CHUYÊN đề PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OPQ, OMP và OMQ bằng nhau.. Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng..  Nếu hai

1

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

I Phương tích của một điểm đối với một đường trịn

1 Định lí 1

Cho đường trịn (O; R) và điểm P cố định, OP = d Một đường thẳng thay đổi qua P cắt

đường trịn tại hai điểm M và N Khi đĩ: 2 2 2 2

PA PB PO R d R

Chứng minh

Gọi M là điểm đối xứng của M qua O Ta cĩ

MN NM 

Khi đĩ:

2 2

2 2

PM PN PM PN PM PN công thức hình chiếu

PO OM PO OM

PO OM PO OM

PO OM

PO R





 

M'

M

O

N

P

2 Định nghĩa

Phương tích của điểm M đối với đường trịn (O;R), kí hiệu P O/  , được xác định bởi

  2 2

/

P O OP R

3 Các tính chất

Tính chất 1:

 Nếu A, B cố định và AB AM const  thì M cố định

 Điểm P nằm ngồi (O; R)  P O/  0

 Điểm P nằm trong (O; R)  P O/  0

 Điểm P nằm trên (O; R)  P O/  0

Tính chất 2:

Cho đường trịn (O; R) và một điểm M nằm trên (O) Qua M kẻ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MT tới (O) Khi đĩ MA MB MT  2MO2R2

Tính chất 3:

Cho hai đường thẳng AB, CD phân biệt, cắt nhau tại M, M khác A, B, C, D Khi đĩ nếu

MA MB MC MD thì bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường trịn

2

Chứng minh

Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD tại D Khi đó, ta có MA MB MC MD   Suy ra MD MD   D D 

Tính chất 4:

Cho hai đường thẳng AB, MT phân biệt cắt nhau tại M, M khác A, B, T Khi đó nếu

2

.

MA MB MT thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT tại T

Ví dụ 1: (Phương tích trọng tâm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Xác định phương tích của trọng tâm G của tam giác ABC với (O) theo các cạnh BC = a, CA = b, AB = c

Giải:

G là trọng tâm tam giác ABC OA OB OC     3OG

         

Ta có

2 OA OB OA  OB AB  2R c ; 2OB OC   2R a ; 2OC A  2R b .

Suy ra

/

Ví dụ 2: (Phương tích trực tâm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Xác định phương tích của trực tâm H của tam giác ABC đối với (O) theo R và các góc A, B, C

Giải

Xét trường hợp tam giác ABC nhọn

Gọi K, A lần lượt là giao điểm của AH với

BC, (O) Áp dụng định lí sin cho tam giác

AHB,

.cos c.cos

2 cos

HA



Tương tự ta cũng có HB 2 cosB.R

C'

H

B'

K A' A

3

Vì BHA C BA A        BHA cân tại B



Do tam giác ABC nhọn nên H O/   HA HA   HA HA    8 cos cos cos R2 A B C

Trường hợp tam giác ABC vuông hay tù chứng minh tương tự

Nhận xét

Ví dụ 3: (Hệ thức Euler)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) và ngoại tiếp đường tròn (I; r) Đặt OI = d Chứng minh rằng OI2R22Rr

Giải

Gọi E là tiếp điểm của AB và (I; r), A là giao điểm của

AI và (O; R) Ta có



2

IA

A IAE

Vì  ;  1800  

IBA  BIA  AIE BIE   nên

A IB

 cân tại A IA BA  

Áp dụng định lí sin cho tam giác BAA,

BA R IA R Do điểm I nằm trong

(O; R) nên

2 sin

2

I O

A



E

I

A' O A

Ví dụ 4:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và B M là trung điểm của AB Các đường cao AH, BK của các tam giác AMD, BMC cắt nhau tại N Chứng minh MN CD

Giải

Cách 1

4

Gọi E là giao điểm của MN và CD Từ giả thiết ta

suy ra tứ giác MHNK nội tiếp  MHK MNK  1

Ta có MH MD MA  2MB2 MK MC.

HDCK

 nội tiếp MHK MCD   2

Từ (1) và (2) suy ra MNK MCD   NKCE nội tiếp

NEC NKC

H

E

N M

A

B

D

C

Cách 2

Ta có

2 2

MN MC MK MC MK MC MB

MN MD MH MD MH MD MA

   

Mà MB = MC nên MN MC MN MD     MN CD    0 MN CD

Cách 3

 



Từ (1) và (2) suy ra MD2MC2ND2NC2MN CD

Vì dụ 5

Cho tam giác ABC, một đường tròn cắt cạnh BC tại A A1, 2; cắt cạnh CA tại B B1, 2; cắt cạnh

AB tại C C1, 2 Chứng minh rằng AA BB CC1, 1, 1 đồng quy khi và chỉ khi AA BB CC2, 2, 2 đồng quy

Giải

5

Ta có







1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

A B B C C A A B B C C A A C BA CB A C B A C B

A C B A C B A C B A C B

đồng quy khi và chỉ khi AA BB CC2, 2, 2 đồng quy

C2

C1

A1

B2

B1

A

Ví dụ 6

Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BB CC,  cắt nhau tại H, B C AH K , L là trung điểm đoạn AH Chứng minh rằng K là trực tâm tam giác LBC

Giải

M A'

K L

E

H

C'

B' A

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, A AK BC E AK ,   O

Ta có A B A C A E A A      A H A A   1 Gọi M là giao điểm của B C  và BC

Khi đó BCA M   1 C BCA M    1 A KHA  1

Theo hệ thức Maclaurin, A H A A A K A L     (L là trung điểm đoạn AH) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

                  

6

 

A LB A CK  CK LB

    Mà LK BC nên K là trực tâm tam giác LBC

Ví dụ 7

Cho đường tròn (O) và điểm I cố định nằm trong đường tròn, I khác O Một đường thẳng quay quanh I, cắt (O) tại A và B Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại M Chứng minh rằng M chạy trên một đường thẳng cố định

Giải

K

H

M

O A

B I

Gọi K là giao điểm của OM và AB, H là hinh chiếu của M trên đường thẳng OI

Khi đó tứ giác MKIH nội tiếp OK OM OI OH   1 Tam giác OAM có

 

Từ (1) và (2) suy ra

2 2

OI

   H cố định Vậy M chạy trên đường thẳng qua

H và vuông góc với OI tại H

Ví dụ 8

Cho đường tròn (O) tiếp xúc đường thẳng d tại H Hai điểm M, N di động trên d sao cho

2

HM HN  k ( k  0 cho trước ) Từ M, N kẻ tiếp tuyến MA và NB của (O) ( với A, B khác H)

a) Chứng minh rằng: Đường tròn (OMN) luôn đi qua 2 điểm cố định

b) Chứng minh rằng: Đường thẳng AB luôn đi qua 1 điểm cố định

Giải

d P

J

K

F E

I

N M

O

H A

B

7

a) Gọi P là giao điểm của OH với đường tròn (OMN), có HM HN HO HP  k2

Mà H, O cố định, k không đổi nên P cố định Vậy đường tròn (OMN) luôn đi qua hai điểm cố định O, P

b) Gọi IH là đường kính của (O); E, F là giao điểm của IA, IB với d Dễ thấy M, N lần lượt là trung điểm của EH, FH

Ta có HE HF 2.HM HN.2  4k2 Dựng đường tròn (IEF) cắt IH tại điểm thứ hai J

2

      J cố định

Trong các tam giác vuông∆IHE và ∆IHF Ta có 2

IA IE  IB IF  IH  Tứ giác ABEF nội tiếp

  IABEFB (cùng bù EAB )

Mà EFB EJI nên IAB EJI

Gọi K là giao điểm của AB và IJ, ta có tứ giác AKJE nội tiếp

2

I AKJE IA IE IK IJ IH

Vậy AB luôn đi qua điểm K cố định

Ví dụ 9

Cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) với B, C thuộc (O) Lấy điểm M bất kì trên AC (M, A khác phía so với C) Giả sử (O) cắt đường tròn (ABM) tại điểm thứ hai P, Q

là chân đường vuông góc hạ từ C xuống MB Chứng minh rằng: MPQ   2  AMB

Giải

Gọi P’ là giao điểm thứ hai của MP với (O), Q’ là giao điểm của OC và MB

Ta có MP MP '  MC2  MQ MQ '

Q' P'

Q P

A O

B

C M

8

 Tứ giác PQQ’P’ nội tiếp MPQ    P Q M ' '

Lại có

   

0

'

P BC MPC MPB BPC

MAB BCA BCA

 BP’//AC OC  BP '  OQ '  BP '

Mặt khác O thuộc đường trung trực của đoạn BP’ nên OQ’ là trung trực của BP’ Khi đó

P Q M  MBP  AMB(2)

Từ (1), (2)  MPQ   2  AMB

Ví dụ 10

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi P, Q, M là lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và DC, AD và BC, AC và BD Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OPQ, OMP và OMQ bằng nhau

Giải

Gọi S là giao điểm thứ 2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác PDA và PQ

Khi đó

SA SP,   AD PD,   AB BC, (4 điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn)

Suy ra S, A, B, Q cùng nằm trên đường tròn

d

T

N

J L

I

K

A

B

M

9

/ AS

Q/ CS

P QB

QB

PS PQ PA PB PO R

QS QP QA QD QO R

PQ PQ PS SQ QS QP PS PQ OQ OP R

   

   

      

Tương tự: 2 2 2 2

2

MQ OQ OM  R

Suy ra OP2 OQ2 MP2 MQ2 MOPQ

Tương tự ta chứng minh được OP  MQ suy ra O là trực tâm của tam giác MPQ

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OPQ, OMP và OMQ bằng nhau

II Trục đẳng phương của hai đường tròn

1 Định lí

Cho hai đường tròn không đồng tâm O R1; 1 , O R2; 2 Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng Đường thẳng này gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn đã cho

Chứng minh

Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường tròn bằng nhau

Gọi H là hình chiếu của M trên O1O2, I là trung điểm của O1O2 Ta có:

1 2

.2



M O M O MO R MO R

IH

O O

H

M

Từ đây suy ra H cố định, suy ra M thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với O1O2

2 Các tính chất

 Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường nối tâm

 Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương

 Nếu điểm M có cùng phương tích với hai đường tròn thì đường thẳng qua M và vuông góc với đường nối tâm là trục đẳng phương

10

 Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN

là trục đẳng phương

 Nếu ba điểm có cùng phương tích với hai đường tròn thì chúng thẳng hàng

 Nếu    O1 , O2 cắt nhau tại A thi đường thẳng qua A vuông góc với O O1 2 là trục đẳng phương

3 Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) không cắt nhau, ta có cách dựng trục đẳng phương của hai đường tròn như sau:

 Dựng đường tròn (O3) cắt cả hai đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại A, B và C, D

 Đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M

 Đường thẳng qua M vuông góc với O1O2 chính là trục đẳng phương của (O1) và (O2)

M

B

C

D A

O3

4 Tâm đẳng phương của hai đường tròn

a) Định lí

Cho 3 đường tròn    O1 , O2 và  O3 Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm, điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn

b) Các tính chất

 Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm

 Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng

 Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng phương trùng nhau

Ví dụ 11

11

Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua H

cắt đường tròn tại C Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC và (O) lần lượt tại D, E và F

a) Chứng minh rằng AB, DE và CF đồng quy

b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) tại P và Q Chứng minh rằng P, D, E, Q thẳng hàng

Giải

a) Ta có CA CD CH2 CB CE. , suy ra ADEB nội tiếp Xét các đường tròn (ADEB), (O) và đường tròn đường kính

CH, thì DE, AB và CF lần lượt là các trục đẳng phương của các cặp đường tròn trên nên chúng đồng quy

b) Ta có PQ là trục đẳng phương của ( C)

và (O) nên OCPQ Ta cũng dễ thấy

ODDEHơn nữa H chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O), ( C) và đường tròn đường kính CH Suy ra PQ đi qua H

Vậy DE, PQ cùng đi qua H và cùng vuông góc với OC nên trùng nhau Hay D, E, P, Q thẳng hang

Ví dụ 12

Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đường tròn đường kính AC và

BD cắt nhau tại X, Y Đường thẳng XY cắt BC tại Z Lấy P là một điểm trên XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ 2 là M, và BP cắt đường tròn

đường kính BD tại điểm thứ 2 là N Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui

Giải

P

Q

M E

D

C

O

12

Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và AM với XY Ta cần chứng minh QQ

Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra PM PC  PQ PZ

Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra PQ PZ   PN PB

Mà P thuộc XY là trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn đường kính BD nên PN PB PX PY PM PC Suy ra PQ PZ  PQ PZ    Q Q 

Vậy XY, AM và DN đồng quy

Ví dụ 13

Cho tam giác ABC có đường cao BD và CE cắt nhau tai H M là trung điểm của BC, N là

giao điểm của DE và BC Chứng minh rằng NH vuông góc với AM

Giải

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AH, MH

Ta có

Suy ra tứ giác EDMF nội tiếp

Từ đó ta có NE ND NF NM , suy ra N nằm trên trục đẳng phương của đường tròn

(O, OH) và đường tròn (I, IH) Mặt khác H là giao điểm của đường tròn

Z Q

D A

M N

Y

X

C B

P

I O

F N

M

D

E

H A

13

(O, OH) và đường tròn(I, IH), suy ra NH chính là trục đẳng phương của (O) và (I)

Suy ra NH  OI , mà OI // AM, do đó NH  AM

Ví dụ 14

Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D và E Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và CP Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q Chứng minh rằng AQ  OI

Giải

Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và (PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG)

Ta có  AMPPGD và PGD PCB (đồng vị), suy ra  AMPPCB, suy ra BMPC nội tiếp

Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp

Suy ra BMNC nội tiếp, suy ra AM AB AN AC Mà AD AE

AB  AC (định lý Thales) Suy ra AM AD AN AE

Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra AQ  OI

Ví dụ 15

Cho tam giác ABC là tam giác nhọn và không phải tam giác cân nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R Một đường thẳng d thay đổi sao cho vuông góc với OA và luôn cắt tia

AB, AC Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d và AB, AC Giả sử BN và CN cắt nhau tại K,

AK cắt BC

a) Gọi P là giao của AK và BC Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua một điểm cố định

b) Gọi H là trực tâm của tam giác AMN Đặt BC = a và l là khoảng cách từ A đến HK.Chứng minh KH đi qua trực tâm của tam giác ABC, từ đó suy ra: l  4 R2  a2

Q

N M

G F

E A

P

D

14

Giải

a) Gọi Q là giao điểm của MN và BC, E là trung điểm BC Xét tứ giác BMNC thì ta biết rằng Q, P, B, C là hàng điểm điều hòa Suy ra (QPBC) = - 1 Khi đó ta có

2

EP EQEB , suy ra

QE QPQE QE PEQE EB OQ OB QB QC

Mà tứ giác BMNC cũng nội tiếp vì có   NCBxABAMN (Ax là tia tiếp tuyến của (O)) Suy ra QM QN  QB QC

Từ đó suy ra QM QN  QP QE , suy ra tứ giác MNIP nội tiếp, suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua điểm E cố định

b) Giả sử 3 đường cao AD, BF và CJ của tam giác ABC cắt nhau tại I; ba đường cao

MX, AY, NZ của tam giác AMN cắt nhau tại H Ta cần chứng minh K, I, H thẳng hàng

Xét đường tròn tâm (O1) đường kính BN và tâm (O2) đường kính CM

Ta thấy:

KC KM KB KN

IC IJ IB IF

HM HX HN HZ







Suy ra K, I, H cùng thuộc trục đẳng phương của (O1) và (O2) nên thẳng hàng

Từ đó suy ra AL AI

Mà

2

4

BC

AI  OE R   R a nên AL   l 4 R2  a2

L

O2 O1

Z

X H J

I

F

D Q

E P

K M

N

O A

B

C Y

15

Ví dụ 16

Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự nằn trên một đường thẳng Hai đường tròn có tâm

1 , 2

O O lần lượt thay đổi qua A, C và B, D, giao nhau tại M, N Các tiếp tuyến chung của

   O1 , O2 tiếp xúc với  O1 tại P Q1, 1, tiếp xúc với  O2 tại P Q2, 2 Gọi I, J, X, Y lần lượt là trung điểm của các đoạn PP Q Q P Q PQ1 2, 1 2, 2 1, 1 2

a) Chứng minh rằng các điểm M, N, X, Y, I, J cùng thuộc một đường thẳng d;

b) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định

Giải

W

Y X

J

I

N

M C

D

O2

O1

A

B

P1

P2

Q1

Q2

a) Ta có MN là trục đẳng phương của    O1 , O2 Mà   1   2

I O IP IP I O

    , tương

tự J/  O1 J/  O2 nên I, J thuộc trục đẳng phương của    O1 , O2 , tức I, J thuộc đường thẳng MN

Dễ thấy PQ1 1/ /P Q2 2, do đó PQ kP Q k1 1 2 2, 0 Mặt khác

2XY   XP P Q Q Y   XQ Q P PY    P Q PQ    1 k P QXY P Q / / Nhưng JY là đường trung bình của tam giác Q Q P1 2 2 JY P Q / / 2 2 Suy ra

JY XYX Y J

 

thẳng hàng Tương tự X, Y, I thẳng hàng

Suy ra X, Y, I, J cùng thuộc trục đẳng phương là đường thẳng MN của    O1 , O2 b) Gọi W d AD  Ta chứng minh W cố định