Toán tử n hypercyclic yếu và n supercyclic yếu trong không gian véc tơtô pô lồi địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUN SOUKHALUCK TỐN TỬ n-HYPERCYCLIC YẾU VÀ n-SUPERCYCLIC YẾU TRONG KHƠNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THÌN Thái Nguyên - Năm 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUN SOUKHALUCK TOÁN TỬ n-HYPERCYCLIC YẾU VÀ n-SUPERCYCLIC YẾU TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TƠPƠ LỒI ĐỊA PHƯƠNG Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THÌN Thái Nguyên - Năm 2021 Lời cam doan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Nguyễn Văn Thìn Tơi khơng chép từ cơng trình khác Các tài liệu luận văn trung thực, kế thừa phát huy thành khoa học nhà khoa học với biết ơn chân thành Thái Nguyên, tháng năm 2021 Người viết luận văn BOUN SOUKHALUCK i Lời cảm ơn Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Văn Thìn tận tình trực tiếp giúp đỡ, định hướng cách tư cách làm việc khoa học, giải đáp thắc mắc, hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Đó góp ý q báu khơng q trình thực luận văn mà hành trang tiếp bước cho tơi q trình học tập lập nghiệp sau Một lần xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy! Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ Nhiệm khoa Tốn thầy tổ Bộ mơn Giải tích tạo điều kiện cho tơi làm luận văn, quan tâm đôn đốc trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 202 BOUN SOUKHALUCK ii Mục lục Lời cam doan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Tốn tử n-hypercyclic yếu khơng gian véc tơ tôpô lồi địa phương 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Định lý kiểu Ansari n-yếu 10 1.3 Xây dựng toán tử n-hypercyclic yếu 18 Tốn tử n-supercyclic yếu khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương 28 2.1 Tốn tử n-supercyclic yếu: tính chất 28 2.2 Một số họ phổ quát 37 2.3 Tiêu chuẩn toán tử n-supercyclic yếu 39 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 iii Mở đầu Lý chọn luận văn Cho X không gian véc-tơ tôpô f : X −→ X ánh xạ liên tục Với phần tử x ∈ X , kí hiệu Orb(x, f ) = {x, f (x), f (x), , f n (x), } Trong đó, f n hợp thành n lần f Việc nghiên cứu quỹ đạo f dáng điệu f n vấn đề trung tâm lý thuyết hệ động lực Trong lý thuyết hệ động lực hệ động lực tuyến tính đóng vai trị quan trọng, có nhiều ứng dụng phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, Năm 1969, S Rolewicz [19] nghiên cứu quỹ đạo tốn tử tuyến tính liên tục, ơng tồn tốn tử tuyến tính lp c0 có quỹ đạo trù mật Có lẽ lấy cảm hứng từ kết này, năm 1982, C.Kitai nghiên cứu tốn tử tuyến tính khơng gian Banach có quỹ đạo trù mật mà ơng gọi toán tử hypercyclic, năm 2012, N.S Feldman [15] nghiên cứu toan tử n− hypercyclic yếu n−supercyclic yếu Khi xét quỹ đạo trù mật với lớp tơpơ khác thu lớp tốn tử khác Kể từ đó, nhiều tác giả giới tiếp tục hướng nghiên cứu J.H Shapiro, K.G Grosse-Erdmann [16], A.Peris [18], Với mong muốn tiếp cận hướng nghiên cứu này, lựa chọn chủ đề “Toán tử n-hypercyclic yếu n-supercyclic yếu không gian véc tơ tôpô lồi địa phương” làm đề tài luận văn thạc sĩ Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng nghiên cứu bản, sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến toán tử n-hypercyclic n-supercyclic không gian véc tơ tôpô lồi địa phương Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề luận văn Mục đích luận văn Mục đích luận văn nghiên cứu số lớp toán tử n-hypercyclic yếu n-supercyclic yếu không gian véc tơ tôpô lồi địa phương Nội dung luận văn Luận văn gồm chương: - Chương Tốn tử n-hypercyclic yếu khơng gian véc tơ tôpô lồi địa phương - Chương Tốn tử n-suppercyclic yếu khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương Chương Toán tử n-hypercyclic yếu không gian véc tơ tôpô lồi địa phương Trong luận văn này, ta kí hiệu X Y không gian véc tơ tôpô lồi địa phương trường số thực R trường số phức C, F tập số thực tập số phức Không gian đối ngẫu X ∗ tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X , B(X) tập tất tốn tử tuyến tính liên tục X , B(X, Y ) tập tấc tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y 1.1 Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1.1 Cho T tốn tử tuyến tính liên tục không gian X trường F Với phần tử x ∈ X , quỹ đạo x T Orb(x, T ) = {T n x}∞ n=0 = {x, T x, T x, } T gọi hypercyclic có quỹ đạo trù mật, tức có véc tơ x ∈ X cho Orb(x, T ) trù mật X Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian lồi địa phương x0 ∈ X Cơ sở lân cận tôpô yếu x0 định nghĩa sau: Với F = {f1 , , fn } ⊆ X ∗ ε > 0, đặt N (x0 , F, ε) = N (x0 , f1 , , fn , ε) = {x ∈ X : |f (x) − f (x0 )| < ε, ∀f ∈ F} Cho F : X → Fn xác định F (x) = (f1 (x), , fn (x)) · ∞ chuẩn ∞ < ε} max Fn , N (x0 , f1 , , fn , ε) = N (x0 , F, ε) := {x ∈ X : F (x) − F (x0 ) Một tập E ⊆ X cho mở yếu với x0 ∈ E , tồn tập hữu hạn F ⊆ X ∗ ε > cho N (x0 , F, ε) ⊆ E Ta giới thiệu khái niệm n-tập mở yếu, ta giới hạn kích thước F Nếu A tập hợp, ta kí hiệu |A| lực lượng A Định nghĩa 1.1.3 Cho n số nguyên dương, X không gian lồi địa phương E ⊆ X , đó: (a) Tập E n-mở yếu với x0 ∈ E , tồn ε > tập F ⊆ X ∗ với |F| ≤ n cho N (x0 , F, ε) ⊆ E (b) Tập E n-đóng yếu phần bù E n-tập mở yếu (c) Tập E n-trù mật yếu X E ∩ N = ∅ với tập N n-mở yếu khác rỗng X (d) Một điểm x0 ∈ X nằm n-bao đóng yếu tập E với tập n-mở yếu N chứa x0 , ta có N ∩ E = ∅ Định nghĩa 1.1.4 Nếu n số ngun dương ta nói tốn tử T nhypercyclic yếu tồn véc tơ x ∈ X cho Orb(x, T ) n-trù mật yếu X Chú ý tập dạng N (x0 , F, ε) n-tập mở yếu lực lượng F nhiều n Trong thực tế, ta gọi tập n-tập mở yếu bản, n-tập mở yếu hợp n-tập mở yếu Các n-tập mở yếu khơng tạo thành dạng tơpơ chúng khơng đóng điểm giao hữu hạn n-tập đóng yếu khơng đóng hợp hữu hạn Mệnh đề 1.1.5 (Các tính chất n-tơpơ yếu) Nếu X khơng gian lồi địa phương ta có tính chất sau: (a) Nếu U m-tập mở yếu X , V n-tập mở yếu X k = max{m, n} U ∪ V k -tập mở yếu X (b) Nếu U m-tập mở yếu X V n-tập mở yếu X U ∩ V (m + n)-tập mở yếu X (c) Nếu F1 m-tập đóng yếu X F2 n-tập đóng yếu X F1 ∪ F2 (m + n)-tập đóng yếu X (d) Nếu F1 m-tập đóng yếu X , F2 n-tập đóng yếu X k = max{m, n} F1 ∩ F2 k -tập đóng yếu X Mệnh đề 1.1.6 Nếu C tập lồi khơng gian lồi địa phương X 1-bao đóng yếu C X bao đóng C X Mệnh đề sau cho thấy nhiều cách khác để xét n-tập trù mật Mệnh đề 1.1.7 Nếu X không gian lồi địa phương F = R C, E ⊆ X n số nguyên dương khẳng định sau tương đương (a) E n-trù mật yếu X (b) F (E) trù mật Fn với ánh xạ tuyến tính liên tục F : X → Fn (c) {f1 (x), , fn (x) : x ∈ E} trù mật Fn với tập độc lập tuyến tính phiếm hàm {f1 , , fn } ⊆ X ∗ (d) F (E) trù mật F (X) với ánh xạ tuyến tính liên tục F : X → Y với dim(F (X)) ≤ n (e) π(E) trù mật X/M với khơng gian tuyến tính đóng M X với dim(X/M) ≤ n, π : X → X/M ánh xạ thương (f) Với khơng gian N ⊆ X có đối chiều n, N có khơng gian bù M để hình chiếu E vào M theo N trù mật M (g) Nếu X không gian Hilbert điều kiện tương đương, với không gian M X với dim(M ) = n chiếu trực giao E vào M trù mật M Mệnh đề 1.1.8 Giả sử X không gian lồi địa phương trường vô hướng F nk ∈ N cho F (ck xnk ) → F (z) k → ∞ Do đó, ta có     f1 (ck xnk ) f1 (z)             fn (ck xnk ) fn (z)    F (ck xnk ) =   g1 (ck xn )  → F (z) =  g1 (z)  k → ∞    k          gn (ck xnk ) gn (z) Vì fj (z) = 0, ∀ ∈ {1, , n} nên fj (ck xnk ) = 0, ∀j ∈ {1, , n} với k đủ lớn Do đó,    ck xnk  g1 (ck xnk ) xnk     ) ) g1 ( g1 ( z   ) g ( f1 (z)  f1 (xnk )   f1 (ck xnk )   f1 (ck xnk )          = = →   (2.4)       x nk ck xnk  gn (ck xnk )  gn ( fnz(z) ) gn ( gn ( fn (xnk ) fn (ck xnk ) fn (ck xn ) k Đặt vk = (vk,1 , vk,2 , , vk,n ) = cho vk,j = x nk fj (xnk ) với ≤ j ≤ n Do đó, vk ∈ E từ (2.4), ta thấy n g(vk ) = n gj (vk,j ) = j=1 xnk x nk x nk , , , f1 (xnk ) f2 (xnk ) fn (xnk ) gj j=1 xnk fj (xnk ) n → gj j=1 z fj (z) = g(z (n) ) Do đó, z (n) thuộc vào 1-bao đóng yếu E X n Chứng minh Định lý 2.1.7 Bằng phương pháp phản chứng, giả sử véc tơ x biểu thức Định lý 2.1.7 véc tơ 2n-supercyclic yếu T , F · Orb(x, T ) 2n-trù mật yếu X Chú ý giả thiết kéo theo dim(X) ≥ n j=1 {v : fj (v) = 0} = ∅,cịn khơng ta có X = nj=1 {v : fj (v) = 0} X hợp hữu hạn tập đóng nên tập đóng phải có phần khác rỗng, suy fj với số j nên điều mâu thuẫn với giả thiết Vì vậy, n n=1 {v : fj (v) = 0} = ∅ Vì nj=1 {v : fj (v) = 0} tập mở khác rỗng X có hai Vì phiếm hàm fj khác với j , ta có 34 chiều, F · Orb(x, T ) hợp đếm không gian chiều nên từ Định lý Baire phạm trù, suy n j=1 {v : fj (v) = 0} tập F · Orb(x, T ) Vì vậy, n {v : fj (v) = 0}] \ (F · Orb(x, T )) = ∅ [ j=1 Lấy n z∈[ {v : fj (v) = 0}] \ (F · Orb(x, T ) j=1 Khi đó, fj (z) = 0, ∀j ∈ {1, , n} z ∈ / F · Orb(x, T ) Vì x véc tơ 2n-supercyclic yếu T nên z thuộc vào 2n-bao đóng yếu F · {T k x}∞ k=0 , theo Mệnh đề 2.1.8, ta có z z z , , , f1 (z) f2 (z) fn (z) z (n) := ∈ X n2 thuộc vào 1-bao đóng T kx T kx T kx , , , :k∈J f1 (T k x) f2 (T k x) fn (T k x) E= ∈ X n2 đó, J = {k ∈ N : fj (T k x) = 0, ∀1 ≤ j ≤ n} Ta nhắc lại X n2 biểu diễn -tổng trực tiếp n X Chú ý z (n) ∈ / E z ∈ X \ (F · Orb(x, T )) Vì z (n) thuộc vào 1-bao đóng yếu E , E khơng phải 1-dóng yếu Tuy nhiên, ta chứng minh E 1-đóng yếu, nên điều mâu thuẫn Để thấy điều này, ta cần áp dụng Định lý Ball (Định lý 1.1.14) Chú ý T kx T kx T kx , , , f1 (T k x) f2 (T k x) fn (T k x) vk = ∈E vk ≥ vk ∞ T kx T kx = 1≤j≤n |fj (T k x)| min1≤j≤n |fj (T k x)| = max Do đó, cho p = X khơng gian Hilbert p = k∈J vk p ≤ k∈J min1≤j≤n |fj (T k x)| T kx 35 ∞ p ≤ k=1 min1≤j≤n |fj (T k x)| T kx < ∞ Vì X n2 không gian Hilbert X không gian Hilbert khơng gian Banach, nên theo Định lý Ball E = {vk : k ∈ J} 1-bao đóng yếu X n2 Do đó, ta gặp mâu thuẫn Vậy, x khơng phải véc tơ 2n-supercyclic yếu đói với T Định lý 2.1.9 (Tiêu chuẩn 1-góc yếu) Giả sử T tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach X x ∈ X Nếu có phiếm hàm tuyến tính liên tục f khác X cho ∞ n=0 p |f (T n x)| T nx cho σ(T1 ) ⊆ {z ∈ C : |z| < r} σ(T2 ) ⊆ {z ∈ C : |z| > r} T = T1 ⊕ T2 2-supercyclic yếu Chứng minh Ta áp dụng tiêu chuẩn tỉ số yếu với M = X1 ⊕ {0} N = {0} ⊕ X2 mà hai không gian bù X1 ⊕ X2 bất biến T Chọn r1 , r2 cho < r1 < r < r2 , σ(T1 ) ⊆ {z ∈ C : |z| < r1 } σ(T2 ) ⊆ {z ∈ C : |z| > r2 } Khi tồn hai số c1 , c2 > cho T1n x < c1 r1n x với n ≥ x ∈ X1 Ta cịn có T2n y ≥ c2 r2n y với n ≥ y ∈ X2 Do đó, ∞ n=0 T n (x ⊕ 0) T n (0 ⊕ y) ∞ = n=0 T1n x T2n y ∞ ≤ n=0 ∞ =C n=0 c1 r1n x c2 r2n y r1 r2 n ≤ i ≤ p (b) Tổng trực tiếp n tốn tử {Ti }pj=1 supercyclic Khi đó, T = p i=1 Ti n-supercyclic yếu Chú ý điều kiện (a) thỏa mãn wi,k = với k ≤ ≤ i ≤ p Chứng minh Ta kiểm tra điều kiện Định lý 2.3.5 Cho F tập véc tơ (N) với giá hữu hạn, tức véc tơ có hữu 41 hạn tọa độ khác đặt H = (Z)p = p i=1 (Z) Đặt p F = {(xi )pi=1 ∈ H : xi ∈ F, ≤ i ≤ p} p D1 = F = i=1 Chú ý theo điều kiện (a) Ví dụ 2.3.6, ta có (i) < inf T n x ≤ sup T n x < ∞ với x ∈ D1 \ {0} n≥0 n≥0 Với J ⊆ {1, , p} với |J| ≤ n, xác định HJ = {(xi )pi=1 ∈ H : xi = i ∈ / J} Xác định HJ = i∈J (Z) Rõ ràng, HJ HJ đẳng cấu Nếu TJ = Ti i∈J ta coi TJ toán tử H HJ Gọi Si ngịch đảo bên phải Ti (do đó, Si dịch chuyển sang phía trước có trọng số với dãy trọng số {1/wi,k }∞ k=1 , nhiên Si khơng bị chặn) kí hiệu S = p i=1 Si , T S = I Đặt Sk = S k với k ≥ Theo giả thiết, |J| ≤ n TJ supercyclic HJ theo Định lý Salas, TJ thỏa mãn tiêu chuẩn supercyclic Salas (xem Định lý 2.3.4) Do đó, tồn tập trù mật D1,J , D2,J H dãy số nguyên dương tăng ngặt {nk,J }∞ k=1 thỏa mãn điều kiện tiêu chuẩn supercyclic Salas Ta chọn D1,J = D2,J = FJ := F p ∩ HJ Do đó, dãy {nk,J }∞ k=1 với x, y ∈ FJ , ta có (ii) T nk,J x Snk,J y → k → ∞ Theo (i), ta biết { T nnk ,J } bị chặn lân cận đó, với y chứa FJ , ta phải có (iii) Snk ,J y → k → ∞ Ta xác định D1 = F p tập trù mật H, xác định D2 sau: D2 = {(xi )pi=1 ∈ F p : |{i : xi = 0}| ≤ n} = {FJ : J ⊆ {1, , p} |J| ≤ n} 42 Bằng cách chọn dãy cần thiết, ta giả sử dãy {nk,J }∞ k=1 rời rạc tập J khác Cho {nk }∞ k=1 liệt kê tăng ngặt {nk,J : J ∈ {1, , p}, |J| ≤ n} Ta kiểm tra lại điều kiện (a) Định lý 2.3.5 Cho y ∈ D2 , tồn J ⊆ {1, , p} với |J| ≤ n cho y ∈ FJ Dãy {nk,J }∞ k=1 dãy {nk }∞ k=1 theo (iii) ta biết Snk,J y → k → ∞ Điều kết hợp với (i) { T nk,J x } bị chặn với n ∈ D1 , ta có (iv) T nk,J x Snk,J y → k → ∞ với x ∈ D1 y ∈ D2 Như vậy, điều kiện (a) Định lý 2.3.5 thỏa mãn Chú ý khác biệt (ii) (iv) (ii) ta phải có x ∈ FJ = D1,J , (iv) x nằm tập lớn D1 = F Vì S ngịch đảo bên phải T nên điều kiện (b) Định lý 2.3.5 thỏa mãn Vì hai điều kiện (a) (b) Định lý 2.3.5 thỏa mãn nên có tập trù mật Gδ , kí hiệu Ω ⊆ H cho với x ∈ Ω ta có D2 ⊆ cl[F · Orb(x, T )] Theo Mệnh đề 1.3.9, tập D2 n-trù mật yếu H Do đó, T nsupercyclic yếu Định lý 2.3.7 (Các tổng trực tiếp dịch chuyển song phương có trọng số) Giả sử {Ti }ni=1 dịch chuyển lùi song phương có trọng số (Z) Nếu T = n i=1 Ti (2n)-supercyclic yếu T supercyclic Việc chứng minh định lý giống Shkarin [22] (có thể xem [5], p.242), ngồi ta cần áp dụng “tiêu chuẩn n-góc yếu” (Định lý 2.1.7) bổ đề sau Bổ đề 2.3.8 Nếu {a1 , a2 , , ap } {b1 , b2 , , bp } tập hữu hạn số thực đương, min{a1 b1 , a2 b2 , , ap bp } ≤ min{a1 , a2 , , ap } · max{b1 , b2 , , bp } max{a1 b1 , a2 b2 , , ap bp } ≥ max{a1 , a2 , , ap } · min{b1 , b2 , , bp } 43 Chứng minh Đặt M = max{b1 , b2 , , bp }, ak khơng âm nên với ≤ k ≤ p, ta có ak bk ≤ ak M Hơn nữa, min{a1 b1 , a2 b2 , , ap bp } ≤ min{a1 M, a2 M, , ap M } = M min{a1 , a2 , , ap } = min{a1 , a2 , , ap } · max{b1 , b2 , , bp } Đặt m = min{b1 , b2 , , bp }, ak khơng âm nên với ≤ k ≤ p, ta có ak bk ≥ ak m Ta có max{a1 b1 , a2 b2 , , ap bp } ≥ max{a1 m, a2 m, , ap m} = m max{a1 , a2 , , ap } = max{a1 , a2 , , ap } · min{b1 , b2 , , bp } Chứng minh Định lý 2.3.7 Giả sử {Ti }ni=1 dịch chuyển lùi có n (Z) với dãy {wi,k }∞ i=1 Ti k=−∞ , ≤ i ≤ n Cho T = n tác động H = j=1 (Z) Giả sử T (2n)-supercyclic yếu Bằng phương pháp phản chứng, giả sử T supercyclic Ta áp dụng “tiêu chuẩn n-góc yếu” (Định lý 2.1.7) Vì T supercyclic nên tồn q ≥ δ > cho trọng số max 1≤i,j≤n wi,q−1+1 wi,q wj,q+1 wj,q+k ≥ δ với k ≥ Bằng cách lấy số nghịch đảo ta có max 1≤i,j≤n wi,q−1+1 wi,q wj,q+1 wj,q+k = max1≤i,j≤n wi,q−k+1 wi,q wj,q+1 wj,q+k ≤ với k ≥ δ (2.5) Cho eq = ( , 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, ) ∈ (Z) nằm vị trí thứ q ≤ j ≤ n, cho fj = (0, 0, , eq , 0, , 0) ∈ H = nj=1 (Z), eq nằm vị trí thứ j fj Vì T (2n)-supercyclic yếu, tập 44 véc tơ (2n)-supercyclic yếu tạo thành tập (2n)-trù mật yếu H, ta chọn véc tơ (2n)-supercyclic x = (x1 , , xn ) ∈ H T cho xj,q := xj , eq = x, fj = với ≤ j ≤ n (2.6) Vì véc tơ quỹ đạo vô hướng véc tơ (2n)-supercyclic yếu véc tơ (2n)-supercyclic yếu tập V = {x ∈ H : x, fj = với ≤ j ≤ n} n-tập mở yếu H Lưu ý Tjk xj ≥ | Tjk xj , eq−k | = wj,q wj,q−1 wj,q−k+1 |xj,q | > với k ≥ ≤ j ≤ n, từ Bổ đề 2.3.8 ta có T k x ≥ max Tjk xj ≥ max (wj,q wj,q−1 wj,q−k+1 |xj,q |) 1≤j≤n 1≤j≤n ≥ max {wj,q wj,q−1 wj,q−k+1 } {|xj,q |} > 1≤j≤n 1≤j≤n Chú ý fj (T k x) := T x x, fj = Tjk xj , eq = wj,q+1 wj,q+2 wj,q+k · xj,q+k Do đó, áp dụng Bổ dề 2.3.8 ta có ∞ k=0 min{|f1 (T k x)|, |f2 (T k x)|, , |fn (T k x)|} T kx ∞ = k=0 ∞ ≤ k=0 = = min1≤j≤n {wj,q+1 wj,q+2 wj,q+k · |xj,q+k |} T kx min1≤j≤n {wj,q+1 wj,q+2 wj,q+k } min1≤j≤n {|xj,q+k |} max1≤j≤n {wj,q wj,q−1 wj,q−k+1 } min1≤j≤n {|xj,q |} ∞ min1≤j≤n {|xj,q |2 } k=0 ∞ δ min1≤j≤n {|xj,q |2 1≤j≤n max |xj,q+k | ≤ k=0 ωj,q+1 wj,q+2 wj,q+k wi,q wi,q−1 wi,q−k+1 1≤j≤n x · max |xj,q+k | 1≤j≤n δ min1≤j≤n {|xj,q |2 } < ∞ Vì tổng hội tụ nên theo tiêu chuẩn n-góc yếu (Định lý 2.1.7), véc tơ x véc tơ (2n)-supercyclic yếu T Tuy nhiên, điều mâu thuẫn với cách chọn x Do đó, T supercyclic 45 Kết luận Luận văn trình bày số kết toán tử n-hypercyclic yếu nsupercyclic yếu không gian véc tơ tôpô lồi địa phương Các kết luận văn gồm có: - Chương Tốn tử n-hypercyclic yếu khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương - Chương Tốn tử n-suppercyclic yếu không gian véc tơ tôpô lồi địa phương • Trong Chương 1, tơi trình bày số tính chất bản, đưa số ví dụ quan trọng toán tử n-hypercyclic yếu tiêu chuẩn xây dựng tốn tử n-hypercyclic yếu khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương • Chương 2, tơi trình bày số tính chất bản, đưa số ví dụ quan trọng tốn tử n-supercyclic yếu tiêu chuẩn xây dựng toán tử n-supercyclic yếu không gian véc tơ tôpô lồi địa phương Các kết chúng tơi trình bày từ báo [15] 46 Tài liệu tham khảo [1] Ansari S.I, Hypercyclic and cyclic vectors, J Funct Aal 128 (1995) 374-383 [2] Ball K.,The plank problem for stmmetric bodie, Invent Math 104 (3) (1991) 535-543 [3] Ball K., The complex plank problem, Bull Lond Math Soc 33 (4) (2001) 433-442 [4] Bayart F., Matheron É., Hypornormal operators, weighted shifts, and weak forms of supercyclicity, Proc Edinb Math Soc 49 (2006) 1-15 [5] Bayart F., Matheron É., Dynamics of Linear Operators, Cambridge University Press, 2009 [6] Bermúdez T., Bonila A., Peris A., On hypercyclicity and supercyclicity criteria, Bull Aust Math Soc 70 (2004) 45-54 [7] Bes J., Peris A., Hereddiarily hypercyclic operators, J Funct Anal 167 (1) (1999) 94-112 [8] Bourdon P.S., Invariant manifolds of hypercyclic vectors, Proc Amer Math Soc 118 (3) (1993) 845-847 [9] Bourdon P.S., FeldmanN.S., Somewhere danse orbits are everwhere dense, Indiana Univ Math J 52 (3) (2003) 811-819 [10] Bourdon P.S., Feldman N.S., Shapiro J.H., Some properties of nsupercyclic operators, Studia Math 165 (2) (2004) 135-157 [11] Conway J.B., The Theory of Subnormal Operators, Amer Math Soc., Providence, RI, 1991 47 [12] Costakis G., On a conjecture of D Herrero concerning hypercyclic operators, C R Acad Sci Paris 330 (2000) 179-182 [13] Feldman N.S., n-Weak supercyclic matrices, preprint [14] Feldman N.S., Miller T.L., Miller V.G., Hypercyclic and supercyclic cohyponormal operators, Acta Sci Math (Szeged) 68 (3-4) (2002) 965990 [15] Feldman N.S., n-Weakly hypercyclic and n-weakly supercyclic operators, Journal of Functional Analysis 263(2012), 2255-2299 [16] Grosse-Erdmann K.G., Peris Manguillot A., Linear Chos, Universitext, Springer-Verlag, 2011 [17] Montes-Rodriguze A., Shkarin S.A., Non-weakly supercyclic operators, J Operator Theory 58 (1) (2007) 39-62 [18] Peris A., Multihypercyclic operators are hypercyclic, Math Z 236 (2001) 779-786 [19] Rolewicz S., On orbits of elements, Studia Math 32 (1969) 17-22 [20] Salas H.N., Hypercyclic weighted shifts, Trans Amer Math Soc 347 (3) (1995) 993-1004 [21] Salas H.N., Supercyclicity and weighted shifts, Studia Math 135 (1) (1999) 55-74 [22] Shkarin S., Non-sequential weak supercyclicity and hypercyclicity, J Funct Anal 242 (2007) 37-77 48 ... chương: - Chương To? ?n tử n- hypercyclic yếu không gian véc tơ t? ?pô lồi địa phương - Chương T? ?n tử n- suppercyclic yếu khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương Chương T? ?n tử n- hypercyclic yếu không gian. .. hiểu nghi? ?n cứu v? ?n đề lu? ?n v? ?n Mục đích lu? ?n v? ?n Mục đích lu? ?n v? ?n nghi? ?n cứu số lớp to? ?n tử n- hypercyclic yếu n- supercyclic yếu không gian véc tơ t? ?pô lồi địa phương N? ??i dung lu? ?n v? ?n Lu? ?n v? ?n. .. khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương - Chương To? ?n tử n- suppercyclic yếu khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương • Trong Chương 1, tơi trình bày số tính chất b? ?n, đưa số ví dụ quan trọng to? ?n tử