Lời giải:
a.Gọi A'= AO∩EF. Chứng minh được AO⊥EF , mà ·ACX =900⇒ A ECX' nội tiếp. Suy ra AE AC. = AA AX'. .
Mặt khác CDHE nội tiếp nên AE AC. =AH AD. ⇒DHA X' nội tiếp.
Do đó · · · · 0
1 1 2 ' 2 90 1, 2 ( ' ).
HXA =HDA =XHA =XA A = ⇒A A ∈ DXA H
Ta có HA2 / /XA HA1; 2 ⊥XH ⇒HXA A1 2 là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn
b.Ta có BH ⊥ AC XC; ⊥AC BX; ⊥ AB CH; ⊥AB⇒BHCX là hình bình hành nên HX đi qua trung điểm M của BC và M là trung điểm HX.
Lấy X ' đối xứng A1 qua M ⇒ X B' =A C X C1 ; ' =BA1 (*)
Kết hợp A HX X1 ' là hình bình hành. Suy ra HX'/ /XA2/ /HA2 ⇒X'∈HA2 .
Tam giác MHX' vuông tại H ⇒X D X M' . ' =X H' 2. Gọi ( )K là đường tròn Euler , , , ( ),( )
ABC D E F M K H
∆ ⇒ ∈ là đường tròn ( ;0).H Suy ra PX'/( )K = PX'/( )H . Các đường thẳng BY CZ Y Z, , ', ' xác định tương tự AX X, '. Suy ra
'/( ) '/( ) '/( ) '/( ) ', ', '
Y K Y H Z K Z H ⇒X Y Z
P = P ; P = P thẳng hàng và là trục đẳng phương của hai đường tròn ( ;K KM),( ;0).H Do X Y Z', ', ' thuộc ba cạnh của tam giác ABC nên theo định lí Menelauyt ta có 1 1 1 1 1 1 ' ' ' . . 1 . . 1 ' ' ' A C B A C B X B Y C Z A X C Y A Z B = ⇒ A B B C C A = (do (*)).
Suy ra A B C1, ,1 1 thẳng hàng. Theo câu a ta có K K Ka, b, c lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HA HB HC1, 1, 1⇒K K Ka, b, c thẳng hàng. Vậy bài toán được chứng minh.
Bài luyện tập
Bài 25.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ; )O R . Gọi ( ; );(J; R )I r A là các đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Đường thẳng AI cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai D. Chứng minh rằng ID JD. =(RA−r R) .
Bài 26. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O có trọng tâm G GA GB GC. , , cắt đường tròn ( )O tại D E F, , . Chứng minh rằng
12 12 12 2 272 2.
GD +GE +GF = AB BC CA
+ +
Bài 27 (USAMO 1998). Cho hai đường tròn ( ; ),( , ),(R r ) 2
R
O R O r > > . Lấy điểm
đường tròn (O; )r tại điểm B D. là trung điểm AB d, là đường thẳng qua A cắt ( ; )
O r tại E F, sao cho trung trực đoạn DE CF, cắt nhau tại M∈AC. Tính AM .
CM
Bài 28 (Phát triển USAMO 1998). Cho hai đường tròn ( ; ),( , ),(R r ) 2
RO R O r > > . O R O r > > . Lấy điểm A nằm trên đường tròn ( ; )O R , qua A kẻ dây cung AC của ( ; )O R tiếp xúc với đường tròn (O; )r tại điểm B D. là trung điểm AB d, là đường thẳng qua A
cắt (O r; )tại E F, sao cho E thuộc đoạn AF, trung trực đoạn DE CF, cắt nhau tại
M thuộc AC S. là điểm đối xứng của B qua A. Trung trực của SM cắt OM tại I. Đường tròn( ; )I IS cắt ( ;3 )
2
M AB tại X Y, . Chứng minh rằng B X Y, , thẳng hàng.
Bài 29 (IMO 2012 ngày 2).Cho tam giác ABC vuông tại C . Gọi D là chân đường cao hạ từ C. Cho X là một điểm nằm ở miền trong đoạn thẳng CD. Cho
K là điểm trên đoạn thẳng AX sao cho BK =BC. Tương tự L trên đoạn thẳng
BX sao cho AL=AC. Cho M là giao điểm của AL và BK. Chứng minh rằng .
MK =ML
Bài 30.Cho tam giác ABC H, là trực tâm. Gọi D E F, , là điểm đối xứng với , ,
A B C qua trung điểm của BC CA AB, , . Chứng minh rằng trung trực của , ,
HD HE HF cắt BC CA AB, , theo ba điểm thẳng hàng.
Bài 31 ( Mathematical Reflection MR2-2007).Từ một điểm P nằm bên ngoài đường tròn tâm O, kẻ các tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (O), (A, B là các tiếp điểm). Gọi M là trung điểm AP và N là giao điểm của BM với (O), (N ≠B). Chứng minh rằng PN =2MN .
Bài 32 (Iran NMO 1996).Trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho DE song song với BC. Gọi P là điểm tùy ý bên trong tam giác ABC, các đường thẳng PB, PC cắt DE tại F và G. Gọi ( ),( )O1 O2 lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác PDG, PEF. Chứng minh rằng AP vuông góc với O O1 2.
Bài 33 (Trần Quang Hùng). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi D E F, , lần lượt là điểm đối xứng của A B C, , qua BC CA AB, , .
a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAD OBE OCF, , cùng đi qua điểm chung L.
b) Điểm đẳng giác với tâm đường tròn Euler của tam giác ABC gọi là điểm
Bài 34.Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm H thuộc đoạn AB. Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt đường tròn tại C. Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC và (O) lần lượt tại D, E và F.
a) Chứng minh rằng AB, DE và CF đồng quy.
b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) tại P và Q. Chứng minh rằng P, D, E,
Q thẳng hàng.
Bài 35.Cho tam giác ABC có D là trung điểm của cạnh BC. Gọi d là đường thẳng qua D và vuông góc với đường thẳng AD. Trên đường thẳng d lấy một điểm M bất kì. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MB, MC. Đường thẳng qua E vuông góc với d cắt đường thẳng AB tại P, đường thẳng qua
F vuông góc với d cắt đường thẳng AC tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng
qua M, vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Bài 36.Cho tứ giác ABCD có các cạnh AB và CD cắt nhau tại I, AD và BC cắt nhau tại K.
a) Chứng minh rằng trực tâm của các tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng b) Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn AC, BD, IK thẳng hàng.
C.PHẦN KẾT LUẬN
1. Nội dung đề tài “Phương tích - Trục đẳng phương” là sự sắp xếp hệ thống một số bài tập và phát triển các bài tập đó. Bên cạnh đó chúng tôi còn đưa ra bài luyện tập để củng cố lại những ứng dụng trực tiếp các tính chất và hệ quả của phương tích, trục đẳng phương. Hi vọng nó sẽ mang lại một phần hiệu quả nào đó cho các thầy cô và học sinh khi giải bài toán hình học phẳng.
2.Đề xuất ý kiến:
-Tổ chức lớp tập huấn, bồi dưỡng giáo viên chuyên trong khu vực trong các hè. -Học sinh trong đội tuyển của các trường Chuyên trong khu vực được tham gia học tập, giao lưu thường xuyên hơn.
-Chuyên đề hình học phẳng được dạy thường xuyên trong các năm THPT chuyên.
3. Bài viết có sự tham khảo từ:
[1] Tài liệu giáo khoa chuyên Toán 10
[2] Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 10- Nguyễn Minh Hà [3] Tài liệu trên Internet
[4]Lời giải và bình luận đề thi VMO- Trần Nam Dũng.
[5] Một số bài tập từ các kì thi IMO,VMO, khu vực và Olympic các nước.