Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đề giải tích 12 tập 1 (500 trang)

NGUYỄN PHÚ KHÁNH NGUYỄN TẤT THU – NGUYỄN TẤN SIÊNG NGUYỄN ANH TRƯỜNG – ĐẬU THANH KỲ ( Nhóm giáo viên chuyên toán THPT ) Dành cho thí sinh lớp 12 ôn tập thi Đại học, Cao đẳng Biên soạn theo nội dung cấu trúc đề thi Bộ GD &ĐT NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Lời nói đầu Các em học sinh thân mến! “ Bài giảng trọng tâm theo chuyên đề giải tích 12 – tập “ thuộc sách “ Bài giảng trọng tâm theo chuyên đề : lớp 10,11,12 “, nhóm tác giả chuyên toán THPT biên soạn Với cách viết khoa học sinh động giúp bạn đọc tiếp cận với môn tốn cách tự nhiên, khơng áp lực, bạn đọc trở nên tự tin động hơn; hiểu rõ chất, biết cách phân tích để tìm trọng tâm vấn đề biết giải thích, lập luận cho toán Sự đa dạng hệ thống tập tình giúp bạn đọc ln hứng thú giải toán Tác giả trọng biên soạn câu hỏi mở, nội dung bám sát sách giáo khoa cấu trúc đề thi Đại học, đồng thời phân tập thành dạng tốn có lời giải chi tiết Hiện đề thi Đại học khơng khó, tổ hợp nhiều vấn đề đơn giản, chứa nhiều câu hỏi mở không nắm lý thuyết lúng túng việc tìm lời giải tốn Với tốn, khơng nên thỏa mãn với lời giải vừa tìm mà phải cố gắng tìm nhiều cách giải cho tốn đó, cách giải có thêm phần kiến thức ơn tập Mơn Tốn môn ưa phong cách tài tử, phải tài tử cách sáng tạo thông minh Khi giải tốn, thay dùng thời gian để lục lọi trí nhớ, ta cần phải suy nghĩ phân tích để tìm phương pháp giải tốn Đối với Tốn học, khơng có trang sách thừa Từng trang, dòng phải hiểu Mơn Tốn đòi hỏi phải kiên nhẫn bền bỉ từ tập đơn giản nhất, kiến thức Vì kiến thức giúp bạn đọc hiểu kiến thức nâng cao sau Giờ đây, nhớ tới câu nói Ludwig Van Beethoven: “ Giọt nước làm mòn tảng đá, khơng phải giọt nước có sức mạnh, mà nước chảy liên tục ngày đêm Chỉ có phấn đấu khơng mệt mỏi đem lại tài Do ta khẳng định, khơng nhích bước khơng xa ngàn dặm” Mặc dù tác giả dành nhiều tâm huyết cho sách, song sai sót điều khó tránh khỏi Chúng tơi mong nhận phản biện góp ý quý báu quý độc giả để lần tái sau sách hồn thiện Thay mặt nhóm biên soạn Chủ biên: Nguyễn Phú Khánh XIN TRÍCH DẪN MỘT PHẦN TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A.TĨM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa : Giả sử K khoảng , đoạn nửa khoảng Hàm số f xác định K gọi :  Đồng biến K với x1 ,x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2   Nghịch biến K với x1 ,x2  K, x1  x2  f  x1   f  x2  Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I  Nếu hàm số f đồng biến khoảng I f '  x   với x  I  Nếu hàm số f nghịch biến khoảng I f '  x   với x  I Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý : Giả sử I khoảng nửa khoảng đoạn , f hàm số liên tục I có đạo hàm điểm I ( tức điểm thuộc I đầu mút I ) Khi :  Nếu f '  x   với x  I hàm số f đồng biến khoảng I  Nếu f '  x   với x  I hàm số f nghịch biến khoảng I  Nếu f '  x   với x  I hàm số f không đổi khoảng I Chú ý :  Nếu hàm số f liên tục a; b  có đạo hàm f '  x   khoảng  a; b  hàm số f đồng biến a; b  Nếu hàm số f liên tục a; b  có đạo hàm f '  x   khoảng  a; b  hàm số f nghịch biến a; b   Ta mở rộng định lí sau Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I Nếu f '(x)  với x  I ( f '(x)  với x  I ) f '(x)  số hữu hạn điểm I hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) I Chú ý Vận dụng định lí vào hàm số thường gặp chương trình P(x) *Nếu hàm số f hàm đa thức (khơng kể hàm số hằng) f(x) = (trong P(x) Q(x) đa thức bậc hai , Q(x) đa thức bậc P(x) không chia hết cho Q(x) hàm số f đồng biến (nghịch biến ) K  x  K,f '(x)  (f '(x)  0) ax  b với a,b,c,d số thực ad – bc  cx  d hàm số f đồng biến (nghịch biến ) K  x  K,f '(x)  0(f '(x)  0) *Nếu hàm số f hàm biến , f(x)  B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề Xét tính đơn điệu hàm số Phƣơng pháp B1.Tìm tập xác định hàm số f B2 Tính đạo hàm f ’(x) tìm điểm x cho f '(x0 ) = f '(x0 ) không xác định B3 Lập bảng xét dấu f '(x) ,dựa vào định lí ,nêu kết luận khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số Ví dụ 1.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: y  x3  2x2  x  y  x3  6x2  9x  3 Lời giải TXĐ: D Ta có: y'  4x2  4x    2x  1 1 y'  với x  2 Giới hạn: lim y   lim y   : y'  với x  x  x x Bảng biến thiên: x   y'    y  17   1 1  Vậy : hàm số y đồng biến nửa khoảng  ;   ;   2     Từ suy hàm số đồng biến TXĐ: D Ta có: y'  3x2 – 12x   x  1, y 1  : y'     x  3, y    3 Giới hạn: lim y   lim y   x  x Bảng biến thiên: x – x 10 + y’ + – + + y – Vậy : hàm số y đồng biến khoảng khoảng  1;3  –3  ;1  3;    , nghịch biến Ví dụ 2.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: 1 y   x4  x2  y   x4  x3  4x  4 Lời giải TXĐ: D Ta có: y'  x3  3x  x(x2  3)  y'   x  Bảng xét dấu:   +  Vậy, hàm số y đồng biến khoảng (; 0) , nghịch biến (0; ) x y' TXĐ: D Ta có: y'  x3  3x2   y'   x  1,x  Giới hạn: lim y   lim y   x x Bảng biến thiên x y'  + -1    y   Vậy, hàm số y đồng biến khoảng (; 1) , nghịch biến khoảng (1; ) Ví dụ 3.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: 2x  x2 y  y  x 1 x 1 Lời giải TXĐ: D  Ta có: y'  \1 (x  1)2  0, x  D , y' không xác định x  Vậy, hàm số y đồng biến khoảng  ;1 1;   ( hay hàm số y nghịch biến khoảng xác định ) TXĐ: D  \1 Ta có: y'  1 (x  1)2  0, x  D , y' không xác định x  Vậy, hàm số y nghịch biến khoảng  ;1 1;   ( hay hàm số y nghịch biến khoảng xác định ) Ví dụ 4.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: y  x2  4x  x1 Lời giải TXĐ: D  Ta có: y'  y  4x2  5x  x1 \1 x2  2x  y'   x  2,x  (x  1)2 Giới hạn: lim y   lim y   , lim y   lim y   x1 x x Bảng biến thiên  x y' + 2 0 x1 1    0 +   y   Vậy, hàm số y đồng biến khoảng: (; 2) (0; ) , nghịch biến khoảng: (2; 1) ( 1; 0) TXĐ: D  Ta có: y'  \1 4x2  8x  y'   4x2  8x   x  0,x  2 (x  1) Giới hạn: lim y   lim y   , lim y   lim y   x Bảng biến thiên:  x y' + x1 x 2 x1 1   12 0  + 11   y   Vậy, hàm số y đồng biến khoảng: (; 2) (0; ) , nghịch biến khoảng: (2; 1) ( 1; 0) Ví dụ 5.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: y  x2  4x   2x  y  x2  2x  Lời giải TXĐ: D  Ta có: y  (x2  2x  3)2  y'  2(x  1)(x2  2x  3) (x2  2x  3)2 y'   x  , hàm số khơng có đạo hàm x  1,x  ( Bạn đọc xem tác giả giải thích ý ) Bảng xét dấu:  x y'  1 || + || +   Vậy, hàm số y đồng biến khoảng ( 1;1) (3; ) , nghịch biến (; 1) (1; 3) Nhận xét:  Bài tốn xét tính đơn điệu hàm số chuyển toán xét dấu biểu thức ( y' )  Khi tính đạo hàm hàm số có dạng y  f(x) ta chuyển trị tuyệt đối vào thức y  f (x) , điểm mà f(x)  hàm số khơng có đạo hàm TXĐ: D  2  x  4x   4x   x  x   x  Ta có: y   2  x  4x   4x   x  8x  x  Khi x  (;1) (3; ) : y'  2x  y'   x   (;1) (3; ) Khi x  (1; 3) : y'  2x   y'   x   (1; 3) f '(1 )  Tại x = ,ta có:  Vì f '(1 )  f '(1 ) nên f’(1) không tồn  f '(1 )     f '(3 )  Tại x = ,ta có :   f '(3) không tồn   f '(3 )  Vậy, hàm số y đồng biến khoảng (0; ) nghịch biến khoảng (; 0) Ví dụ 6.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: y  4x  y  4x2  Lời giải TXĐ: D  Ta có: y'  12x  y  12x2  3x2  x  x2  x  \1;1 16x2  40x  16  4x 4   y'   x  2 x    1 Vậy, hàm số y đồng biến khoảng  2; 1 ,  1;   nghịch biến     khoảng  ; 2  ,   ;1  , 1;     TXĐ: D  Ta có: y'  36x2  6x   6x  1 2 Với x  : y'   x   1 x  Bảng xét dấu: x    y'     1 Trên khoảng   ;  : y'   y đồng biến khoảng  3  1  ;  ;  3  1 1  Trên khoảng  ;    ;   : y'   y nghịch biến khoảng 2 3    1 1   ;    ;   2  3  TXĐ: D  Ta có: y'  2x2  4x x  x1 Với x  : y'   x  x  Trên khoảng  0;  : y'   y đồng biến khoảng  0;  ; 14 Vậy phương trình có hai nghiệm: x  1,x   Ví dụ 3.3.1 Giải phương trình: (x  1)3  (5x  x2 )3  5x  x2  3(x  1) Lời giải Phương trình cho  5x  x2  ( 5x  x2 )3  3(x  1)  (x  1)3 (1) Điều kiện : 5x  x2    x  Đặt u = 5x  x2 , u  v  x  ,v  Phương trình (1) trở thành : 3u  u3  3v  v3 (2) Xét hàm số f  t   3t  t , t  (0; ) , phương trình (2) có dạng f  u  f  v Ta có f '(t)   3t  với t  (0; ) nên f(t) đồng biến (0; ) Suy (2)  u  v Do (1)   x  1 5x  x2  x    2  5x  x  x  2x   x  1   x  1 x   2x  3x    1 Vậy tập nghiệm phương trình cho 1;   2 x3  3x2  9x  22  y  3y  9y  Ví dụ 4.3.1 Giải hệ phương trình:  2 x  y  x  y   Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2012 Lời giải Trước hết, tốn có nhiều cách giải ( 15 cách giải ) Trong khuôn khổ ứng dụng đạo hàm, tác giả giới thiệu đến bạn đọc cách giải đơn giản x3  3x2  9x  22  y  3y  9y  2 Cách 1: Hệ phương trình cho viết lại:  1  1 x   y      1 2  2  1 ,v  y  2  3 45 3 45 u  u  u   v  1   v  1   v  1 Hệ cho thành  4 u  v   Đặt u  x  45 Xét hàm f  t   t  t  t với t  45 Ta có f '  t   3t  3t   với t   1;1 v  1 v   f  u   f  v  1  u  v    v  1  v2    hay  u  u  v  1 1 3 Với    x; y    ;   2 2 u  v  3 1 Với    x; y    ;   2 2 u   1  3  Hệ cho có nghiệm  x; y    ;   ;  ;   2 2 2 2 Cách 2: Ta có: x3  3x2  9x  22  y3  3y2  9y   x  1  12x  23   y  1  12y 3   x  1 12  x  1   y  1  12  y  1 1 3 x2  y2  x  y   1  1   x     y    2 2  2   1    x    1  x     x1       2   Từ   nhận thấy  1  1  y     y   1 y       2 2  Từ  1 , xét f  t   t  12t với t   2;   f '  t   3t 12  0, t   2;  (vì x  1,y    2;  ) nên  x  y  Thay x  y  vào   ta được:  y  2  y2   y    y  21  y2  y   1 y   ; x   y   ;x  2 2  1  3 Hệ cho có nghiệm  x; y    ;   ;  ;   2 2 2 2 Cách 3:  x   12 x   y   12 y          2 Ta có hệ cho tương đương với:   1  1  x     y    2  2  28 a  12a  b3  12b  2 Đặt a  x  1, b  y  ta hệ:  1  1  a     b    2  2     2 1  a    a a     1  1    2  Từ  a     b        1 2     1  b     b  b2       2  Xét hàm số f  t   t  12t , ta có f  t  hàm liên tục   f '(t)  t   0, với t  Nên từ a3  12a  b3  12b ta có a  b a  b  2 Do đó, hệ cho   ab 1  1  a     a     2  2   1  3 Vậy nghiệm hệ cho là:  x; y    ;   ,  ;   2 2 2 2 x2   x4  2x2   x5  có Ví dụ 5.3.1 Chứng minh phương trình : nghiệm Lời giải Từ phương trình cho suy x5  x2   x4  2x2   x2   (x2  1)2   x  Xét hàm số f  x   x2   x4  2x2   x5 , hàm số f liên tục [1; ) phương trình (1) có dạng f(x)  f(1)     Vì  nên phương trình 1  lim f(x)  lim x (  10     1)   x x x x x x x f  x   có nghiệm thuộc (1; ) Lại có : f '(x)  x  4x3  2x  5x4  x(  2)  x3 (4  5x)  với x 1 x 1 x [1; ) Suy hàm số f  x  nghịch biến [1; ) Vậy phương trình f  x   có nghiệm CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh phương trình: x5  5x   có nghiệm x5  x2  2x   có nghiệm 2x2 x   11 có nghiệm x x5   2012  có hai nghiệm dương phân biệt x2  Bài 2: Tìm m để phương trình (x2  2x)3  3(x2  2x)2   m  có nghiệm Bài 3: Giải hệ phương trình : x3   3y   y   3x  x  x  y  y   4x  5y CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 4: Giải phương trình : x3  x2  10x   7x2  23x  12  x2  x3  3x2  4x   8x  6x   x  3x  3x  x 2x    6x   8x3  4x  1  2 x 1 8x  15  2x  2  x  x   tan x với   x   0;   2 sin x  16 cos6 x  cos4 x 54  51cos x Bài 5: Giải bất phương trình: 3x   9x2     4x      x  x2       2x  13  32 3x 3x 3x x5  32  x3   62  65 (x  2)(2x  1)  x    (x  6)(2x  1)  x  2x3  3x2  6x  16    x  18x  19   4 2x3  x3 Bài 6:     Giải phương trình: sin3 3x sin  x    cos  3x   cos3 x  4 4   Cho n  số thực a1 ,a2 , ,an ,a không đồng thời không n  số thực b1 , b2 , , bn , b Chứng minh phương trình f  x   có nghiệm n có nhiều hai nghiệm Trong f(x)   k x  bi  (ax  b) k  i 1 số tự nhiên chẵn 30 Bài 7: Giải hệ phương trình :   2x   2y   x  y  2  x  12xy  9y   Bài 8: Giải hệ phương trình : x2  x  y     y  y  z    z  z  t    t  t  x   (1) (2)  2(2x  1)  2x   (2y  3) y  2    4x   2y   x  y  y  y    y  z3  z2  z   z  x  x  x   sin 2x  2x  sin 2y  2y Bài 9: Giải hệ phương trình :  2  x  4xy  5y   x  5x   Bài 10: Giải hệ bất phương trình :   x  3x  9x  10  Bài 11: Cho phương trình x3  ax2  bx  c  a   (1) có ba nghiệm phân biệt Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt 4(x3  ax2  bx  c)(3x  a)  (3x2  2ax  b)2 (2) Bài 12: Tìm nghiệm thuộc ( 1; ) phương trình : x  sin x  x2  2 x1 Vấn đề Xác định tham số để phƣơng trình ,bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình có nghiệm Tính chất 1: Số nghiệm phương trình f(x)  g(m) số giao điểm đồ thị y  f(x) đường thẳng song song với trục Ox y  g(m) Tính chất 2:  Bất phương trình f(x)  k có nghiệm D k  maxf(x) ( Nếu tồn max f(x) ) D D  Bất phương trình f(x)  k có nghiệm D k  f(x) ( Nếu tồn f(x) ) D D  Bất phương trình f(x)  k nghiệm với x thuộc D k  f(x) ( Nếu tồn f(x) ) D D  Bất phương trình f(x)  k nghiệm với x thuộc D k  maxf(x) ( Nếu tồn max f(x) ) D D Ta thường gặp toán sau Bài tốn 1: Tìm m để phương trình F(x,m)  có nghiệm D Phương pháp: Biến đổi phương trình dạng: f(x)  g(m) Khi phương trình cho có nghiệm đường thẳng y  g(m) cắt đồ thị hàm số y  f(x) Chú ý: Nếu hàm số y  f(x) liên tục a; b  phương trình f(x)  g(m) có nghiệm a; b  khi: f(x)  g(m)  maxf(x) [a;b] [a;b] Bài tốn 2: Tìm m để phương trình F(x,m)  có k nghiệm D Phương pháp: Biến đổi phương trình dạng: f(x)  g(m) Khi phương trình cho có k nghiệm D đường thẳng y  g(m) cắt đồ thị hàm số y  f(x) k điểm có hồnh độ thuộc D Bài tốn 3: Tìm m để bất phương trình F(x,m)  có nghiệm D Phương pháp: Biến đổi phương trình dạng: f(x)  g(m) ( f(x)  g(m) ) Khi bất phương trình cho có nghiệm D g(m)  maxf(x) (hoặc g(m)  f(x) ) với điều kiện tồn D D maxf(x) ( f(x)) D D Bài toán Tìm m để bất phương trình F(x,m)  nghiệm với x thuộc D Phương pháp: Biến đổi phương trình dạng: f(x)  g(m) ( f(x)  g(m) ) Khi bất phương trình cho nghiệm với x D g(m)  maxf(x) (hoặc g(m)  f(x) ) với điều kiện tồn : D D maxf(x) ( f(x)) D D Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định ẩn phụ giải toán ẩn phụ miền xác định vừa tìm Cụ thể: * Khi đặt t  u(x),x  D , ta tìm t  Y phương trình f(x,m)  (1) trở thành g(t,m)  (2) Khi (1) có nghiệm x  D  (2) có nghiệm t  Y * Để tìm miền xác định t ta sử dụng phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định t miền giá trị hàm u(x) ) Tóm lại: Khi giải tốn phương trình – bất phương trình liên quan đến tham số mà ta lập tham số vế ta sử dụng phương pháp hàm số Ví dụ 1.4.1 Chứng minh với giá trị dương tham số m phương trình phương trình x2  2x   m(x  2) có hai nghiệm thực phân biệt Lời giải Điều kiện: x  Khi phương trình cho tương đương với : 32  x    x3  6x2  32  m    x   x3  6x2  32  m Chứng minh : x3  6x2  32  m có nghiệm thực thuộc khoảng (2; ) Xét hàm số: f(x)  x3  6x2  32 , với x   f '(x)  3x2  12x  0, x  Bảng biến thiên :  x f '(x) f(x) +  Từ bảng biến thiên ta thấy với m  phương trình f(x)  m có nghiệm x  Vậy với m  phương trình cho có hai nghiệm thực Ví dụ 2.4.1 Tìm tất giá trị m để phương trình: mx2   cos x có   nghiệm x   0;   2 Lời giải Ta thấy để phương trình có nghiệm m  Khi đó: x sin cos x   2m Phương trình  m x2 x 2     sin t Xét hàm số : f(t)  với t   0;  t  4 Ta có: f '(t)  t.cos t  sin t t  cos t  t  tan t  t    với t   0;   4    2  f(t) hàm nghịch biến  0;  Mà: f      4 4 x sin 2  x   0;   lim f(t)    f(t)      2 t 0   2  x 2      2m  Vậy phương trình có nghiệm x   0;   2  2  m 2 Ví dụ 3.4.1 Tìm m để bất phương trình m  x2  2x     x(2  x)  có   nghiệm x  0;1     Lời giải Đặt t  x2  2x   (x  1)2   t  [1; 2] x  0;1     Khi bất phương trình cho trở thành: m(t  1)  t   m  Xét hàm số f  t  [1; 2] , ta có: f '(t)  t  2t  (t  1)2 t2   f(t) t 1  t  [1; 2] Bất phương trình cho có nghiệm x  0;1     có nghiệm t  [1; 2]    m  max f(t)  f(2)  [1;2] Ví dụ 4.4.1 Tìm m để bất phương trình : (4  x)(6  x)  x2  2x  m nghiệm x  4;6 Lời giải Đặt t  (4  x)(6  x)   t  4x6x  Khi bất phương trình trở thành: t  24  t  m  t  t  m  24 (*) Yêu cầu toán  (*) nghiệm t [0; 5] Xét hàm số f(t)  t  t với t [0; 5] , ta thấy f  t  hàm đồng biến 0; 5 Suy max f(t)  f(5)  30 t[0;5] Vậy (*) nghiệm t [0; 5]  m  24  30  m  6  2x  y  m  (1) Ví dụ 5.4.1 Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm (2)   y  xy  Lời giải Ta thấy x  không nghiệm hệ nên y   Ta có: (2)  xy   y   y  4y  x  y  Thay vào (1) ta được: y2  4y  4y  ym0m  f(y) (3) y y Hệ có nghiệm  (3) có nghiệm y  Xét hàm số f  y  với y  34 Ta có: f '  y   y2   f  y  đồng biến khoảng (; 0)  (0; 2] ; lim f(y)  4; lim f(y)  ; lim f(y)   y0 y y0 Ta có bảng biến thiên: y  f '(y) + +  f(y)   hệ có nghiệm  m  (; 2]  (4; )   x y 3 Ví dụ 6.4.1 Tìm tất giá trị tham số a để hệ    x5  y3 a nghiệm (x,y) thoả mãn điều kiện x  Lời giải Điều kiện : x, y  x    t  Đặt t  x  y   t ,  y  Khi (2) trở thành: a  t   t  6t  12  f(t) (3) Xét hàm số f(t) với t  2; 3 , có f '(t)  t t2   f '(t)   t (t  3)2   (3  t) t  2 2 2  t3 t  6t  12 (*)  t (t  3)  3t  (3  t) t  5(3  t)  2t  30t  45  phương trình vơ nghiệm t  2; 3 Bảng biến thiên: t f '(t) + 14  f(t) Hệ có nghiệm  (3) có nghiệm t [1; 2]  a  f(t)  f(2)  [1;2] Vậy a  giá trị cần tìm CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP (1) (2) có Bài 1: Tìm giá trị tham số m để phương trình : x   x2  3x  m  Có nghiệm thực Có nghiệm thực dương Bài 2: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : (x2  2x)3  3(x2  2x)2   m  CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 3: Tìm giá trị tham số m để phương trình : 2x   m x2  2x  có nghiệm x  4x2   2mx   3x có hai nghiệm Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x  x  12  m  5x  4x  x2   x  m tan2 x  cot x  m(tan x  cot x)   Bài 5: Tìm giá trị tham số m để phương trình : x    x  2x2  6x  36  m có nghiệm 3x2   2x   mx có nghiệm 2x  Bài 6: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực : 2x  2x   x   x  m Tìm m để phương trình sau có nghiệm  x2   x2  16  x4  m   x2   x2   m   Bài 7: Cho phương trình: x2  34x  a  (x  1)(x  33)  1 Giải phương trình a  64 Tìm a để phương trình có nghiệm Bài 8: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình : m 2x2   x  m có nghiệm x   (2m  1) x2  2x  có nghiệm x  6x  9x  m  5m  nghiệm với x  8x3 x6  3x4  3x2   4x2 x4  2x2    m  có nghiệm 1  2x   x   m   2x2  5x  3 x2  3x   m  x2  3x  nghiệm với x    nghiệm x    ; 3   36  x  3x   Bài 9: Tìm m để hệ bất phương trình  có nghiệm x  3x x  m  15m    Bài 10: Tìm k lớn thỏa mãn:   k sin x  cos x   sin 2x  cos x  sin x  2; x  Vấn đề Chứng minh bất đẳng thức Phƣơng pháp Cách 1: Biến đổi BĐT cho dạng f(x) > ( < 0, ) với x  D Lập bảng biến thiên f(x) với x  D Từ suy điều phải chứng minh Cách 2: Biến đổi BĐT cho dạng f(a)  f(b Nếu a  b chứng minh f(x) hàm số đồng biến *b;a+ Nếu a  b chứng minh f(x) hàm số nghịch biến *a;b+ Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có dạng f(x)  k, x  a; b  * Nếu k  f(a) ta chứng minh hàm f đồng biến  a; b  * Nếu k  f(b) ta chứng minh hàm f nghịch biến  a; b    Ví dụ 1.5.1 Chứng minh : sin x  x x  0;   2 Lời giải   Xét hàm số f(x)  x  sin x, x  0;  , ta cần chứng minh f(x)   f(0),  2 0x  điều gợi ý cho ta chứng minh f(x) đồng biến    0;   2    Thật vậy: f '(x)   sin x  x  0;  ,f(x)   x  2      f(x) đồng biến 0;   f(x)  f(0)  đpcm  2 Ví dụ 2.5.1 Chứng minh : 3x  x3  , x  2;  Lời giải Xét hàm số f  x   3x  x3 , x    2;  Ta có: f '  x    3x2 , khoảng  2;  : f '  x    x  1 x  Từ bảng biến thiên, ta kết luận: hàm số đồng biến đoạn   1;1 nghịch biến đoạn   2; 1 , 1;  Vì 2  f  1  f  x  f  2  , x    2; 1 Nên 2  f  1  f  x   f 1  , x    1;1 2  f    f  x   f 1  , x  1;  Từ suy f  x   , x  2;  Ví dụ 3.5.1 Cho x, y số không âm thoả mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P  y x  y1 x1 Lời giải y x2  x  y2  y  x  y   2xy  x  y  2xy x P     y  x  xy  x  y  xy  x  y   xy 2 xy (vì x  y  ) Đặt t  xy   t       Xét hàm số f  t   6  1  2t  1  0, t  0;  ,t  0;  Ta có f '  t   2t  4  4 2  t 1 Vậy f  t   f    , max f  t   f    1   0 t  0 t  P  x  y  maxP  x  0, y  x  1, y   x  y  m Ví dụ 4.5.1 Biết  x; y  nghiệm hệ:  Tìm giá trị 2  x  y  m  lớn nhỏ biểu thức F  xy   x  y  Lời giải  x  y  m Từ hệ  tương đương với 2  x  y  m  Theo định lý Vi – et đảo x, y t  tu  m2     Phương trình   x  y  m  x.y  m  nghiệm phương trình có nghiệm   nghĩa 3m2  12   2  m  Với 2  m  hệ cho có nghiệm  x; y  F  m2  3m  Dễ thấy, F'  2m   với m   2;  suy F nghịch biến đoạn   2;  F  2   13 , F    11 Vậy, minF  11 m  maxF  13 m  2 38 Ví dụ 5.5.1 Biết  x; y  nghiệm hệ phương trình : x  y  m  2 x  y  m  4m  Tìm giá trị lớn nhỏ ( có ) : x  0, y  0;  m   T   x  y   6xy  x  y   39m  Lời giải S  m Đặt S  x  y,P  xy Hệ cho trở thành:  P  2m  Hệ có nghiệm phương trình: t  mt  2m   có nghiệm  t1 ,t     m  thỏa toán   m  2   Khi T  m3   2m   m  39m   m3  12m2  21m  3  Ta xét hàm số f  m   m3  12m2  21m  đoạn  ;  2  3  Ta có f '  m   3m  24m  21  0, m   ;   f  m  đồng biến 2    511 3  đoạn  ;  f    , f    100 2 2  511 Vậy: T  f  m   m  max T  max f  m   100 3  3  m ;2 m ;2 2    m2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh rằng: sin a sin b   với  a  b  a b  x2  cos x với x  2      tan x  sin x  3x x  0;   2   3sin x  tan x  tan3 x  9x  x   0;   2 Bài 2: Chứng minh rằng:   x2 x4   x   0;   x   0;  cos x   24  2  2 CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 3: Chứng minh rằng: sin x  x  x3 3! tan x   với x   0;     cos x x cos x(4  cos x)  2   sin(cos x)  cos(sin x) x   0;   2 a  b  c  (a  b  c) với a  b  c  0,   4(sina  sin b)  6(tana  tan b)  10(a  b)  , biết a, b hai số thực thuộc    0;  , a  b  2 Cho a, b,c ba số thực thỏa điều kiện a  , b  8 , c  Chứng minh x  1,x4  ax2  bx  c   Bài 4: Cho số thực x, y,z   0;  Chứng minh :  2 1 1 1 12       3 2 2 2 sin x sin y sin z x y z 2 Bài 5: Cho a, b,c,d số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A abcd  abcd abcd abcd Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh rằng: xyz  xy  yz  zx  Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x  1, y   x  y   4xy  1   Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P  x3  y     x2 y2    Bài 6: Chứng minh : tam giác ABC thoả mãn hệ thức 13 tam giác ABC cos A  cos B  cosC   cos A  cos B  cosC Cho tam giác ABC có A  B  C Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M x  sin A x  sin B   x  sin C x  sin C 40 ...Lời nói đầu Các em học sinh thân mến! “ Bài giảng trọng tâm theo chuyên đề giải tích 12 – tập “ thuộc sách “ Bài giảng trọng tâm theo chuyên đề : lớp 10 ,11 ,12 “, nhóm tác giả chun... u   1  3  Hệ cho có nghiệm  x; y    ;   ;  ;   2 2 2 2 Cách 2: Ta có: x3  3x2  9x  22  y3  3y2  9y   x  1  12 x  23   y  1  12 y 3   x  1 12  x  1 ...   y  1  12  y  1 1 3 x2  y2  x  y   1  1   x     y    2 2  2   1    x    1  x     x 1       2   Từ   nhận thấy  1   1  y 