Phương tích trục đẳng phương

PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG NGUYỄN TĂNG VŨ I Phương tích điểm đường tròn (Power of a point) Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A B Khi MA.MB = MO − R = d − R Chứng minh: A Gọi C điểm đối xứng A qua O Ta có B CB ⊥ AM hay B hình chiếu C AM M Khi O ta có C uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuu r MA.MB = MA.MB = MC.MA = MO + OC MO + OA uuuu r uuu r uuuu r uuu r = MO − OA MO + OA uuuu r uuu r2 = MO − OA ( ( )( )( ) ) = OM − OA2 = d − R2 Định nghĩa Giá trị không đổi MA.MB = d − R định lý 1.1 gọi phương tích điểm M đường tròn (O) kí hiệu PM/(O) Ta có: P M / ( O ) = MA.MB = d − R Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB CD cắt P PA.PB = PC.PD điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Chứng minh Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD D’ Khi ta có theo định lý 1.1 ta có PA.PB = PC.PD′ , suy PC.PD = PC.PD′ ⇒ D ≡ D′ Suy điểm A, B, C D thuộc đường tròn Chú ý: PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM 1) Khi M nằm (O) P M /( O ) = 2) Khi M nằm đường tròn (O) MT tiếp tuyến (O) P M /( O ) = MT A B M O T 3) Nếu A, B cố định AB AM = const ⇒ M cố định Ý tưởng giúp ta giải toán đường qua điểm cố định II Trục đẳng phương hai đường tròn (Radical axis) – Tâm đẳng phương(Radical center) Trục đẳng phương a) Định lý 2.1 Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) (O2; R2) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường tròn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) Chứng minh: a) Phần thuận Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường tròn Gọi H hình chiếu M O1O2, I trung điểm O1O2 Ta có: M O1 H O2 Từ suy H cố định, suy M thuộc đường thẳng qua H vuông góc với O1O2 b) Phần đảo Các phép biến đổi phần thuận phép biến đổi tương đương nên ta dễ dàng có điều cần chứng minh PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM Vậy tập hợp điểm M có phương tích hai đường tròn đường thẳng qua điểm H (xác định (1)) vuông góc với O1O2 b) Các hệ Cho hai đường tròn (O) (I) Từ định lý 2.1 ta suy tính chất sau: 1) Trục đẳng phương hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm 2) Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng 3) Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vuông góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn 4) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường tròn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường tròn 5) Nếu điểm có phương tích hai đường tròn điểm thẳng hàng 6) Nếu (O) (I) tiếp xúc A đường thẳng qua A vuông góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn Tâm đẳng phương (Radical Center) a) Định lý 2.2 Cho đường tròn (C1), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm, điểm gọi tâm đẳng phương ba đường tròn Chứng minh Gọi dij trục đẳng phương hai đường tròn (Ci) (Cj) Ta xét hai trường hợp sau O3 a) Giả sử có cặp đường thẳng song song, không tính tổng quát ta giả sử d 12 // d23 M Ta có d12 ⊥ O1O2 , d 23 ⊥ O2O3 suy O1 , O2 , O3 thẳng hàng Mà d13 ⊥ O1O3 suy d13 // d 23 // d12 b) Giả sử d12 d23 có điểm M chung Khi ta có  P M / ( O1 ) = P M /( O2 ) ⇒ P M / ( O1 ) = P M / ( O3 ) ⇒ M ∈ d13  P = P M / O M / O ( 2) ( 3)  O1 O2 PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM Từ suy có hai đường thẳng trùng trục đẳng phương cặp đường tròn lại Nếu hai trục đẳng phương cắt điểm điểm thuộc trục đẳng phương lại b) Các hệ Nếu đường tròn đôi cắt dây cung chung qua điểm Nếu trục đẳng phương song song trùng tâm đường tròn thẳng hàng Nếu đường tròn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng Cách dựng trục đẳng phương hai đường tròn không cắt nhau: Cho hai đường tròn (O 1) (O2) không cắt nhau, ta có cách dựng trục đẳng phương hai đường tròn sau: - Dựng đường tròn (O3) cắt hai đường tròn (O 1) (O2) A, B C, D - Đường thẳng AB CD cắt M - Đường thẳng qua M vuông góc với O1O2 trục đẳng phương (O1) (O2) (Hình vẽ) M A C O1 O2 O3 D B III Các ví dụ Các toán phương tích PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) M N Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB Gọi C giao điểm AB (I) Khi A ta có: C P A / ( I ) = AC AB = AM AN = P A / ( O ) (không M B đổi A, (O) cố định) I Suy AC = P A /( O) AB O Vì A, B cố định C thuộc AB nên từ hệ thức ta có C cố định Suy I thuộc đường trung trực BC cố định Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm H cố định thuộc AB Từ điểm K thay đổi tiếp tuyến B O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C D Chứng minh CD qua điểm cố định Hướng dẫn Gọi I điểm đối xứng H qua B, suy I cố định thuộc (K) Gọi M giao điểm CD AB Vì CD trục đẳng phương (O) K (K) nên ta có: N H A O B I Vì A, B, H cố định suy M cố định Ví dụ (Chọn đội tuyển PTNK 2008): Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định B, C thay đổi đường thẳng d cố định cho gọi A’ hính chiếu A lên d A′B A′C âm không đổi Gọi M hình chiếu A’ lên AB Gọi N hình chiếu A’ lên AC, K giao điểm tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN M N Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN I giao điểm OK MN Ta thấy O trung điểm AA’ Gọi D P giao điểm AA’ với (ABC) MN Dễ thấy AM AB = AA′ = AN AC A Suy tứ giác BMNC nội tiếp ⇒ ·AMN = ·ACB Mà ·ADB = ·ACB Nên ·AMN = ·ADB N Suy MPDB nội tiếp Do ta I P M AP AD = AM AB = AA′ B A' C Mà A, A’ D cố định suy P cố định Gọi H hình chiếu K AA’ D H có K Ta có AP AH = AI AK = IN = AA′2 Mà A, P, A’ cố định suy H cố định Vậy K thuộc đường thẳng qua H vuông góc với AA’ Ví dụ (IMO 95/1) Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đường tròn đường kính AC BD cắt X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Lấy P điểm XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ M, BP cắt đường tròn đường kính BD điểm thứ N Chứng minh AM, DN XY đồng qui P Hướng dẫn: Gọi Q, Q’ giao điểm DN AM với XY Ta cần chứng minh Q ≡ Q′ X N Tứ M Q giác QMCZ PM PC = PQ.PZ A B Z Y C D nội tiếp, suy PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy PQ′.PZ = PN PB Mà P thuộc XY trục đẳng phương đường tròn đường kính AC đường tròn đường kính BD nên PN PB = PX PY = PM PC Suy PQ.PZ = PQ′.PZ ⇒ Q ≡ Q′ Vậy XY, AM DN đồng quy Các toán trục đẳng phương – Tâm đẳng phương Ví dụ Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua H cắt đường tròn C Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC (O) D, E F a) Chứng minh AB, DE CF đồng quy b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) P Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng Hướng dẫn a) Ta có C P D E Q A O H B M CA.CD = CH = CB.CE , suy ADEB nội tiếp Xét đường tròn (ADEB), (O) đường tròn đường kính CH, DE, AB CF lần PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM lượt trục đẳng phương cặp đường tròn nên chúng đồng quy b) Ta có PQ trục đẳng phương ( C) (O) nên OC ⊥ PQ Ta dễ thấy OD ⊥ DE Hơn H tâm đẳng phương ba đường tròn (O), ( C) đường tròn đường kính CH Suy PQ qua H Vậy DE, PQ qua H vuông góc với OC nên trùng Hay D, E, P, Q thẳng hang Ví dụ (MOP 95) Cho tam giác ABC có đường cao BD CE cắt tai H M trung điểm BC, N giao điểm DE BC Chứng minh NH vuông góc với AM Hướng dẫn A D O E H j N Ta có B I F M C · · · · DEH = DAH = DBC = FEH · · · · ⇒ FED = 2.FEH = 2.DBC = DMC Suy tứ giác EDMF nội tiếp Từ ta có NE.ND = NF NM , suy N nằm trục đẳng phương đường tròn đường kính MH đường tròn đường kính AH Mặt khác H giao điểm (O) (I), suy NH trục đẳng phương (O) (I) Suy NH ⊥ OI , rõ rang OI // AM, NH ⊥ AM Ví dụ (India, 1995) PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D E Gọi P điểm bên tam giác ADE, F G giao DE với BP CP Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt điểm thứ hai Q Chứng minh AQ ⊥ OI Hướng dẫn A P N M E D F G B C Gọi M giao điểm thứ hai AB (PDG), N giao thứ hai AC (PFG) · · · · Ta có ·AMP = PGD PGD (đồng vị), suy ·AMP = PCB , suy BMPC nội tiếp = PCB Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp Suy BMNC nội tiếp, suy AM AB = AN AC Mà AD AE = (Định lý Thalet) AB AC Suy AM AD = AN AE Do A thuộc trục đẳng phương PQ (PDG) (PEF) suy AQ ⊥ OI Ví dụ (Chọn đội tuyển Việt Nam 2006) Cho tam giác ABC tam giác nhọn tam giác cân nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Một đường thẳng d thay đổi cho vuông góc với OA cắt tia AB, AC Gọi M, N giao điểm d AB, AC Giả sử BN CN cắt K, AK cắt BC a) Gọi P giao AK BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM b) Gọi H trực tâm tam giác AMN Đặt BC = a l khoảng cách từ A đến HK.Chứng minh KH qua trực tâm tam giác ABC, từ suy ra: l ≤ R − a Hướng dẫn A L Z H X Q N Y J I O M K Q B P D C a) Gọi Q giao điểm MN BC, E trung điểm BC Xét tứ giác BMPC ta biết Q, P, B, C hang điểm điều hòa Suy (QPBC) = - Khi ta có: 2 EP.EQ = EB , suy QE.QP = QE − QE.PE = QE − EB = OQ − OB = QB.QC · · Mà tứ giác BMNC nội tiếp có NCB = xAB = ·AMN (Ax tia tiếp tuyến (O)) Suy QM QN = QB.QC Từ suy QM QN = QP.QE , suy tứ giác MNIP nội tiếp, suy đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm E cố định b) Giả sử đường cao AD, BF CJ tam giác ABC cắt I; ba đường cao MX, AY, NZ tam giác AMN cắt H Ta cần chứng minh K, I, H thẳng hàng Xét đường tròn tâm (O1) đường kính BN tâm (O2) đường kính CM PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM Ta thấy: KC.KM = KB.KN IC.IJ = IB.IF HM HX = HN HZ Suy K, I, H thuộc trục đẳng phương (O1) (O2) nên thẳng hang Từ suy AL ≤ AI Mà AI = 2.OE = R − BC = 4R2 − a2 Nên AL = l ≤ R − a IV Bài tập Cho đường tròn (O) A, B hai điểm cố định đối xứng qua O M điểm chuyển động (O) MA, MB giao với (O) P Q Chứng minh rằng: AM BM + nhận giá trị không đổi AP BQ (Thi vào trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2003 – 2004) a) Cho đường tròn (C ) tâm O điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt (C ) M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O b) Cho đường tròn (C ) tâm O đường thẳng (d) nằm đường tròn I điểm di động (d) Đường tròn đường kính IO cắt (C ) M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Cho điểm C, A, B thẳng hàng xếp theo thứ tự Một đường tròn (O) thay đổi qua hai điểm A B CM CM’ hai tiếp tuyến (O) Chứng minh rằng: a) M M’ thuộc đường tròn cố định b) Trung điểm H MM’ thuộc đường cố định (Việt Nam 2003) Trên mặt phẳng cho hai đường tròn (O 1) (O2) cố định tiếp xúc M bán kính (O2) lớn bán kính (O2) Một điểm A di chuyển (O2) cho điểm O1, O2 A không thẳng hàng Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB AC đến (O1) (B, C hai tiếp điểm) Đường thẳng MB MC cắt đường tròn (O2) E F Gọi giao điểm EF với tiếp tuyến A (O 2) D PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM Chứng minh D di chuyển đường cố định A thay đổi (O2) mà O1, O2 A không thẳng hàng Cho đường tròn tâm O đường kính AB D điểm cố định thuộc AB, đường thẳng d qua D vuông góc với AB H điểm thay đổi d AH BH cắt (O) P Q Chứng minh PQ qua điểm cố định Cho tam giác ABC đường cao AH thỏa AD = BC Gọi H trưc tâm tam giác, M N trung điểm BC AD Chứng minh HN = HM Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi H, K trực tâm tam giác OAD OBC; M, N trung điểm AB CD Chứng minh MN ⊥ HK (Dự tuyển IMO 1994) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BA, CA, AB D, E, F X điểm bên tam giác ABC cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BD D, tiếp xúc với XB, XC Y, Z Chứng minh EF, YZ BC đồng quy (USAMO 1997) Cho tam giác ABC Về phía tam giác dựng tam giác cân DBC, EAC, FAB có đỉnh D, E, F Chứng minh đường thẳng qua A, B, C vuông góc với EF, FD DE đồng quy 10 F điểm cạnh đáy AB hình thang ABCD cho DF = CF E giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi (O1), (O2) đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF BCF Chứng minh EF ⊥ O1O2 11 (IMO 1994 Shortlist) Một đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng song song d1 d2 Đường tròn thứ hai (C1) tiếp xúc với d1 A tiếp xúc với (C) C Đường tròn thứ (C2) tiếp xúc với d2 B tiếp xúc với (C) D tiếp xúc với (C) E Gọi Q giao điểm AD BC Chứng minh QC = QD = QE 12 Cho tam giác ABC Dựng hình vuông DEFG nội có đỉnh D, E thuộc cạnh BC, F, G thuộc AC AB Gọi dA trục đẳng phương hai đường tròn (ABD) (ACE) Các đường thẳng dA, dB xác định tương tự Chứng minh dA, dB, dC đồng quy 13 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M trung điểm BC, M’ giao điểm AM (O) Tiếp tuyến M cắt đường thẳng qua M vuông góc với AO X Y, Z xác định tương tự Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng PTNK Đai Học Quốc Gia TPHCM 14 (IMO shortlist 2006).Cho ngũ giác lồi ABCDE cho ∠BAC = ∠CAD = ∠DAE ∠ABC = ∠ACD = ∠ADE Gọi M trung điểm CD Chứng minh AM, BD, CE đồng quy 15 Cho đường tròn (O) đường kính AB, P điểm di chuyển tiếp tuyến B (O) PA cắt (O) C, D đối xứng với C qua O, PD cắt (O) E Chứng minh PO, AE, BC đồng quy  ... thẳng trùng trục đẳng phương cặp đường tròn lại Nếu hai trục đẳng phương cắt điểm điểm thuộc trục đẳng phương lại b) Các hệ Nếu đường tròn đôi cắt dây cung chung qua điểm Nếu trục đẳng phương song... tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng 3) Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vuông góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn 4) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường tròn... Trục đẳng phương hai đường tròn (Radical axis) – Tâm đẳng phương( Radical center) Trục đẳng phương a) Định lý 2.1 Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) (O2; R2) Tập hợp điểm M có phương tích