 Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:

1 2

1.2/ Phương pháp giải một số phương trình mũ thường gặp

Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: ( 0, 04 )x = 625 53 ( ) 1

ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ & LOGARIT HÓA

Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng a f x( ) =a g x( )

Với a > 0,a ≠1thì a f x( ) =a g x( ) ⇔ f x( )=g x( ) Trường hợp cơ số acó chứa ẩn thì:

- 14 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

4/ Giải phương trình: 32x−1.15 53x −3x 39

= ( )4( ) 2 1 3 ( 3 3 ) 23 5 1 23 2 1

5

x x

- 16 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

- 18 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

Cách 3: Phương pháp ước lượng 2 vế (dùng bất đẳng thức Cauchy)

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 9sin2 9cos2 2 9sin2 .9cos2 2 9 6

Côsi

10/ Giải phương trình: 41 2 sin− 2x 9.4−2 cos2x 5

- 20 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

Đặt: 7

0 5

- 22 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: 3x = −5 2x ( )1

Ta có: x =1là một nghiệm của phương trình( )1

Mà f x( )=3x đồng biến trên ℝ và g x( )= −5 2x đồng biến trên ℝ

⇒Phương trình ( )1 có một nghiệm duy nhất là x =1

Với x <2⇔ f x( )> f( )2 = ⇒1 ( )2 ' : vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x =2

Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của f x( )và g x( )để kết luận xolà nghiệm duy nhất:

o f x( )đồng biến và g x( )nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt)

x x

⇒ = − là nghiệm duy nhất của phương trình( )1'

Vậy phương trình( )1 có hai nghiệm là x = 0; x = − 1

4x + x −7 2x +12−4x =0 ( )2Đặt: 2x2 0

- 24 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

32

f x

– 0 + ( )

f x

11 11

1 Với x ∈ −( 3; 0)⇒ f '( )x <0 : f x( ) nghịch biến

Nếu x < − ⇔1 f x( )>f( )−1 =3⇒( )2 ' : vô nghiệm

Nếu x > − ⇔1 f x( )<f( )−1 =3⇒( )2 ' : vô nghiệm

⇒x ∈ −( 3; 0) thì phương trình( )2 ' có nghiệm duy nhất là x = −1

Với x ∈(0;+∞ ⇒) f'( )x >0 : f x( ) đồng biến

Nếu x < ⇔1 f x( )<f( )1 = 3⇒( )2 ' : vô nghiệm

Nếu x > ⇔1 f x( )> f( )1 = 3⇒( )2 ' : vô nghiệm

⇒x ∈(0;+∞) thì phương trình ( )2 ' có nghiệm duy nhất là x =1

Vậy phương trình( )2 có 4 nghiệm là: x = ± 1; x = ± 2

ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM VÀ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Phương pháp đối lập: Xét phương trình: f x( )=g x( ) ( )1

Nếu ta chứng minh được ( )

Bài giải tham khảo

- 26 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

( )

12

x x

Vậy nghiệm của phương trình( )2 là x = ±1

Cách 2: Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử

x

π π

x = ⇒ là nghiệm duy nhất của phương trình( )1'

Thí dụ 3 Giải phương trình (dùng phương pháp đối lập)

Khi đó, g x( )được viết lại là g t( ) t 4 , t 1; 4

1

1 3

77

- 28 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

- 30 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

- 32 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

Bài 12 Tìm tham số mđể các phương trình sau có nghiệm duy nhất

Bài 14 Tìm tham sốmđể các phương trình:

1/ m 16x + 2.81x = 5.36x có hai nghiệm dương phân biệt

− + = có ba nghiệm phân biệt

Bài 15 Giải phương trình và tìm tham số

m

a/ Giải phương trình( )∗ khi m =4

b/ Tìm msao cho phương trình( )∗ có 2 nghiệm phân biệt

a/ Giải phương trình( )∗ khi m =2

b/ Tìmmđể phương trình ( )∗ có 2 nghiệm trái dấu

a/ Giải phương trình( )∗ khi m =3

b/ Tìmmđể phương trình ( )∗ có duy nhất một nghiệm

5/ Cho phương trình:

21

13

a/ Giải phương trình ( )∗ khi m = −1

b/ Tìmmđể phương trình( )∗ có 4 nghiệm phân biệt

- 34 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

a/ Giải phương trình ( )∗ khim = −1

b/ Giải và biện luận phương trình ( )∗ theo tham sốm

a/ Giải phương trình ( )∗ khi m =7

b/ Biện luận theomsố nghiệm của phương trình( )∗

8/ Tìm tham sốmđể phương trình

4 21

15

c/ Giải và biện luận phương trình đã cho

10/ Cho phương trình: m.4x −(2m+1 2) x +m+4=0 ( )∗

a/ Giải phương trình( )∗ khi m =0và m =1

b/ Tìm tham sốmđể phương trình( )∗ có nghiệm

c/ Tìm tham sốmđể phương trình( )∗ có nghiệm x ∈ − 1;1

  11/ Cho phương trình: 4x − m 2x+1 + 2 m = 0 ( )∗

a/ Giải phương trình ( )∗ khi m =2

b/ Tìm tham sốmđể phương trình( )∗ có hai nghiệm phân biệtx x1, 2và thỏa mãnx1+ x2 = 3

Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

 Đưa về phương trình dạng đặt biệt

 Phương pháp đối lập

3 Lưu ý

Khi giải phương trình logarit, cần chú ý đến điều kiện để phương trình có nghĩa Nếu điều kiện ấy quá phức tạp, ta không nên tìm ra chi tiết Hiển nhiên, khi tìm được nghiệm nên thế vào điều kiện để kiểm tra nghiệm Với a b c, , >0vàa b c, , ≠1thì:

a

b b

a

c c

Thí dụ 1 Giải các phương trình logarit sau (áp dụng công thức logarit đưa về cùng cơ số)

1/ log 23( x −1)= −2 2/ log2(x +2)−log2(x−2)=2

−

Nếu β lẻ Nếu β chẳn

- 36 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

Điều kiện:

11

273

x x

0 0

x x

Thí dụ 2 Giải các phương trình logarit (đưa về cùng cơ số)

- 38 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

x x

x x

x x

- 40 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

x x x

11/ log4(x +3)−log4(x−1)= −2 log 84 12/ lg(x−2)+lg(x −3)= −1 lg 5

Bài 2 Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số)

log x−1 +log x +1 = +1 log 7−x

13/ log2x + log3x + log4x = log20x 14/ log2x + log3x + log5x = log2x log3x log5x

- 42 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

1logx+ 2x +2x −3x +1 =3

Bài 5 Giải các phương trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ hoàn toàn)

23/ log 3( x − 2 log ) 5x = 2 log3( x − 2 ) 24/ ( ) ( 1 )

log x − x −1 log x + x −1 =log x− x −1

Bài 6 Giải các phương trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ không hoàn toàn)

log x +3x +2 +log x +7x +12 − −3 log 3=0

Bài 7 Giải các phương trình logarit (sử dụng công thức biến đổi, đặt ẩn phụ)

3/ log2 1 2 log 3

5/ log22x−log2x+log3x−log log2x 3x =0 6/ log7x =log3( x +2)

7/ log2(x −3)+log3(x−2)=2 8/ log3(x +1)+log 25( x +1)=2

- 44 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

2log x− x −1 +3 log x + x −1 =2

3log x = −x 4

Bài 9 Giải các phương trình logarit (đưa về phương trình tích hoặc dùng phương pháp đối lập)

1/ log2x + 2 log7x = + 2 log2x log7x 2/ log2x log3x + = 3 3.log3x + log2x

x x

x x

x x

x x

1/ Tìm tham số mđể phương trình: log 42( x ) 1

5/ Cho phương trình: log23x + log23x + −1 2m− =1 0

a/ Giải phương trình khi m =2

b/ Tìm mđể phương trình có ít nhất một nghiệm trên 1; 3 3

 

2

a/ Giải phương trình khi m =1

a/ Giải phương trình khi m =2

b/ Tìm mđể phương trình có nghiệmx x1, 2 thỏa: 2 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 4

- 46 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

9/ Tìm tham số mđể phương trình: ( ) 2( ) ( ) ( )

m− −x − m− −x +m+ = có hai nghiệm phân biệtx x1, 2thỏa: 0 < x1 < x2 < 2

2

a/ Giải phương trình khi m=0

b/ Tìmmđể phương trình có nghiệm trên( )0;1

a/ Giải phương trình với m=2

b/ Tìm tham số mđể phương trình có hai nghiệm phân biệtx x1, 2thỏa: 5 1 2

4

2 ≤x <x ≤15/ Tìm α ∈(5;16), biết rằng phương trình:

- 48 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

1 3 9

+ ≥ ( )7 8/ 32x 8.3x+ x+4 9.9 x+4 0

Bài giải tham khảo

2 2

- 50 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

Đặt t = 3x > 0 Khi đó: ( )

0

04

t t

1

22

0 2

0

2 1

4

x x

Đặt 3x x 4 0

4

4 2 2

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < −1

Thí dụ 3 Giải các bất phương trình mũ sau:

- 52 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

( ) ( ) ( )

0

2 2

x x

x x

33

− +

- 54 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

1

22

2 1

x x

xx

Bài 4 Giải các bất phương trình logarit (đưa về cùng cơ số)

5/ log 13( −2x)≥log 53( x −2) 6/ log 15( − 2 x ) < + 1 log 5( x + 1 )

7/ log 12( −2 log9x)<1 8/ log 15( −x)<log5(x +3)

5

x x

+

1 4 3

x

>

++

Bài 5 Giải các bất phương trình logarit sau:

- 56 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

1logx+ x + −x 6 ≥0

21/

( )

22

2

x

Bài 6 Giải các bất phương trình logarit (đặt ẩn phụ)

x

2 4log x +log x <0

+

>

1 log 2.log 2

x x x

+

3 3

4 log

5

0 7

- 58 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

y x

− +

28 7 2

x y x

xy x y

- 60 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

4 3

16

x x

x

π

π π

- 62 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

x y

1log log

3

x y

1

x y

- 64 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

x x+

3

1100

12

x x

11/

2 1

3 1

+ + −     + ≥

- 66 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

01

x x

x x

+ + >

y

x xy

- 68 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

1

x y x

+

=

−a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )C

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆: 3x − + =y 2 0 c/ Chứng minh rằng đường thẳng d y: =x +m luôn cắt ( )C tại 2 giao điểm phân biệt

Câu 2 Giải các phương trình và bất phương trình sau:

1 2 3

x x

+ +

Câu 5 Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), ∆ABC là tam giác vuông tại A Gọi H, K là hình chiếu vuông

góc của A trên BC, SH Biết AB =3 ,a BC =5 ,a SBhợp với mặt phẳng đáy 1 góc bằng600

a/ Tính thể tích của khối chóp S ABC

b/ Chứng minh rằng: (SAH) (⊥ SBC)

c/ Chứng minh rằng: AK ⊥(SBC)→d A SBC( ,( ) ) ?

d/ Tính khoảng cách từ trọng tâm G của ∆ABC đến mặt phẳng (SBC)

e/ Xác định tâm I và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Câu 1 Cho hàm số y = −x3 +3x2−1 ( )C

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆: 9x + =y 0

c/ Dựa vào đồ thị( )C , hãy biện luận theomsố nghiệm của phương trình: x3 − 3 x2 + − 2 m = 0

Câu 2 Giải các phương trình và các bất phương trình sau:

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA, vuông góc với mặt đáy, SB=3a và I là

trung điểm của SC

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành

c/ Dựa vào ( )C , tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt x4−2x2 +log2m=0

Bài 2 Giải các phương trình và bất phương trình sau:

y = −mx + m− x−m+ có hai cực trị đều dương

Bài 5 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng600 GọiI là

trung điểm củaBC và Olà tâm của mặt đáy, H là hình chiếu vuông góc củaOtrênSI

a/ Tính thể tích của khối chóp S ABCD

b/ Chứng minh rằng: mp SOI( )⊥mp SBC( )

c/ Chứng minh rằng: OH ⊥(SBC) Tính khoảng cách từ điểm Ođến mặt phẳng(SBC)

d/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )C khi m =3

- 70 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

c/ Tìm các điểm thuộc( )C để tiếp tuyến của( )C tại điểm đó có hệ số góc bằng 2

d/ Gọi M là điểm bất kỳ thuộc( )C Tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A

và B Chứng minh rằng: M là trung điểm của AB

Câu 2 Giải các phương trình và các bất phương trình sau

4

x x

c/ Dựa vào đồ thị( )C , hãy tìm kđể phương trình: x3 −3x2 +3 log3k =0 có 3 nghiệm phân biệt

d/ Viết phương trình tiếp tuyến với( )C , biết tiếp tuyến vuông góc với ∆:x +3y+12=0

Câu 2 Giải các phương trình và các bất phương trình sau:

a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

c/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu qua 4 điểm S, A, B, C Tính diện tích mặt cầu này

Câu 1 Cho hàm số y =x4 −2m x2 2 +1 (C m)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số( )C khi m=1

b/ Dùng( )C biện luận số nghiệm của phương trình x4− 2 x2 + − 2 3 a = 0

c/ Viết phương trình tiếp tuyến của( )C tại điểmM ∈( )C có tung độ bằng 1 và hoành độ âm

d/ Tìmmđể( )C m có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

Câu 2 Giải các bất phương trình và phương trình sau:

−

≤ +

Câu 3 Cho y=e sin x Chứng minh rằng: y' cosx −ysinx−y''=0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số y =e sin x trên đoạn 0;

Câu 4 Cho hình chópS ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật cóAB =a AC, =a 5, hai mặt bên(SAB)và

(SAD)cùng vuông góc với đáy, góc giữaSC và mặt đáy bằng 600

a/ Tính thể tích của khối chópS ABCD

b/ GọiM là trung điểm củaSB N, là điểm trên cạnhSC vớiNC =2NS Tính thể tích của khối chóp

d y =kx+ cắt( )C tại 3 điểm phân biệt

Câu 2 Giải các phương trình và các bất phương trình sau:

x y

... data-page="10">

- 10 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT