Phương tích của một điểm đối với đường tròn

Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về vị trí tương đối củađường thẳng và đường tròn thì chùm bài tập về hai tiếp tuyến và một cáttuyến của đường tròn là rất quan trọng và được đ

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO GIAO THUỶ

TRƯỜNG THCS GIAO THỦY - -

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI

ĐƯỜNG TRÒN

Tác giả: Vũ Thị Thùy Linh

Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán

Nơi công tác: Trường THCS Giao Thủy

Nam Định, ngày 30 tháng 06 năm 2015

1 Tên sáng kiến : Phương tích của một điểm đối với đường tròn

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Môn Toán - THCS

3 Thời gian áp dụng sáng kiến:

Từ tháng 9 năm 2012 đến tháng 5 năm 2014

4 Tác giả :

- Họ và tên : Vũ Thị Thùy Linh

- Năm sinh : 1981

- Nơi thường trú : TT Ngô Đồng – huyện Giao Thủy -Tỉnh Nam Định

- Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm Toán

- Chức vụ công tác: Giáo viên

- Nơi làm việc: Trường THCS Giao Thủy - huyện Giao Thủy – tỉnh NamĐịnh

- Địa chỉ liên hệ: Trường THCS Giao Thủy - huyện Giao Thủy - Nam Định

- Điện thoại : 0948 428 824

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

- Tên đơn vị : Trường THCS Giao Thủy - huyện Giao Thủy - tỉnh Nam Định

- Địa chỉ : Khu 4 – TT Ngô Đồng – huyện Giao Thủy – tỉnh Nam Định

- Điện thoại : 03503 737 456

I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tựnghiên cứu rất cao Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quátrình tự giáo dục Như vậy, học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo,

tư duy khoa học, từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội Một trong những phương pháp để giúp học sinh đạt được điều đó đối vớimôn Toán (cụ thể môn Hình Học 9) đó là khích lệ các em sau mỗi đơn vịkiến thức cần khắc sâu, tìm tòi những bài toán liên quan Làm được như vậy

có nghĩa là các em rất cần sự say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiếnthức

Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về vị trí tương đối củađường thẳng và đường tròn thì chùm bài tập về hai tiếp tuyến và một cáttuyến của đường tròn là rất quan trọng và được đề cập rất nhiều trong các kìthi vào THPT cũng như thi học sinh giỏi cấp tỉnh Đóng vai trò là đơn vị kiếnthức quan trọng của nội dung Hình Học lớp 9 nhưng đa số các em mới chỉbiết đến chứng minh một số những bài toán đơn lẻ mà không có cách nhìnkhái quát hơn về dạng bài tập này, và hơn nữa là việc vận dụng kiến thức vềphương tích để giải các bài toán liên quan các em còn rất lúng túng

Với lý do đó, kết hợp với một số ít ỏi những kinh nghiệm tích lũy đượctrong quá trình giảng dạy cho các em học sinh lớp 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi

tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Phương tích của một điểm đối với đường tròn”

nhằm giúp các em học sinh dễ dàng hơn trong việc vận dụng, khai thác các vấn

đề liên quan tới dạng bài tập này Và có kĩ năng “ đưa lạ về quen” để giải quyếtvấn đề hình học một cách tốt hơn Mời các bạn đồng nghiệp cùng tham khảo vàđóng góp ý kiến để đề tài của tôi được hoàn thiện và mang tính thực tế cao tronggiảng dạy

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trong quá trình giảng dạy cho các em học sinh lớp 9 ôn thi vào THPT và thi

học sinh giỏi cấp tỉnh thì dạng bài tập về “Phương tích của một điểm đối với

đường tròn” các em gặp rất nhiều, đặc biệt là đối với tỉnh Nam Định dạng bài

tập này đã ba lần có mặt trong đề thi tuyển sinh vào THPT tính từ năm 2000 trởlại đây, và trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh có rất nhiều Tuy nhiên, hầu hếthọc sinh chỉ giải quyết được câu a trong bài tập này một cách dễ dàng, còn đốivới những câu hỏi tư duy ở phần sau các em đều tỏ ra lúng túng, khó khăn mànguyên nhân chủ yếu là do:

- Khi gặp một bài toán hình các em lao vào suy nghĩ, chứng minh dựa trênnhững kiến thức đã được học mà không có cách nhìn khái quát xem đây làdạng bài tập nào, phương pháp chung để giải quyết nó là gì?

- Một yêu cầu bài toán rất quen thuộc của dạng rồi nhưng không phân tíchđược hình vẽ để áp dụng phương tích vào giải quyết nó

- Hay đơn giản là cách hỏi khác đi thì các em đã vội khẳng định không phảidạng bài tâp này rồi

- Một số bài toán giả thiết còn cho ẩn đi, nếu không nắm chắc dạng thì các

em sẽ không khôi phục đầy đủ giả thiết để áp dụng

Với những thực trạng như vậy, tôi thấy việc hình thành dạng bài tập chocác em là rất cần thiết, từ đó giúp các em có kĩ năng tốt hơn khi làm bài

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:

2.1, Nhắc lại các kiến thức cơ bản có liên quan

Để làm tốt dạng bài tập về phương tích của một điểm đối với đường trònthì trước tiên học sinh cần được ôn lại các kiến thức liên quan như: tiếp tuyến,cát tuyến của đường tròn, khái niệm, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nộitiếp, hệ thức lượng trong tam giác vuông…

2.2, Xây dựng kiến thức mới từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa.

Trên thực tế khái niệm về phương tích của một điểm đối với đường tròn khôngđược đề cập đến trong chương trình sách giáo khoa lớp 9, nhưng ứng dụng của

nó trong việc giải toán hình học lớp 9 là rất lớn Nên xuất phát từ kết quả củamột bài toán trong sách giáo khoa giúp tôi đề cập tới vấn đề này.

Bài 23 trang 76 – SGK toán 9 tập 2.

Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn Qua M

kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt đường tròn (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt đường tròn (O) tại C và D Chứng minh: MA MB = MC MD.

- Với bài tập này cần chú ý tới giả thiết “một điểm M cố định không nằm trênđường tròn”để từ đó học sinh phải xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong

và bên ngoài đường tròn Trong mỗi trường hợp xét hai tam giác đồng dạng Nộidung của bài toán được trình bày ở phần lí thuyết dưới đây

- Và từ bài tập này giáo viên giới thiệu lí thuyết về phương tích của một điểmđối với đường tròn

3, Lí thuyết về phương tích của một điểm đối với đường tròn.

3.1 Định lí: Giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại P và cắt đường tròn tại các

điểm tương ứng A, B, C, D, khi đó: PA PB = PC PD

* Chứng minh:

+, TH 1: Điểm P nằm ngoài đường tròn:

O

D C

B A

- Chứng minh trường hợp 1:

Xét PBC∆ và PDA∆ có: P$ chung

·PBC PDA=· ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

⇒ ∆ : ∆PDA (g – g) PB PC PB.PA PC.PD

PD PA

⇒ = ⇒ = (đpcm)

- Trường hợp 2 chứng minh tương tự

* Chú ý: Trong trường hợp cát tuyến trở thành tiếp tuyến thì định lí vẫn còn

đúng

3.2 Hệ quả: Cho điểm P có khoảng cách đến tâm O của đường tròn (O; R) là

d Giả sử đường thẳng di động qua P cắt đường tròn tại hai điểm A và B Khi đó

ta có:

- Nếu P nằm bên trong đường tròn thì: PA PB = R2 – d2

- Nếu P nằm bên ngoài đường tròn thì: PA PB = d2 – R2

- Quy ước: Khi P nằm trên đường tròn thì phương tích bằng 0

4 Xây dựng những kết quả quen thuộc từ bài toán

Bài toán: Cho đường tròn (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp

tuyến AB, AC (với B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến AEF ( E nằm giữa A vàF), gọi I là trung điểm của EF, H là giao điểm của AO và BC

1, Vì AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt)

Nên: OB AB;OC AC⊥ ⊥ (tính chất tiếp tuyến)

- Xét đường tròn (O) có I là trung điểm của dây EF không đi qua tâm nên

OI EF⊥ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

Ta có: ·ABO ACO AIO 90=· = · = 0 ⇒ba điểm B, I, C cùng thuộc đường trònđường kính AO

Hay: Các điểm B, I, O, C, A cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

Nên OA là đường trung trực của BC ⇒OA BC⊥ tại H

Xét tam giác AOB vuông tại B đường cao BH ta có: AB2 = AH AO (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB2 = AE AF = AH AO (đpcm).

* Nhận xét 1:

- Từ kết quả thứ nhất, với các điểm B, I, O, C, A cùng thuộc một đường tròn ta

có các tứ giác với bốn trong 5 đỉnh nói trên nội tiếp ví dụ như các tứ giác ABIO;BIOC; ACOI nội tiếp

- Từ đẳng thức AE AF = AH AO⇒ ∆AEH: ∆AOF c g c( − − ⇒) AEH AOF· = ·

=>tứ giác EHOF nội tiếp

Từ đó định hình cho các em cách sử dụng phương tích để chứng minh tứ giácnội tiếp thông qua chứng minh các góc bằng nhau, mà cặp góc này được suy ra

từ cặp tam giác đồng dạng có được nhờ kết quả của phương tích

Như vậy: từ tính chất của phương tích giúp học sinh có thể chứng minh tứ giác

nội tiếp.

* Nhận xét 2:

- Khi chứng minh được tứ giác nội tiếp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa cácgóc nội tiếp hoặc góc ngoài tại một đỉnh với góc trong tại đỉnh đối diện bổsung thêm vào giả thiết để làm các câu sau

- Khi có AB2 = AE AF = AH AO giáo viên có thể định hướng cho học sinh

chứng minh các đặc tính hình học , chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

thông qua hai bình phương của chúng, hoặc rút ra tỉ lệ thức để từ đó chứng minh

cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp c – g – c, hoặc chứng minh một đẳng

thức hình học

- Với đường tròn (O) cố định thì ta suy ra được đường tròn ngoại tiếp tam giácABC hoặc IBC luôn đi qua điểm O cố định Từ đó các em có thể làm các bài tập

chứng minh đường đi qua điểm cố định

Trên cơ sở những nhận xét ban đầu đã nêu trên, ở một mức độ tương đối gv hìnhthành cho các em các dạng bài tập có liên quan đến tính chất của phương tích, cụthể ta có một số ứng dụng sau:

5, Một số ứng dụng của phương tích trong giải toán hình học

- Chứng minh tứ giác nội tiếp

- Chứng minh các đặc tính hình học: Quan hệ vuông góc, quan hệ songsong, quan hệ bằng nhau của đoạn thẳng, góc

- Chứng minh đường đi qua điểm cố định

- Chứng minh đẳng thức hình học

Trên cơ sở định hướng, phân tích và rút ra những nhận xét nói trên đã hình thànhcho học sinh cách nhìn nhận một bài toán theo đặc trưng riêng của nó Từ đótrang bị cho các em nhiều cách nghĩ khác nhau để tìm ra hướng thích hợp nhấtgiải quyết vấn đề

5.1 Dùng phương tích để chứng minh tứ giác nội tiếp

Bài 1: Cho đường tròn (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn Một cát tuyến

qua A cắt (O) tại B và C Vẽ tiếp tuyến AP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H làhình chiếu của P trên OA Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng thuộc mộtđường tròn

Giải:

Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó

để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ

APB ACP= ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia

tiếp tuyến và dây cùng chắn cung PB)

Mặt khác: Tam giác APO vuông tại P, PH là đường cao nên ta có: AH AO =

AP2 (2) (hệ thức lượng trong tam giác vuông APO)

Từ (1) và (2) ta cóAH AO = AB AC => ∆ABH: ∆AOC⇒AHB ACOˆ = ˆ

Xét tứ giác OHBC có: ·AHB ACO= · nên tứ giác OHBC nội tiếp ( tứ giác có gócngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Hay: 4 điểm O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn

Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB

tại B và tiếp xúc với AC tại C Gọi H là giao điểm của OA và BC Vẽ dây cung

DE của (O) đi qua H Chứng minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp

Hướng dẫn giải

Tam giác OCA vuông tại C, CH là đường cao nên ta có:

HO HA = HC2 (1) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có:

HD HE = HB HC = HC2 (2) (định lí)

Từ đó ta có HA.HO = HD.HE => tứ giác ADOE nội tiếp

Bài 3:

Cho đường tròn (O; R) và một điểm I nằm trong đường tròn Hai dây cung AB

và CD cùng đi qua I Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và Dcắt nhau tại Q Gọi M là giao điểm của OQ và CD, N là giao điểm của OP và

b, Chứng minh tg OMIN nội tiếp ⇒OMN OIN· = ·

Mà: OMN OPQ· = · ⇒OIN OPQ· = ·

Trong tam giác OIN vuông tại N có:

N M

Q

O

D C

P B

A

I

Bài 4: Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và

cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H là trung điểm của DE

a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.b) Chứng minh HA là tia phân giác của ·BHC

c) DE cắt BC tại I Chứng minh : AB 2 = AI.AH

d) Cho AB=R 3 và OH=R

2 Tính HI theo R

Bài 5: Từ 1 điểm A ngoài (O;R), kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C

là tiếp điểm và cát tuyến ADE đến (O) sao cho AD < AE, D và C nằm ở 2 mặt

phằng bờ OA khác nhau , góc ·BEC là góc nhọn Kẻ EM vuông góc với BC tại

M, DM cắt(O) tại N.Đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt OA tại I Chứngtỏ:Tứ giác ONEI nội tiếp

Trước hết ta cm: K, M, E thẳng hàng, với K là giao điểm của AN và (O)

Dễ dàng chứng minh: DHOE, KHON là tứ giác nội tiếp

Từ đó có: ·DHB BHE· 1DOE DCE· ·

Trở lại bài toán:

Ta chỉ cần cm góc NIO = góc NEO là xong Bằng biến đổi góc ta thấy hai gócnày cùng phụ góc NAI

5 2 Dùng phương tích để chứng minh các đặc tính hình học

Bài 1: Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,

AC với đường tròn đó (B, C là các tiếp điểm) Gọi M là trung điểm của AB.Đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại N (N khác C) Tia AN cắt đường tròn(O) tại D ( D khác N) Chứng minh: MAN· = ·ADC

MBN MCB (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp

tuyến và dây cùng chắn cung BN)

D N

M

C

B

O A

 ∆MBN ∼∆MCB (g-g) Nên MB MN MB2 MN MC.

MC = MB ⇔ =

 Xét ∆MAN và ∆MCA có góc ¶M chung

Vì M là trung điểm của AB nên MA MB=

Theo chứng minh trên ta có: 2

* Nhận xét: ở bài toán trên ta thấy việc áp dụng kết quả của phương tích không

chỉ được áp dụng cho giả thiết ban đầu của bài toán mà nó còn được áp dụngcho hình vẽ thêm về sau Cụ thể trong bài toán trên phương tích được áp dụngcho tiếp tuyến MB và cát tuyến MNC

Bài 2: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Đường thẳng MO cắt (O) tại E

và F (ME < MF) Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm,

A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO)

a, Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF

b, Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO.Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp

c, Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đườngkính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K Gọi S là giaođiểm của hai đường thẳng CO và KF Chứng minh rằng đường thẳng MS vuônggóc với đường thẳng KC

d, Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS vàABS và T là trung điểm của KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng

Giải: Vì hai tam giác đồng dạng MAE và

b, Xét tứ giác MKSC nội tiếp trong đường tròn đường kính MS (có hai góc K và

C vuông)

Vậy ta có : MK2 = ME.MF = MC2 nên MK = MC

Do đó MF chính là đường trung trực của KC nên MS vuông góc với KC tại V

c, Do hệ thức lượng trong đường tròn ta có MA.MB = MV.MS của đường tròntâm Q

Tương tự với đường tròn tâm P ta cũng có MV.MS = ME.MF nên PQ vuông gócvới MS và là đường trung trực của VS (đường nối hai tâm của hai đường tròn).Nên PQ cũng đi qua trung điểm của KS (do định lí trung bình của tam giácSKV) Vậy 3 điểm T, Q, P thẳng hàng

Bài 3: Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến

PA, PB với đường tròn (O)(A, B là hai tiếp điểm) PO cắt đường tròn tại hai điểm

K và I (K nằm giữa P và O) và cắt AB tại H.Gọi D là điểm đối xứng với B qua O,

C là giao điểm của PD với đường tròn (O)

a) Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp

b) Chứng minh AC CH ⊥

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M Tia AM cắt IB tại Q.Chứng minh M là trung điểm của AQ

a) Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp:

Ta có: D đối xứng với B qua O nên BD là

đường kính của đường tròn (O)

suy ra: BCD 90· = o(nội tiếp chắn nửa

nên OP là trung trực của AB Khi đó · o

Từ kết quả câu b vá giả thiết suy ra M thuộc đường tròn đường kính AH

Khi đó : IBA ICA· = · ( 1

2

= sđIDA¼ ) và ICA MHA· = · (1

2sđMA¼ của đường tròn đườngkính AH)

suy ra: IBA MHA· = · ở vị trí đồng vị nên MH// BI (3)

Lại có H là trung điểm của AB (4) (suy ra từ (*))

Từ (3) và (4), suy ra M là trung điểm của AQ Vậy MA = MQ

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA.

Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D Đường tròn tâm Itiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD Gọi E

là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE.

Cách vẽ: + Vẽ phân giác của ·ADB cắt AB tại E

Đường phân giác của·ACD và đường thẳng vuông góc với AB tại E cắt nhau tạiI

Ta có : (I; IE) là đường tròn tiếp xúc với AC; DC và (O).

Thật vậy : Hạ IF ⊥DC Ta có : IE = IF ( t/c đường phân giác)

Nên (I; IE) tiếp xúc với AC; DC và IECF là hình vuông

Nên ba điểm G, F và B thẳng hàng ( vì 2 tia GF và GB trùng nhau)

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ∆ADB ADB:· = 90 0 nên BD2 =BC BA×

Bài 5: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2007 – 2008 tỉnh Nam Định)

Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đường thẳng

AB không đi qua tâm O Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ

M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp

điểm) Gọi H là trung điểm của dây cung AB Các điểm K và I theo thứ tự làgiao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OM và OH.

1 Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đường tròn

2 Chứng minh: OH.OI = OK OM

3 Chứng minh: IA, IB là các tiếp tuyến của đường tròn (O)

1/ 5 điểm M, E, O, H, F cùng nằm trên đường tròn

đường kính MỌ

2/ ∆OHM ~∆OKI (g.g) ⇒

OI

OM OK

MO

=

⇒ ∆MOA ~∆AOK (c.g.c)

K OA

M

I

B E

F H

⇒ ∠OMA = ∠OAK

Mà ∠OMA = ∠OIK (cmt) ⇒ ∠OAK = ∠OIK

⇒Tứ giác IAKO nt (tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp …)

⇒ ∠OAI = ∠OKI = 900 (2 góc nt cùng chắn cung OI của (IAKO))

⇒ OA ⊥ IA ⇒IA là tt của (O).

Lại có ∠OAI = ∠OBI = 900 ⇒IB là tt của (O)

Bài 6: Cho ∆ABC có AB > AC và ngoại tiếp đường tròn (I) Các cạnh BC, CA

và AB của ∆ABC lần lượt tiếp xúc đường tròn (I) tại các tiếp điểm là D, E, F.Tia FE cắt tia BC tại điểm M Đoạn thẳng AD cắt đường tròn (I) lần nữa tại N.Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (I)

AI cắt EF tại H và AD cắt IM tại K

Ta chứng minh được D và H cùng nhìn

đoạn IM dưới một góc vuông

Do đó tứ giác IDMH nội tiếp, suy ra

Ta cũng có ID2 = IF2 = IH IẲ), từ đó∆

IDH ∆IAD (c.g.c)

Từ (1) và (2) suy raIAK IMH· =·

Suy ra∆IAK ∆IMH (g.g)⇒ IKA IHM 90 · = · = Ο

Suy ra K là trung điểm của dây DN, suy ra đường thẳng IM là đường trung trựccủa đoạn thẳng DN

Do đó dễ thấy∆INM =∆IDM (c.c.c)⇒ INM IDM 90 · = · = Ο

Vậy MN là tiếp tuyến tại N của đường tròn (I)

Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M là trung điểm của BC; H là

trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC Với K là giao điểmcủa EF và BC kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giácAEF và DKE, Chứng minh rằng:

1, ME là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2)

2, KH ⊥AM

Giải :

Ta có Eµ = =Fµ 90 0 nên tứ giác

AEHF nội tiếp đường tròn (C1) có

tâm là trung điểm AH

MEB=CBE (3)( do đương trung

tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ (1), (2) và (3) ta có

Ta thấy AF· E=·ACB; AN· E=·AFE=>·ANE=·ACB

=> nghĩa là C,M,N, F cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh A,E,N, B nội tiếp do đó KNM· = 90 0 KH ⊥AM

5.3, Dùng phương tích để chứng minh đẳng thức hình học

* Nhận xét: Trong các bài toán chứng minh đẳng thức hình học dưới đây hầu hết

ta đều đưa về các tỉ lệ thức mà ta có thể suy ra được từ kết quả của phương tích,

hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Talets Qua đó cho chúng ta thấyrằng ngoài các cách chứng minh đẳng thức thông thường ở lớp 8 thì đối với lớp

9 chúng ta được bổ sung thêm một số phương pháp mới đó là sử dụng hệ thức

về cạnh và đường cao trong tam giác vuông hoặc sử dụng phương tích để chứng minh đẳng thức hình học Cụ thể hơn ta xét một vài ví dụ sau:

Bài 1: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2012 – 2013 tỉnh Nam Định)

Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối của tia BA lấy điểm C (Ckhông trùng với B) Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm), tiếptuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E Gọi H là giao điểmcủa AD và OE, K là giao điểm của BE với đường tròn (O) (K không trùng vớiB)

1) Chứng minh AE2 = EK EB

2) Chứng minh 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn