ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG TRONG bài TOÁN CHỨNG MINH THẲNG HÀNG, ĐỒNG QUY

Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẲNG HÀNG, ĐỒNG QUY I Lí chọn đề tài, mục tiêu đề tài Nếu so sánh với kiến thức hình học THCS mà học sinh tiếp nhận phần phương tích trục đẳng phương phần có nhiều ứng dụng phần đầu hình học THPT Phần phương tích trục đẳng phương xuất nhiều toán thi HSG quốc gia quốc tế, thường mang nét sơ cấp lời giải đẹp Một học sinh học hình học cần phải nắm vận dụng tốt phần Học sinh cần nắm sở lý thuyết, nhìn nhận việc sử dụng tứ giác nội tiếp cách hợp lý Đề tài tập trung vào việc vận dụng kiến thức toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy – dạng tốn xuất nhiều kì thi II Nội dung Phương tích điểm đường tròn Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A B Khi MA.MB = MO − R = d − R Chứng minh: Gọi C điểm đối xứng A qua O Ta có CB ⊥ AM hay B hình chiếu C AM Khi ta có uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur MA.MB = MA.MB = MC.MA = MO + OC MO + OA uuuur uuur uuuur uuur uuuur2 uuur2 = MO − OA MO + OA = MO − OA = OM − OA2 = d − R ( )( ) ( )( ) Định nghĩa 1.1 Giá trị không đổi MA.MB = d − R THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Định lý 1.1 gọi phương tích điểm M đường trịn (O) kí hiệu PM /( O ) ) Ta có PM /( O ) = MA.MB = d − R Hệ 1.1 1) Điểm M nằm (O) PM /( O ) = 2) Khi M nằm ngồi đường trịn (O) MT tiếp tuyến (O) PM /( O ) = MT 3) Nếu A, B cố định AB AM = const ⇒ M cố định tưởng giúp ta giải toán đường qua điểm cố định Ý Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB CD cắt P PA.PB = PC.PD điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Chứng minh Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD điểm thứ D’ Khi ta có theo định lý 1.1 ta có PA.PB = PC.PD′ , suy PC.PD = PC.PD′ ⇒ D ≡ D′ Suy điểm A, B, C D thuộc đường tròn Trục đẳng phương hai đường tròn– Tâm đẳng phương Định lý 2.1 Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1; R1) (O2; R2) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) Chứng minh THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương a) Phần thuận Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường trịn Gọi H hình chiếu M O1O2, I trung điểm O1O2 Ta có: M PM /( O1 ) = PM /( O2 ) ⇔ MO12 − R12 = MO22 − R22 ⇔ MO12 − MO22 = R12 − R22 O1 H O2 ⇔ ( MH + HO12 ) − ( MH + HO2 ) = R12 − R22 ⇔ HO12 − HO2 = R12 − R22 ( )( ) ⇔ HO1 − HO2 HO1 + HO2 = R12 − R22 ⇔ O2O1.2 HI = R12 − R22 R12 − R22 ⇔ IH = O1O2 ( 1) Từ suy H cố định, suy M thuộc đường thẳng qua H vuông góc với O1O2 b) Phần đảo Các phép biến đổi phần thuận phép biến đổi tương đương nên ta dễ dàng có điều cần chứng minh Vậy tập hợp điểm M có phương tích hai đường tròn đường thẳng qua điểm H (xác định (1)) vng góc với O1O2 b) Các hệ Cho hai đường tròn (O) (I) Từ định lý 2.1 ta suy tính chất sau: 1) Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm THPT chun Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương 2) Nếu hai đường trịn cắt A B AB trục đẳng phương chúng 3) Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn 4) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường trịn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường tròn 5) Nếu điểm có phương tích hai đường trịn điểm thẳng hàng 6) Nếu (O) (I) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn Định lý 2.2 Cho đường trịn (C1), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm, điểm gọi tâm đẳng phương ba đường tròn Chứng minh Gọi dij trục đẳng phương hai đường tròn (C i) (Cj) Ta xét hai trường hợp sau a) Giả sử có cặp đường thẳng song song, khơng tính tổng qt ta giả sử d 12 // d23 Ta có d12 ⊥ O1O2 , d 23 ⊥ O2O3 suy O1 , O2 , O3 thẳng hàng Mà d13 ⊥ O1O3 suy O3 d13 / / d 23 / / d12 b) Giả sử d12 d23 có điểm M chung Khi ta có M O1 O2 THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương PM /( O1 ) = PM / ( O2 ) ⇒ PM /( O1 ) = PM /( O3 ) ⇒ M ∈ d13  PM /( O2 ) = PM /( O3 ) Từ suy có hai đường thẳng trùng trục đẳng phương cặp đường trịn lại Nếu hai trục đẳng phương cắt điểm điểm thuộc trục đẳng phương lại b) Các hệ Nếu đường trịn đơi cắt dây cung chung qua điểm Nếu trục đẳng phương song song trùng tâm đường tròn thẳng hàng Nếu đường tròn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng Cách dựng trục đẳng phương hai đường trịn khơng cắt nhau: Cho hai đường trịn (O1) (O2) khơng cắt nhau, ta có cách dựng trục đẳng phương hai đường tròn sau: - Dựng đường tròn (O3) cắt hai đường tròn (O1) (O2) A, B C, D - Đường thẳng AB CD cắt M - Đường thẳng qua M vng góc với O1O2 trục đẳng phương (O1) (O2) (Hình vẽ) THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương M A C O1 O2 O3 D B Các ví dụ Các ví dụ dừng việc ứng dụng toán chứng minh đồng quy, thẳng hàng Ý tưởng dùng kết quả: + Các điểm có phương tích với đường trịn nằm đường thẳng + Trục đẳng phương đơi đường trịn đồng quy điểm Ví dụ 1: Cho tam giác ABC khơng cân ngoại tiếp đường trịn (I), nội tiếp đường tròn (O) · ' = CIC · ' = 90o Các điểm A’, B’, C’ thuộc BC, CA, AB tương ứng cho ·AIA ' = BIB Chứng minh A’, B’, C’ thuộc đường thẳng vng góc với OI Giải ·ABC + BAC · ·ACB · Ta có BIA = 180o − = 90o + 2 Suy ·A ' IA = ·A ' CI , hay A’I tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC, suy A ' I = A ' B A ' C Xét đường trịn ( ω ) tâm I, bán kính 0, ta có PA '/ ( ω) = PA '/ ( O ) Tương tự ta có PB '/ ( ω) = PB '/ ( O ) ,PC '/( ω) = PC '/( O ) THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Suy A’ , B’, C’ thuộc trục đẳng phương hai đường tròn ( ω ) (O) Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua H cắt đường tròn C Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC (O) D, E F a) Chứng minh AB, DE CF đồng quy b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) P Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng Giải a) Ta có CA.CD = CH = CB.CE , suy ADEB nội tiếp Xét đường tròn (ADEB), (O) đường trịn đường kính CH, DE, AB CF trục đẳng phương cặp đường tròn nên chúng đồng quy C P D E Q A O H B M b) Ta có PQ trục đẳng phương ( C) (O) nên OC ⊥ PQ Ta dễ thấy OD ⊥ DE Hơn H tâm đẳng phương ba đường tròn (O), ( C) đường trịn đường kính CH Suy PQ qua H Vậy DE, PQ qua H vuông góc với OC nên trùng Hay D, E, P, Q thẳng hàng Ví dụ (VMO 2014): Tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) cố định Cạnh BC cố định, A thay đổi (O) Trên tia AB, AC lấy M, N cho MA = MC, NA = NB Các đường tròn (AMN) (ABC) cắt A, P Đường thẳng MN cắt BC Q a) Chứng minh A, P, Q thẳng hàng THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương b) Gọi D trung điểm BC Các đường tròn tâm M, N qua A cắt K, A Đường thẳng qua A vuông góc với AK cắt BC E Các đường trịn (ADE) (O) cắt F, A Chứng minh AF qua điểm cố định A thay đổi Giải a Dễ chứng minh PQ /( AMN ) = PQ /( ABC ) Từ suy Q thuộc trục đẳng phương AP (AMN) (ABC) b Ta có O trực tâm tam giác AMN suy AO ⊥ MN Mà AK ⊥ MN nên O ∈ AK ⇒ AE ⊥ OA Do (ADE) đường trịn đường kính OE ⇒ EF tiếp tuyến (O) Do tứ giác ABFC tứ giác điều hồ Từ suy AF ln qua giao điểm tiếp tuyến B C đường tròn (O) Mà B, C, (O) cố định nên có đpcm THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Ví dụ 4: Cho tam giác ABC khơng cân A, nội tiếp đường trịn (O) Các tiếp tuyến B, C (O) cắt T, đường thẳng AT cắt lại đường tròn X Gọi Y điểm xuyên tâm đối X (O) Các đường thẳng YB, XC cắt P, đường thẳng XB, YC cắt Q a Chứng minh P, Q, T thẳng hàng b Chứng minh đường thẳng PQ, BC AY đồng quy Giải · · a Do XY đường kính (O) nên QBY = ·XBY = 90o PCY = ·XCY = 90o · · Suy PBQ = PCQ = 90o , tứ giác BCQP nội tiếp đường trịn đường kính PQ Từ giả thiết dễ thấy YT đường đối trung kẻ từ Y tam giác YBC, suy P, Q, T thẳng hàng T trung điểm PQ b Do tứ giác ABXC điều hòa nên AB XC = AC XB ⇒ Tứ giác BCQP nội tiếp nên XB XQ = XC XP ⇒ AB XB = AC XC XB XP = XC XQ Tứ giác ABCY nội tiếp nên ·ABY = ·ACY ⇒ ·ABP = ·ACQ THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Suy tam giác ABP tam giác ACQ đồng dạng, ·APY = ·APB = ·AQC = ·AQY Suy tứ giác AYQP nội tiếp đường trịn (w) Ta có PS / ( O ) = SA.SY = PS / ( w ) = SP.SQ = PS /( T ) với (T) đường tròn ngoại tiếp BCQP Suy S nằm trục đẳng phương (O) (T) tức S thuộc BC Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có góc C tù khơng cân C nội tiếp đường trịn (O) Tiếp tuyến (O) A, B cắt P Các đường thẳng AC PB cắt D, đường thẳng BC AP cắt E Chứng minh tâm đường tròn (ACE), (BCD), (PCO) nằm đường thẳng Giải THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Gọi O1 , O2 , I , J theo thứ tự tâm đường tròn (ACE), (BCD),(PAOB), (PCO) Do tam giác PAO vuông O I trung điểm PO nên tam giác PIA cân, hay · PAI = ·APO π · π π · · · − ACE = ·ACB − = π − ·AOP − = ·APO = PAI Mặt khác PAO = EAO1 = 2 Do O1 , I nằm phía với PA nên A, I , O1 thẳng hàng Suy ( O1 ) tiếp xúc với (I) Tương tự ( O2 ) tiếp xúc với (I) THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Suy tiếp tuyến chung ( O1 ) (I), tiếp tuyến chung ( O2 ) (I) cắt điểm S thuộc PO Do tính đối xứng suy SA = SB 2 Ta có PS / ( O1 ) = SA = SB = PS /( O2 ) PS / ( O1 ) = SA2 = PS / ( I ) = SO.SP = PS / ( J ) Suy SC trục đẳng phương chung ( O1 ) , ( O2 ) , ( J ) , suy điều phải chứng minh Ví dụ 6: Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm đường thẳng Hai đường trịn có tâm O1 , O2 thay đổi qua A, C B, D giao M, N Các tiếp tuyến chung ( O1 ) , ( O2 ) tiếp xúc với ( O1 ) P1 , Q1 , tiếp xúc với ( O2 ) P2 , Q2 Gọi I, J, X, Y trung điểm đoạn PP , Q1Q2 , P2Q1 , PQ a) Chứng minh điểm M, N, X, Y, I, J thuộc đường thẳng d b) Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định Ta có trục đẳng phương Mà Do , tương tự thuộc trục đẳng phương Dễ dàng thấy , tức thuộc đường thẳng , Mặt khác Nhưng Nên đường trung bình tam giác thẳng hàng, tương tự THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định : thẳng hàng Các chuyên đề hình học phẳng Suy thuộc trục đẳng phương đường thẳng b) Gọi Vì Phương tích – Trục đẳng phương Ta chứng minh thuộc trục đẳng phương Đẳng thức chứng tỏ điểm định cố định nên cố định, đường thẳng qua điểm cố Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định B, C thay đổi đường thẳng d cố định cho gọi A’ hính chiếu A lên d A′B A′C âm khơng đổi Gọi M hình chiếu A’ lên AB Gọi N hình chiếu A’ lên AC, K giao điểm tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN M N Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định Giải Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN I giao điểm OK MN Ta thấy O trung điểm AA’ Gọi D P giao điểm AA’ với (ABC) MN Dễ thấy AM AB = AA′ = AN AC A Suy tứ giác BMNC nội tiếp ⇒ ·AMN = ·ACB N Mà ·ADB = ·ACB I P M B A' C Nên ·AMN = ·ADB Suy MPDB nội tiếp D H K THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Do ta có AP AD = AM AB = AA′ Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Mà A, A’ D cố định suy P cố định Gọi H hình chiếu K AA’ Ta có OP.OH = OI OK = ON = AA′2 Mà O,A, P, A’ cố định suy H cố định Vậy K thuộc đường thẳng qua H vng góc với AA’ Ví dụ (IMO 95/1): Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đường trịn đường kính AC BD cắt X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Lấy P điểm XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ M, BP cắt đường tròn đường kính BD điểm thứ N Chứng minh AM, DN XY đồng qui Giải Gọi Q, Q’ giao điểm DN AM với XY Ta cần chứng minh Q ≡ Q′ P Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy nội tiếp, suy PM PC = PQ.PZ X N Tứ M Q giác NQ’ZB PQ′.PZ = PN PB A B Z C D Y Suy PQ.PZ = PQ′.PZ ⇒ Q ≡ Q′ Vậy XY, AM DN đồng quy THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Mà P thuộc XY trục đẳng phương đường trịn đường kính AC đường trịn đường kính BD nên PN PB = PX PY = PM PC Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Ví dụ (HongKong TST 2004): Cho tam giác ABC hai điểm P, Q tương ứng thuộc tia AB, AC cho ·APC = ·AQB = 45o Đường thẳng qua P vng góc AB cắt BQ S, đường thẳng qua Q vng góc AC cắt CP R Gọi D chân đường cao từ A tam giác ABC a Chứng minh SR//BC b Chứng minh PS, AD, QR đồng quy Giải · · · · a Ta có BPC = BQC = 45o SPR = SQR = 90o + 45o Suy tứ giác nội tiếp SPQR, BCQP · · · · Suy BCP , hay SR//BC = BQP = SQP = SRP b Gọi K giao AD QR, chứng minh K thuộc SP THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Có DCQK nội tiếp BCQP nội tiếp suy AD AK = AC AQ = AB AP , hay BDKP nội tiếp · · Suy BDK = BPK = 90o Ví dụ 10: Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Gọi M trung điểm EF, A’ giao điểm thứ DM (I) Tương tự ta có điểm B’ C’ Chứng minh rằng: AA’, BB’ CC’ đồng quy K Giải Bổ đề: Bốn điểm A, A’, I, D đồng viên Dễ dàng chứng minh bổ đề trên, MA'.MD = ME.MF= ME = MI.MA · · · · Suy IAA'= , hay IDA'= IA'D = IAD AA’ đẳng giác với AD góc BAC Tương tự ta có BB’ đẳng giác với BE góc CBA, CC’ đẳng giác với CF góc ACB Do AD, BE, CF đồng quy (Ceva) nên có điều phải chứng minh Bài tốn sử dụng đường đẳng giác có nhiều, tơi đưa số ví dụ: Nga 2010: Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB A1, B1, C1 Gọi A2, B2, C2 trung điểm đoạn B 1C1, C1A1, A1B1 Gọi P giao điểm đường tròn nội tiếp với CO (O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác) Gọi N, M giao điểm thứ PA 2, PB2 với đường tròn nội tiếp Chứng minh AN, BM đường cao từ C tam giác ABC đồng quy THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Ví dụ 11: Cho ABCD hình bình hành với góc A nhỏ 90o Đường trịn đường kính AC giao với BC, CD E F tương ứng Gọi P giao điểm tiếp tuyến A đường trịn đường kính AC BD Chứng minh P, E, F thắng hàng Giải Chứng minh MEFN nội tiếp Suy NA =MF.NC; MA =MC.ME Suy NF PN CF = ME PM CE · Ví dụ 12: Cho tam giác ABC có BAC = 90o , AB < AC , đường cao AH Gọi I J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH tam giác ACH, đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác AIJ, điểm D, E F giao điểm khác A (O) với AB, AC AH a Chứng minh đường thẳng IJ, DE BC đồng quy M b Gọi P giao điểm khác A AM (O) Chứng minh tứ giác BCED nội tiếp đường tròn tâm Q Q, F, P thẳng hàng THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Giải · · = BAC · a Xét đường tròn (O) ta có IOJ = IAJ = 90o · · · Có I J tâm nội tiếp tam giác AHB AHC suy IHJ = IHO + OHJ = 90o · · Suy IHJ = IOJ = 90o , hay tứ giác OIHJ nội tiếp · · Tam giác OIJ vuông cân O, suy OJI = 45o = OHI Có I tâm nội tiếp tam giác AHB suy ·AHI = 45o · Suy ·AHI = OHI Kết hợp với A, O nằm phía so với IH ta A, O, H thẳng hàng Gọi M giao DE BC, chứng minh M thuộc IJ · · · · Xét đường trịn (O) có IOF = IAF = IAD = IOD Suy OI phân giác góc MOH, hay I tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHM THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định (1) Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Chứng minh tương tự J tâm đường trịn bàng tiếp góc M tam giác OHM (2) Từ (1) (2) suy điểm M, I, J thẳng hàng · b Xét đường trịn (O) có ·ADE + EAF = 90o · Tam giác AHC vuông H, suy CAH + ·ACH = 90o Suy ·ADE = ·ACB hay tứ giác BCED nội tiếp P thuộc đường tròn (O) có đường kính AF, suy FP ⊥ AP (*) Có APDE suy MP.MA = MD.ME (1) BCED nội tiếp suy MB.MC = MD.ME (2) Từ (1) (2) suy MP.MA = MB.MC hay BCAP nội tiếp Chứng minh QF ⊥ AM Đường tròn (O) cắt (Q) D E, suy OQ ⊥ DE · Có ·AED = ·ABC = 90o − ·ACB = 90o − CAK , suy AK ⊥ DE Suy AK // OQ Mà AO // KQ (cùng vng góc với BC) Suy tứ giác AOQK hình bình hành, suy OFQK hình bình hành Suy OK // FQ Đường trịn (O) cắt (K) A P, suy OK ⊥ AP , suy FQ ⊥ AP (**) Từ (*) (**) suy F, P, Q thẳng hàng Ví dụ 13 (Trung Quốc 1996): Cho H trực tâm tam giác nhọn ABC Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP, AQ đến đường trịn đường kính BC (P, Q tiếp điểm) Chứng minh P, Q, H thẳng hàng THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Giải Từ giả thiết ta có ngũ giác APDOQ nội tiếp đường trịn đường kính AO (với O trung điểm BC) Suy ·AQP = ·AOP Xét phương tích A (O) (CEHD) ta có AP AH suy = AD AP tam giác APH tam giác ADP đồng dạng AP = AE AC = AH AD ⇒ Suy ·APH = ·ADP = ·AOP ⇒ ·APH = ·AOP , suy ·APH = ·APQ , hay H, P, Q thẳng hàng Ví dụ 14: Cho đường trịn tâm O đường kính AB, điểm H cố định thuộc AB Từ điểm K thay đổi tiếp tuyến B O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C D Chứng minh CD qua điểm cố định Giải Gọi I điểm đối xứng H qua B, suy I cố định thuộc (K) Gọi M giao điểm CD AB K H A O B I THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Vì CD trục đẳng phương (O) (K) nên ta có: Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương MH MI = MC.MD = MA.MB ⇔ ( MB + BH ) ( MB + BI ) = MB ( MB + BA) ( MB + BH ) ( MB − BH ) = MB + MB.BA ⇔ MB − BH = MB + MB.BA ⇔ BM = ⇔ 2 2 BH BA Vì A, B, H cố định suy M cố định Ví dụ 15: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Các điểm A1 , B1 , C1 chân đường cao kẻ từ A, B, C tam giác Các điểm A2 , B2 , C2 đối xứng với A1 , B1 , C1 qua trung điểm BC, CA, AB tương ứng Đường tròn ngoại tiếp tam giác AB2C2 , BC2 A2 , CA2 B2 cắt (O) điểm thứ A3 , B3 , C3 Chứng minh A1 A3 , B1B3 , C1C3 đồng quy Giải Ta có AB AC1 = AC AB1 , suy BA.BC2 = CA.CB2 Suy PB / ( AB2C2 ) = PC /( AB2C2 ) ⇒ IB = IC (với I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB2C2 ) Hay I, O, M thẳng hàng (với M trung điểm BC) Suy AA1 A2 A3 hình chữ nhật Gọi G giao điểm AM A1 A3 , suy G trọng tâm tam giác ABC Tương tự ta có B1B3 , C1C3 qua G Ta có điều phải chứng minh THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương IV Bài tập (Thi vào trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2003 – 2004) a) Cho đường tròn (C ) tâm O điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt (C ) M, N Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN ln qua điểm cố định khác O b) Cho đường tròn (C ) tâm O đường thẳng (d) nằm ngồi đường trịn I điểm di động (d) Đường trịn đường kính IO cắt (C ) M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Cho điểm C, A, B thẳng hàng xếp theo thứ tự Một đường trịn (O) thay đổi ln qua hai điểm A B CM CM’ hai tiếp tuyến (O) Chứng minh rằng: a) M M’ ln thuộc đường trịn cố định b) Trung điểm H MM’ thuộc đường cố định (Việt Nam 2003) Trên mặt phẳng cho hai đường tròn (O 1) (O2) cố định tiếp xúc M bán kính (O 2) lớn bán kính (O 2) Một điểm A di chuyển (O2) cho điểm O1, O2 A không thẳng hàng Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB AC đến (O1) (B, C hai tiếp điểm) Đường thẳng MB MC cắt đường tròn (O2) E F Gọi giao điểm EF với tiếp tuyến A (O 2) D Chứng minh D di chuyển đường cố định A thay đổi (O2) mà O1, O2 A khơng thẳng hàng Cho đường trịn tâm O đường kính AB D điểm cố định thuộc AB, đường thẳng d qua D vng góc với AB H điểm thay đổi d AH BH cắt (O) P Q Chứng minh PQ qua điểm cố định (Dự tuyển IMO 1994) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BA, CA, AB D, E, F X điểm bên tam giác ABC cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BD D, tiếp xúc với XB, XC Y, Z Chứng minh EF, YZ BC đồng quy (USAMO 1997) Cho tam giác ABC Về phía tam giác dựng tam giác cân DBC, EAC, FAB có đỉnh D, E, F Chứng minh đường thẳng qua A, B, C vng góc với EF, FD DE đồng quy Cho tam giác ABC Dựng hình vng DEFG nội có đỉnh D, E thuộc cạnh BC, F, G thuộc AC AB Gọi dA trục đẳng phương hai đường tròn THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương (ABD) (ACE) Các đường thẳng dA, dB xác định tương tự Chứng minh dA, dB, dC đồng quy Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I) Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC D, đường thẳng AI, AO cắt lại đường tròn (O) E, F tương ứng Gọi S giao điểm FI ED, M giao điểm SC EB, N giao điểm AC BF a Chứng minh S thuộc (O) b Chứng minh M, N, I thẳng hàng Lời kết Kiến thức phương tích trục đẳng phương đơn giản dễ hiểu, nhiên có ứng dụng nhiều thường cho lời giải hay toán chứng minh thẳng hàng hay toán đồng quy… Đề tài nhiều hạn chế, mong đồng nghiệp đóng góp ý kiến để lần tới tác giả có chỉnh sửa bổ sung tốt THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định ... đẳng phương đường thẳng b) Gọi Vì Phương tích – Trục đẳng phương Ta chứng minh thuộc trục đẳng phương Đẳng thức chứng tỏ điểm định cố định nên cố định, đường thẳng qua điểm cố Ví dụ 7: Cho tam... chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương M A C O1 O2 O3 D B Các ví dụ Các ví dụ dừng việc ứng dụng tốn chứng minh đồng quy, thẳng hàng Ý tưởng... Q1Q2 , P2Q1 , PQ a) Chứng minh điểm M, N, X, Y, I, J thuộc đường thẳng d b) Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định Ta có trục đẳng phương Mà Do , tương tự thuộc trục đẳng phương Dễ dàng thấy