Phương tích, trục đẳng phương

Các bài toán về phương tích và trục đẳng phương. Các bài toán về phương tích và trục đẳng phương. Các bài toán về phương tích và trục đẳng phương. Các bài toán về phương tích và trục đẳng phương. Các bài toán về phương tích và trục đẳng phương

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG A Cơ sở lý thuyết I Phương tích điểm đường tròn Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A B Khi MA.MB = MO − R = d − R 2.Định nghĩa Giá trị không đổi MA.MB = d − R định lý 1.1 gọi phương tích điểm M đường tròn (O) kí hiệu ℘M /(O) 2 Ta có: ℘M /( O ) = MA.MB = d − R 3.Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB CD cắt P PA.PB = PC.PD điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Chứng minh Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD D’ Khi ta có theo định lý 1.1 ta có PA.PB = PC.PD′ , suy PC.PD = PC PD′ ⇒ D ≡ D′ Suy điểm A, B, C D thuộc đường tròn 4.Chú ý: Khi M nằm (O) ℘M /( O ) = Khi M nằm ngồi đường tròn (O) MT tiếp tuyến (O) ℘M /( O ) = MT Nếu A, B cố định AB AM = const ⇒ M cố định Ý tưởng giúp ta giải toán đường qua điểm cố định II Trục đẳng phương hai đường tròn – Tâm đẳng phương Trục đẳng phương a) Định lý 2.1 Cho hai đường tròn khơng đồng tâm (O 1; R1) (O2; R2) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường tròn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) b) Các hệ Cho hai đường tròn (O) (I) Từ định lý 2.1 ta suy tính chất sau: 1) Trục đẳng phương hai đường tròn vng góc với đường thẳng nối tâm 2) Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng 3) Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn 4) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường tròn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường tròn 5) Nếu điểm có phương tích hai đường tròn điểm thẳng hàng 6) Nếu (O) (I) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn Tâm đẳng phương a) Định lý 2.2 Cho đường tròn (C1), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm, điểm gọi tâm đẳng phương ba đường tròn b)Các hệ 1.Nếu đường tròn đơi cắt dây cung chung qua điểm 2.Nếu trục đẳng phương song song trùng tâm đường tròn thẳng hàng 3.Nếu đường tròn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng 4.Cách dựng trục đẳng phương hai đường tròn khơng cắt Cho hai đường tròn (O1) (O2) khơng cắt nhau, ta có cách dựng trục đẳng phương hai đường tròn sau: Dựng đường tròn (O3) cắt hai đường tròn (O1) (O2) A, B C, D Đường thẳng AB CD cắt M Đường thẳng qua M vng góc với O1O2 trục đẳng phương (O1) (O2) B Các dạng tập áp dụng · Bài Cho góc xOy , A thuộc Ox; B,C thuộc Oy cho OA2 = OB.OC Chứng minh rằng: Đường tròn (ABC) tiếp xúc Ox A Hướng dẫn Giải sử đường tròn (ABC) cắt Ox A’ Ta có OA.OA’ = OB.OC Theo giả thiết OA2 = OB.OC nên ta có: OA2 = OA.OA ' ⇒ OA = OA’ ⇒ A ≡ A ' Vậy đường tròn (ABC) tiếp xúc Ox A Bài Cho ∆ABC có (O, R) (I, r) đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp ∆ABC Chứng minh rằng: OI = R − Rr Hướng dẫn Gọi M giao AI đường tròn (O) Ta có IA.IM = R − OI (1) µA + C µ · · ∆MIC có MIC = MCI = ⇒ IM = MC (2) Theo định lí Sin ∆AMC, MC = 2R sin Dựng IH ⊥ AB H Trong ∆IAH có IA = A (3) r A sin (4) Thay (2), (3), (4) vào (1) ta có: Rr = R − OI ⇒ OI = R − Rr Bài Cho đường tròn (O,R) điểm A nằm ngồi đường tròn Gọi BC đường kính thay đổi (O,R) Chứng minh rằng: Đường tròn (ABC) ln qua điểm cố định khác A Hướng dẫn Gọi A’ giao điểm thứ AO đường tròn (ABC) R2 Ta có OA.OA ' = OB.OC = R ⇒ OA ' = OA Vậy A’ nằm đường thẳng OA cố định R2 không đổi nên A’ cố định OA ' = OA Vậy đường tròn (ABC) qua điểm A’ cố định Bài Hai đường tròn ngồi có bốn tiếp tuyến chung Chứng minh rằng: Trung điểm đoạn tiếp tuyến chung nằm đường thẳng Hướng dẫn Gọi I, J, M, N trung điểm đoạn tiếp tuyến chung ℘I /( O1 ) = IA2 ,℘I /( O2 ) = IB mà IA = IB nên ℘I /(O1 ) =℘I /(O2 ) Chứng minh tương tự ta có J, M, N phương tích với (O1) (O2) Vậy I, J, M, N nằm trục đẳng phương hai đường tròn Bài Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH Gọi E, F theo thứ tự hình chiếu H AB, AC Chứng minh rằng: Khi A, H không thay đổi B, C thay đổi thì: a) Tứ giác BCFE nội tiếp b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCFE qua điểm cố định Hướng dẫn a) Ta có ·ACH = ·AHF (góc có cạnh tương ứng vng góc) Do AEHF hình chữ nhật nên ·AHF = ·AEF ⇒ ·ACH = ·AEF mà ·AEF + BEF · · · = 1800 nên BEF + FCB = 1800 ⇒ Tứ giác BECF nội tiếp b) Gọi P, Q giao điểm AH với đường tròn (BEFC) Ta có HP.HQ = HB.HC = AH Mặt khác AP AQ = AE AB = AH ⇒ ( AH − HP )( AH + HQ ) = AH ⇒ AH + AH ( HQ − HP ) − HP.HQ = AH ⇒ AH = HQ − HP  −1 HP = AH   HP − HQ = AH  ⇒ P, Q cố Vậy  giải hệ ta  HP HQ = AH   HQ = + AH  định Vậy đường tròn (BEFC) qua điểm cố định P, Q Bài Cho đường tròn (O) tiếp xúc đường thẳng d H Hai điểm M, N di động d cho HM HN = −k ( k ≠ cho trước ) Từ M, N kẻ tiếp tuyến MA NB (O) ( với A, B khác H) a) Chứng minh rằng: Đường tròn (OMN) ln qua điểm cố định b) Chứng minh rằng: Đường thẳng AB qua điểm cố định Hướng dẫn a) Gọi P giao điểm OH với đường tròn (OMN), có HM HN = HO.HP = −k Mà H, O cố định, k không đổi nên P cố định Vậy đường tròn (OMN) ln qua hai điểm cố định O, P b) Gọi IH đường kính (O); E, F giao điểm IA, IB với d Dễ thấy M, N trung điểm EH, FH Ta có HE.HF = 2.HM HN = −4k Dựng đường tròn (IEF) cắt IH điểm thứ hai J ℘H /(IEF) = HI HJ = HE.HF = −4k ⇒ J cố định Trong tam giác vuông∆IHE ∆IHF Ta có IA.IE = IB.IF = IH ⇒ Tứ giác ABEF nội tiếp (cùng bù · ) · ⇒· IAB = EFB EAB · · · · Mà EFB nên IAB = EJI = EJI Gọi K giao điểm AB IJ ta có tứ giác AKJE nội tiếp ℘I /( AKJE ) = IA.IE = IK IJ = IH ⇒ K cố định Vậy AB qua điểm K cố định Bài 7.Cho AB AC tiếp tuyến đường tròn (O) với B, C thuộc (O) Lấy điểm M AC (M, A khác phía so với C) Giả sử (O) cắt đường tròn (ABM) điểm thứ hai P, Q chân đường vng góc hạ từ C · xuống MB Chứng minh rằng: MPQ = ·AMB Hướng dẫn Gọi P’ giao điểm thứ hai MP với (O), Q’ giao điểm OC MB Ta có MP.MP ' = MC = MQ.MQ ' · · 'Q ' M ⇒ Tứ giác PQQ’P’ nội tiếp ⇒ MPQ =P Lại có · ' BC = MPC · · · P = MPB − BPC · · · = (1800 − MAB ) − BCA = BCA ⇒ BP’//AC ⇒ OC ⊥ BP ' ⇒ OQ ' ⊥ BP ' Mặt khác O thuộc đường trung trực đoạn BP’ nên OQ’ trung trực BP’ Theo · ' Q ' M = MBP · P ' = ·AMB (2) · Từ (1), (2) ⇒ MPQ = ·AMB Bài Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O), M giao AD BC, N giao AB CD, I giao AC BD Chứng minh rằng: O trực tâm ∆MIN Hướng dẫn Gọi H giao điểm thứ hai đường tròn (AID) đường tròn (BIC) Vì MA.MD = MB.MC nên M thuộc trục đẳng phương hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác AIHD BIHC ⇒ M, I, H thẳng hàng Xét tứ giác DOHC có: · · · · · · DHC = DHI + IHC = DAC + DBC = DOC ⇒ Tứ giác DOHC nội tiếp Tương tự ta có tứ giác AOHB nội tiếp Ta có NA.NB = NC.ND nên M thuộc trục đẳng phương đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOHB DOHC ⇒ O, H, N thẳng hàng Ta có: · · · · · IHO = IHD + OHD = DAC + OCD 1· · DOC + OCD = 900 ⇒ IM ⊥ ON = Chứng minh tương tự ta có IN ⊥ OM Vậy O trực tâm tam giác MIN Bài Cho tam giác ABC có đường tròn tâm I nội tiếp, tiếp xúc cạnh BC , CA, AB D, E , F AI cắt đường tròn ( I ) M N (M nằm A N ) DM cắt cạnh EF K , NK cắt đường tròn ( I ) điểm P khác N Chứng minh điểm A, P, D thẳng hàng Hướng dẫn Gọi Q giao điểm AI EF Q cuãng trung điểm EF Tứ giác MQKP có hai góc đối diện đỉnh P, Q vng nên nội tiếp · · Do NPQ = DMN · · mà DMN = DPN · · ⇒ DPQ = DMN · · ta lại có DIN = DMN · · suy tứ giác DPQI nội ⇒ DIN = DPQ tiếp đường tròn (T) Ta có ℘A\( T ) = AQ AI mà tam giác AEI vuông E với đường cao EQ nên AQ AI = AE Do ℘A\( T ) = AQ AI =℘A\( I ) suy A nằm trục đẳng phương hai đường tròn (I) (T) Vậy A, P, D thẳng hàng Bài 10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các đường thẳng AB CD cắt P, đường thẳng AD đường thẳng BC cắt  2R  · ≥ Q Chứng minh rằng: cos POQ ÷  OP + OQ  Hướng dẫn Lấy điểm E PQ cho tứ giác PBCE · · · nội tiếp Ta có PEC nên = ABC = QDC tứ giác QDCE nội tiếp PO − R + QO − R =℘P /( o ) +℘Q /( o ) = PC.PD + QC.QB = PE.PQ + QE.QP = PQ ⇒ OP + OQ − PQ = R · ⇔ 2OP.OQ.cos POQ = 2R2 · ⇔ cos POQ = R2 4R2 ≥ OP.OQ ( OP + OQ ) Dấu "=" xẩy OP = OQ Bài 11 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi P, Q, M lượt giao điểm cặp đường thẳng AB DC, AD BC, AC BD Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OPQ, OMP OMQ Hướng dẫn Gọi S giao điểm thứ đường tròn ngoại tiếp tam giác PDA PQ Khi ( SA, SP ) = ( AD, PD ) = ( AB, BC ) (4 điểm A, B, C, D nằm đường tròn) Suy S, A, B, Q nằm đường tròn uuu r uuur uuu r uuu r ℘P /( ASQB ) = PS PQ = PA.PB = PO − R uuu r uuu r uuu r uuur ℘Q/( CSQB ) = QS QP = QA.QD = QO − R uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur ⇒ PQ = PQ PS + SQ = QS QP + PS PQ = OQ + OP − R ( ) Tương tự: MQ = OQ + OM − R suy OP − OQ = MP − MQ ⇒ MO ⊥ PQ Tương tự ta chứng minh OP ⊥ MQ suy O trực tâm tam giác MPQ Suy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OPQ, OMP OMQ Bài 12.Cho đường tròn (O, R) đường thẳng d khơng có điểm chung với (O) Từ (O) hạ OH ⊥ d H Giả sử M điểm d Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) Gọi K, I hình chiếu vng góc H xuống MA, MB Chứng minh đường kính KI ln qua điểm cố định Hướng dẫn Gọi J, T giao điểm AB với OH OM Ta có OM ⊥ AB MA, MB tiếp tuyến đường tròn (O) · suy MTJ = 900 · Lại có MHJ = 900 OH ⊥ HM · · ⇒ MTJ + MHJ = 1800 suy MTJH nội tiếp ⇒ OJ.OH = OT.OM mà OT OM = OA2 = R tam giác OMA vng A có AT đường cao R2 suy OJ = suy J cố định OH Gọi N hình chiếu vng góc H xuống AB, L giao điểm KI OH Ta có năm điểm M, H, O, A, B nằm đường tròn đường kính OM Do K, I, N hình chiếu vng góc H xuống MA, MB, AB nên K, I, N thẳng hàng, tính chất đường thẳng simson tam giác MAB tương ứng với H · · Vậy tứ giác HIBN nội tiếp INH = IBH · · Mặt khác IBH tứ giác MOBH nội tiếp = MOH · · Lại có HN / / OM vng góc AB nên MOH = JHN · INH = ·JHN tam giác JHN vng góc N nên từ ta có L trung điểm JH Do J, H có định nên L cố định Vậy đường thẳng KI qua điểm L cố định Bài 13.Cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) M N Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB Gọi C giao điểm AB (I) Khi ta có: ℘A/( I ) = AC AB = AM AN =℘A/( O ) (không đổi A, (O) cố định) Suy AC = ℘A/( O ) AB Vì A, B cố định C thuộc AB nên từ hệ thức ta có C cố định Suy I thuộc đường trung trực BC cố định Bài 14.Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm H cố định thuộc AB Từ điểm K thay đổi tiếp tuyến B O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C D Chứng minh CD qua điểm cố định Hướng dẫn Gọi I điểm đối xứng H qua B, suy I cố định thuộc (K) Gọi M giao điểm CD AB Vì CD trục đẳng phương (O) (K) nên ta có: MH MI = MC.MD = MA.MB ( )( ) ( ⇔ ( MB + BH ) ( MB − BH ) = MB ⇔ MB + BH MB + BI = MB MB + BA 2 ) + MB.BA ⇔ MB − BH = MB + MB.BA BH ⇔ BM = BA Vì A, B, H cố định suy M cố định Bài 15.Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định B, C thay đổi đường thẳng d cố định cho gọi A’ hình chiếu A lên d A′B A′C âm khơng đổi Gọi M, N hình chiếu A’ lên AB, AC K giao điểm tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN M N Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN I giao điểm OK MN Ta thấy O trung điểm AA’ Gọi D P giao điểm AA’ với (ABC) MN Dễ thấy AM AB = AA′2 = AN AC Suy tứ giác BMNC nội tiếp ⇒ ·AMN = ·ACB Mà ·ADB = ·ACB Nên ·AMN = ·ADB Suy MPDB nội tiếp Do ta có AP AD = AM AB = AA′2 Mà A, A’ D cố định suy P cố định Gọi H hình chiếu K AA’ Ta có OP.OH = OI OK = ON = AA′2 10 Mà O, P, A’ cố định suy H cố định Vậy K thuộc đường thẳng qua H vng góc với AA’ Bài 16.Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đường tròn đường kính AC BD cắt X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Lấy P điểm XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ M, BP cắt đường tròn đường kính BD điểm thứ N Chứng minh AM, DN XY đồng qui Hướng dẫn: Gọi Q, Q’ giao điểm DN AM với XY Ta cần chứng minh Q ≡ Q′ Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy PM PC = PQ.PZ Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy PQ′.PZ = PN PB Mà P thuộc XY trục đẳng phương đường tròn đường kính AC đường tròn đường kính BD nên PN PB = PX PY = PM PC Suy PQ.PZ = PQ′.PZ ⇒ Q ≡ Q′ Vậy XY, AM DN đồng quy 11 12 ... góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn Tâm đẳng phương a) Định lý 2.2 Cho đường tròn (C1), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm, điểm gọi tâm đẳng phương ba... chung qua điểm 2.Nếu trục đẳng phương song song trùng tâm đường tròn thẳng hàng 3.Nếu đường tròn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng 4.Cách dựng trục đẳng phương hai đường tròn... có cách dựng trục đẳng phương hai đường tròn sau: Dựng đường tròn (O3) cắt hai đường tròn (O1) (O2) A, B C, D Đường thẳng AB CD cắt M Đường thẳng qua M vng góc với O1O2 trục đẳng phương (O1) (O2)