Sự hội tụ yếu trong không gian lp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THÚY LAN SỰ HỘI TỤ YẾU TRONG KHƠNG GIAN Lp KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THÚY LAN SỰ HỘI TỤ YẾU TRONG KHÔNG GIAN Lp KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS Bùi Kiên Cường HÀ NỘI – 2018 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường - người thầy tận tình hướng dẫn, bảo tạo điều kiện tốt cho em suốt q trình hồn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy tổ giải tích trang bị cho em nhiều kiến thức quý báu suốt năm học mái trường này, em xin cảm ơn ý kiến thầy giúp cho khóa luận hoàn thành Qua em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè người thân bên cổ vũ, động viên tiếp cho sức mạnh để em học tập hồn thành khóa luận cách tốt Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thúy Lan Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài: "Sự hội tụ yếu không gian Lp " nghiên cứu em hướng dẫn tận tình TS Bùi Kiên Cường Trong nghiên cứu, em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những phần sử dụng tài liệu tham khảo khóa luận nêu rõ phần Tài liệu tham khảo Các kết trình bày khóa luận hồn tồn trung thực, sai em xin chịu kỷ luật khoa nhà trường đề Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thúy Lan i Mục lục Mở đầu 1 Không gian Lp 1.1 Không gian định chuẩn 1.2 Toán tử phiếm hàm tuyến tính 1.3 Không gian Lp 1.4 1.3.1 Không gian Lp 1.3.2 Trường hợp p = ∞ 1.3.3 Phiếm hàm đối ngẫu không gian Banach Không gian đối ngẫu Lp 10 1.4.1 Không gian đối ngẫu Lp ≤ p < ∞ 10 1.4.2 Định lí Hahn - Banach 14 1.4.3 Một vài hệ 14 Sự hội tụ yếu không gian Lp 2.1 2.2 17 Khái niệm hội tụ yếu không gian định chuẩn 17 2.1.1 Khái niệm 17 2.1.2 Tính chất 18 2.1.3 Ví dụ 19 Sự hội tụ yếu dãy không gian Lp 20 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan 2.2.1 Khái niệm 20 2.2.2 Các định lí 22 2.2.3 Một vài hành vi điển hình dãy hội tụ yếu 25 2.2.4 Tính compact yếu L1 30 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 41 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Trong tốn học, khơng gian Lp không gian hàm xác định cách sử dụng khái qt hóa tự nhiên chuẩn bình phương cho không gian véc tơ hữu hạn chiều Chúng gọi không gian Lebesgue Không gian Lp tạo thành lớp không gian Banach quan trọng giải tích hàm giải tích tốn học lý thuyết xác suất ngành khác Nói đến giải tích hàm khơng thể không nhắc tới hội tụ yếu dãy, giữ vị trí quan trọng khơng gian Lp Cho nên từ niềm say mê thân giúp đỡ tận tình thầy Bùi Kiên Cường, em thực luận văn với đề tài: “Sự hội tụ yếu không gian Lp ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lớp không gian Lp hội tụ yếu dãy lớp khơng gian Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp tổng kết tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Không gian Lp , hội tụ yếu không gian Lp Cấu trúc khóa luận Bài khóa luận gồm chương: Chương : Không gian Lp Chương : Sự hội tụ yếu dãy không gian Lp Do làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên vấn đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận nhiều ý kiến đóng góp thầy bạn đọc, để đề tài hồn thiện Chương Khơng gian Lp 1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi khơng gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P ( P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu · đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: (1) (∀x ∈ X) x ≥ , x = ⇔ x = θ; (2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ P ) αx = |α| x ; (3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y Số x gọi chuẩn véc tơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1) 2) 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Ví dụ 1.1.1 Cho Rk = {x = (ξ1 , ξ2 , , ξk ) | ξj ∈ R, j = 1, 2, , k} Do Rk khơng gian tuyến tính thực nên tồn k (ξ1 , ξ2 , , ξk ) ∈ R Ta kiểm tra tiên đề chuẩn x = max |ξj |, x = 1≤j≤k Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan + Tiên đề ∀x ∈ X, |ξJ | ≥ 0, ∀j = 1, k ⇒ x = max |ξj | ≥ 1≤j≤k x = ⇔ max |ξj | = ⇔ |ξj | = 0∀j = 1, k ⇒ x = θ 1≤j≤k + Tiên đề ∀x ∈ Rk , λ ∈ R, λx = max |λξj | = max(|λ||ξj |) = |λ| max |ξj | = 1≤j≤k 1≤j≤k |λ| x + Tiên đề ∀x, y ∈ Rk , y = (ηj ), j = 1, k ta có x + y = max |ξj + ηj | ≤ max (|ξj | + |ηj |) 1≤j≤k 1≤j≤k ≤ max |ξj | + max |ηj | = x + y 1≤j≤k 1≤j≤k ⇒ x+y ≤ x + y Do chuẩn Rk Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, limn→∞ xn −x = Ký hiệu limn→∞ xn = x hay xn → x (n → ∞) 1.2 Toán tử phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.2.1 Cho hai khơng gian tuyến tính X Y trường P (P trường số thực R trường số phức C) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính, ánh xạ A thỏa mãn điều kiện: (1) (∀x, x ∈ X) A(x + x ) = Ax + Ax ; Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan (2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) Aαx = αAx Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính Định nghĩa 1.2.2 Cho khơng gian định chuẩn X Y Tốn tử tuyến tính A từ khơng gian Xvào không gian Y gọi bị chặn, tồn số C > cho Ax ≤ C x , (∀x ∈ X) (1.1) Định lý 1.2.1 (Định lí ba mệnh đề tương đương tốn tử tuyến tính liên tục) Cho A : X → Y tốn tử tuyến tính khơng gian định chuẩn Khi ba mệnh đề sau tương đương: (1) A liên tục (2) A liên tục điểm x0 ∈ X (3) A bị chặn Định nghĩa 1.2.3 Cho A toán tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số C ≥ nhỏ thỏa mãn hệ thức (1.1) gọi chuẩn tốn tử A kí hiệu A 1.3 1.3.1 Không gian Lp Không gian Lp (X, F, µ) khơng gian độ đo σ-hữu hạn: X kí hiệu khơng gian bên dưới, F σ - đại số tập đo µ độ đo Nếu ≤ p < ∞, khơng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan gian Lp (X, F, X) gồm toàn giá trị hàm đo thỏa mãn |f (x)|p dµ(x) < ∞ (1.2) X Viết ngắn gọn Lp (X, µ) Lp (X), hay đơn giản Lp Khi đó, f ∈ Lp (X, F, µ), ta định nghĩa chuẩn Lp f (1/p) f Lp (X,F,µ) p = (|f (x)|) dµ(x) (1.3) X Ta viết ngắn gọn f 1.3.1.1 Lp (X) , f Lp f p Bt ng thc Hă olders v Minkowski Nu hai số mũ p q thỏa mãn ≤ p, q ≤ ∞ mối quan hệ 1 + = 1, p q nói p q cặp số mũ liên hợp đối ngẫu Quy ước = ∞ Đôi dùng p để số mũ liên hợp p p = tự đối ngẫu, p = q = 2; p = 1, ∞ tương ứng với q = ∞, Định lý 1.3.1 (Hăolder) Gi s < p < v < q < ∞ số mũ liên hợp Nếu f ∈ Lp g ∈ Lq f g ∈ L1 f g L1 ≤ f Lp g Lq Định lý 1.3.2 (Minkowski) Nếu ≤ p < ∞ f, g ∈ Lp , f +g ∈ Lp f + g 1.3.1.2 Lp ≤ f lp + g Lp Tính đầy đủ Lp Bất đẳng thức tam giác làm cho Lp trở thành không gian metric với khoảng cách d(f, g) = f − g Lp Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Định lý 1.3.3 (Riesz-Fisher) Khơng gian Lp (X, F, µ) đầy đủ p Chứng minh Cho {fn }∞ n=1 dãy Cauchy L , xét dãy {fnk }∞ k=1 {fn } với tính chất sau fnk+1 − fnk Lp ≤ 2−k , ∀k ≥ Xét chuỗi mà hội tụ kiểm tra sau ∞ fnk+1 (x) − fnk (x) f (x) = fn1 (x) + k=1 ∞ g(x) = |fn1 (x)| + |fnk+1 (x) − fnk (x)|, k=1 tổng riêng tương ứng K fnk+1 (x) − fnk (x) SK (f )(x) = fn1 (x) + k=1 K SK (g)(x) = |fn1 (x)| + |fnk+1 (x) (x) − fnk (x)| k=1 Bất đẳng thức tam giác Lp cho ta K SK (g) Lp ≤ fn1 Lp K fnk+1 − fnk + k=1 Lp ≤ fn1 Lp 2−k + k=1 Cho K tiến đến vô cùng, áp dụng định lí hội tụ đơn điệu, ta có g p < ∞, chuỗi xác định g, chuỗi xác định f hội tụ hầu khắp nơi, f ∈ Lp Bây ta f giới hạn dãy {fn } Vì tổng riêng thứ (K −1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan dãy fnk , ta có fnk (x) → f (x) hầu khắp nơi Để chứng minh fnk → f Lp , ta thấy |f (x) − SK (f )(x)|p ≤ [2 max(|f (x)|, SK (f )(x))]p ≤ 2p |f (x)|p + 2p |SK (f )(x)|p ≤ 2p+1 |g(x)|p , với K Khi áp dụng định lí hội tụ trội để fnk − f Lp k tiến đến vơ Cuối cùng, {fn } dãy nên với ε > 0, tồn N cho n, m > N ta có fn − fm nK > N , fnk − f fn − fLp ≤ fn − fnK Lp Lp Lp < ε/2 Nếu nk chọn cho < /2, bất đẳng thức tam giác bao gồm + fnk − f Lp < n > N Định lí chứng minh Mệnh đề 1.3.1 Nếu X có độ đo hữu hạn dương, p0 ≤ p1 , Lp1 (X) ⊂ Lp0 (X) f µ(X)1/p0 Lp0 ≤ f µ(X)1/p1 Lp1 Chúng ta cần xét với p1 > p0 Giả sử f ∈ Lp1 đặt F = |f |p0 , G = 1, p = p1 /p0 > 1/p + 1/q = 1, áp dụng bt ng thc Hăolders cho F v G T ú f p0 Lp0 ≤ (|f |p1 )p0 /p1 µ(X)1−p0 /p1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặc biệt ta nhận thấy f Nguyễn Thị Thúy Lan Lp0 < ∞ Ngoài lấy bậc p0 hai vế bất phương trình trên, ta có bất đẳng thức cần chứng minh Mệnh đề 1.3.2 Nếu X = Z trang bị độ đo đếm được, bao hàm ngược xảy ra, cụ thể Lp0 (Z) ⊂ Lp1 (Z) p0 ≤ p1 Hơn f Lp1 ≤ f Lp0 Thật vậy, f = {f (n)}n∈Z ,thì supn |f (n)| ≤ f |f (n)|p0 = f p0 Lp0 p0 L Tuy nhiên |f (n)|p1 = |f (n)|p0 |f (n)|p1 −p0 ≤ {n |f (n)|}p1 −p0 f Do f 1.3.2 Lp1 ≤ f p0 Lp0 ≤ f p1 Lp0 Lp0 Trường hợp p = ∞ Chúng ta ký hiệu không gian L∞ (X, F, µ) gồm tồn (lớp tương đương) hàm đo X, cho có số dương < M < ∞, với |f (x)| ≤ M hầu khắp nơi x Khi định nghĩa f L∞ (X,F,µ) cận tất giá trị M thỏa mãn bất đẳng thức Đại lượng f L∞ gọi cận cốt yếu f Trong định nghĩa này, có |f (x)| ≤ f L∞ hầu khắp nơi x Thật vậy, E = {x : |f (x) > f L∞ |} En = {x : |f (x)| > f L∞ + } n có µ(En ) = E = ∪En , µ(E) = Định lý 1.3.4 Không gian véc tơ L∞ trang bị L∞ khơng gian Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan đầy đủ Mệnh đề 1.3.3 Giả sử f ∈ L∞ có giá nằm tập hợp có độ đo hữu hạn Khi f ∈ Lp với p < ∞, f Lp → f L∞ p → ∞ Chứng minh Cho E tập đo X với µ(E) < ∞, cho f triệt tiêu phần bù E Nếu mu(E) = f L∞ = f = 0, Lp tức có điều phải chứng minh Bây giờ, giả sử ngược lại, lúc đó, theo bt ng thc Hăolder, ta cú 1/p f Lp p |f (x)| dµ = 1/p ≤ E f (x) E p L∞ dµ ≤ f Vì µ(E)1/p → p → ∞, thấy lim sup f p→∞ Mặt khác, với > 0, ta có µ ({x : |f (x)| ≤ f L∞ Lp 1/p L∞ µ(E) ≤ f L∞ − }) ≥ σ với σ > đó, |f |p dµ ≥ σ ( f L∞ − )p X Do lim inf f p→∞ f L∞ 1.3.3 Lp ≥ f L∞ − , tùy ý, lim inf f p→∞ Do giới hạn lim tồn f p→∞ Lp ≥ L∞ Phiếm hàm đối ngẫu không gian Banach Giả sử B không gian Banach R trang bị chuẩn Một phiếm hàm tuyến tính ánh xạ tuyến tính l từ B tới R,tức l : B → R mà thỏa mãn l (αf + βg) = αl(f ) + βl(g) với α, β ∈ R f, g ∈ B Phiếm hàm tuyến tính l liên tục với > 0, tồn δ > cho Khóa luận tốt nghiệp Đại học |l(f ) − l(g)| ≤ Nguyễn Thị Thúy Lan f − g ≤ δ Chúng ta nói phiếm hàm tuyến tính bị chặn có M > với |l(f )| ≤ M f với f ∈ B Tính chất tuyến tính l cho thấy hai khái niệm thực tế tương đương Mệnh đề 1.3.4 Phiếm hàm tuyến tính khơng gian Banach liên tục bị chặn Tập tất phiếm hàm tuyến tính liên tục B khơng gian véc tơ, từ cộng vào phiếm hàm tuyến tính nhân với tích vô hướng (l1 + l2 )(f ) = l1 (f ) + l2 (f ) (αl)(f ) = αl(f ) Khơng gian véc tơ trang bị chuẩn sau Chuẩn l phiếm hàm tuyến tính liên tục l cận tất giá trị M theo |l(f ) ≤ M f với f ∈ B Từ định nghĩa tính chất tuyến tính l rõ ràng f = sup |l(f )| = sup |l(f )| = sup f ≤1 f =1 f =0 |l(f )| f Không gian véc tơ tất phiếm hàm tuyến tính liên tục B trang bị gọi không gian đối ngẫu B kí hiệu B ∗ Định lý 1.3.5 Khơng gian véc tơ B ∗ không gian Banach Chứng minh Rõ ràng xác định chuẩn, ta cần chứng minh B ∗ đủ Giả sử {ln } dãy Cauchy B ∗ Thì với f ∈ B, dãy {ln (f )} Cauchy, từ hội tụ tới giới hạn, ta kí hiệu l(f ) Rõ ràng ánh xạ l : f → l(f ) tuyến tính Nếu có M cho ln ≤ M với n, ta thấy |l(f )| ≤ |(l − ln )(f )| + |ln (f )| ≤ |(l − ln )(f )| + M f , Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan giới hạn n → ∞ ta có |l(f )| ≤ M f với f ∈ B Do l bị chặn Cuối ta ln hội tụ đến l B ∗ Cho > 0, chọn N cho ln − lm ≤ /2 với n, m > N Khi n > N , ta thấy với m > M f |(l − ln )(f )| ≤ |(l − lm )(f )| + |(lm − ln )(f )| ≤ |(l − lm )(f )| + f Chúng ta chọn m lớn (và phụ thuộc vào f ) cho ta có |(l − lm )(f )| ≤ f /2 Cho n > N , ta thấy |(l − ln )(f )| ≤ f Khi chứng minh l − ln → 1.4 1.4.1 Không gian đối ngẫu Lp Không gian đối ngẫu Lp ≤ p < ∞ Giả sử ≤ p ≤ ∞ q số mũ liên hợp p, tức 1/p + 1/q = 1, Bt ng thc Hăolders cho thy mi hm g Lq tạo nên phiếm hàm tuyến tính bị chặn Lp l(f ) = f (x)g(x)dµ(x) (1.4) X f ≤ g Lq Do đó, liên kết g với l ta thấy Lq ⊂ (Lp )∗ ≤ p ≤ ∞ Kết phần để chứng minh ≤ p < ∞, phiếm hàm tuyến tính Lp dạng (1.4) với g ∈ Lq Điều nói (Lp )∗ = Lq ≤ p < ∞ 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Kết không trường hợp p = ∞; đối ngẫu L∞ chứa L1 Định lý 1.4.1 Giả sử ≤ p < ∞, 1/p + 1/q = Thì với B = Lp ta có B ∗ = Lq theo nghĩa với phiếm hàm tuyến tính bị chặn l Lp tồn g ∈ Lq cho l(f ) = f ∈ Lp Hơn nữa, l f (x)g(x)dµ(x), X B∗ = g Lq Để chứng minh Định lý này, ta cần Bổ đề sau: Bổ đề 1.4.1 Giả sử ≤ p, q ≤ ∞ số mũ liên hợp i) Nếu g ∈ Lq , g = sup | Lq f f g| Lp ≤1 ii) Giả sử g khả tích tập độ đo hữu hạn, sup | f Khi g ∈ Lq g Lq f g| = M < ∞ Lp ≤1 = M Để chứng minh Bổ đề, nhớ lại dấu số thực xác định    1, x >   sign(x) = −1, x <     0, x = Chứng minh i) Dễ thấy g = thỏa mãn Giả sử g = g Lq = Từ bất đẳng thc Hăolder ta cú g Lq sup | f Lp ≤1 11 f g| Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Để chứng minh bất đẳng thức ngược, xét vài trường hợp 1) Nếu q = p = ∞, ta lấy f (x) = signg(x) Thì ta có f L∞ = fg = g L1 2) Nếu < p, q < ∞ ta đặt f (x) = |g(x)|q−1 signg(x)/ g Chúng ta thấy f q fg = g p Lp |g(x)|p(q−1) dµ/ g = p(q−1) Lq q−1 Lq = p(q − 1) = Lq 3) Nếu q = ∞ p = 1, cho > E tập độ đo hữu hạn dương, |g(x)| ≥ g L∞ − Khi ta đặt f (x) = χE (x)signg(x)/µ(E), χE hàm đặc trưng tập E, ta thấy f L1 = fg = µ(E) E |g|∞ − ii) Ta tìm thấy dãy {gn } hàm số đơn giản cho |gn (x)| ≤ |g(x)| gn (x) → g(x) với x Khi p > 1(q < ∞), ta đặt fn (x) = |gn (x)|q−1 signg(x)/ gn q−1 Lq Khi fn Lp = Tuy nhiên |gn (x)|q fn g = gn q−1 Lq = gn Lq khơng vượt q M Từ bổ đề Fatou suy g ∈ Lq , với g Lq ≤ M Hướng g Lq |g|q ≤ M q , nên ≥ M tất nhiờn bi bt ng thc Hăolder Khi ú b chứng minh Chứng minh Sau chứng minh Bổ đề, quay chứng minh Địnhlý Xét trường hợp thứ đơn giản không gian 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan có độ đo hữu hạn Trong trường hợp này, với l phiếm hàm cho Lp , định nghĩa tập hợp hàm ν ν(E) = l( χE ), E tập độ đo Định nghĩa có nghĩa χE tự động thuộc Lp khơng gian có độ đo hữu hạn Ta quan sát thấy |ν(E)| ≤ c(µ(E))1/p , (1.5) c chuẩn phiếm hàm tuyến tính, phải ý đến việc χE Lp = (µ(E))1/p Bây tính chất tuyến tính l suy hàm ν hữu hạn cộng tính Ngồi {En } đếm tính tập đo rời nhau, ta đặt ∗ ∞ E = ∪∞ n=1 En , En = ∪n=N +1 En hiển nhiên N χE = χEN∗ + χEN n=1 N Do ν(E) = ν(EN∗ ) ν(En ) Tuy nhiên ν(En∗ ) → N → ∞, + n=1 (1.5) giả định p < ∞ Điều cho thấy ν cộng tính đếm được, ngồi (1.5) cho thấy ν liên tục tuyệt đối µ Định lí Lebesgue - Radon - Nykodim then chốt độ đo liên tục tuyệt đối, đảm bảo hữu hàm khả tích g cho ν(E) = 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan gdµ tập hợp E đo Do có l(χE ) = χE gdµ X Mở rộng phép biểu diễn l(f ) = f gdµ để hàm f đơn giản, đoạn đến giới hạn, với f ∈ Lp , từ hàm đơn giản trù mật Lp , ≤ p < ∞ Cũng từ Bổ đề ta suy g Lq = l Trường hợp độ đo tập vô hạn, không trình bày 1.4.2 Định lí Hahn - Banach Định lý 1.4.2 Giả sử p nửa chuẩn khơng gian tuyến tính V , V0 khơng gian tuyến tính V cho phiếm hàm tuyến tính l0 V0 thỏa mãn l0 (ν) ≤ p(ν), ν ∈ V0 Khi l0 mở rộng tới phiếm hàm tuyến tính l V thỏa mãn l(ν) ≤ p(ν), ν ∈ V 1.4.3 Một vài hệ Mệnh đề 1.4.1 Giả sử B không gian Banach f0 phần tử cho B với f0 | = M Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục l B cho l(f0 ) = M l B∗ = Chứng minh Định nghĩa l0 không gian chiều {αf0 }α∈R l0 (αf0 ) = αM , với α ∈ R Chú ý ta tập hợp p(f ) = f cho f ∈ B, hàm số p nửa chuẩn, tức   p(aν) = ap(ν) α ≥ 0, ν ∈ V p(ν + ν ) ≤ p(ν ) + p(ν ) ν , ν ∈ V 2 Ta thấy |l0 (αf0 )| = |α|M = |α| f0 = p(αf0 ), l0 (f ) ≤ p(f ) Bằng định lí mở rộng, l0 mở rộng đến l xác định B với l(f ) ≤ p(f ) = f , 14 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan f ∈ B Từ bất đẳng thức cố định f vị trí f ta |l(f )| ≤ f , l l B∗ B∗ ≤ ≥ định nghĩa l(f0 ) = f0 Khi mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.4.2 Cho B1 , B2 cặp không gian Banach S ⊂ B1 khơng gian tuyến tính trù mật B1 Giả sử T0 phép biến đổi tuyến tính từ S tới B2 thỏa mãn T0 (f ) B2 ≤M f B1 f ∈ S Thì T0 có mở rộng T tới tồn B1 cho T (f ) B2 ≤M f B1 f ∈ B1 Chứng minh Nếu f ∈ B1 , cho {fn } dãy S mà hội tụ đến f Thì từ T0 (fn ) − T0 (fm ) B2 ≤ M fn − fm B1 T0 (fn ) dãy Cauchy B2 , hội tụ tới giới hạn, định nghĩa T (f ) Định nghĩa T (f ) không phụ thuộc vào việc chọn dãy {fn } phép biến đổi T có tồn tính chất cần có Bây nói đến tính đối ngẫu phép biến đổi tuyến tính Ta có phép biến đổi tuyến tính T từ không gian Banach B1 tới không gian Banach B2 , cảm sinh phép biến đổi đối ngẫu T ∗ B2∗ tới B1∗ , định nghĩa sau: Định nghĩa 1.4.1 Giả sử l2 ∈ B2∗ (là phiếm hàm tuyến tính liên tục B2 ), l1 = T ∗ (l2 ) ∈ B1∗ , định nghĩa l1 (f1 ) = l2 (T (f1 )), f1 ∈ B1 Tức T ∗ (l2 )(f1 ) = l2 (T (f1 )) (1.6) Định lý 1.4.3 Toán tử T ∗ định nghĩa (1.6) phép biến đổi tuyến 15 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan tính bị chặn từ B2∗ tới B1∗ thỏa mãn T = T ∗ Chứng minh +) Nếu f1 B1 ≤ ta có |l1 (f1 )| = |l2 (T (f1 ))| ≤ l2 (T (f1 )) B2 ≤ l2 Do lấy cận tồn f1 ∈ B1 với f1 B1 T ≤ 1, ta thấy ánh xạ l2 → T ∗ (l2 ) = l1 có chuẩn ≤ T +) Để chứng minh bất đẳng thức ngược ta phải với > tồn f1 ∈ B với f1 B1 = T (f1 ) B2 ≥ T − Với f2 = T (f1 ) ∈ B2 Từ Mệnh đề 1.4.3 (với B = B2 ) có l2 B2∗ cho l2 b∗2 = l2 (f2 ) ≥ T − Do từ (1.6) có T ∗ (l2 )(f1 ) ≥ T − , f1 B1 = Chúng ta kết luận T ∗ (l2 ) T ∗ ≥ T − , > Khi định lí chứng minh 16 B1∗ ≥ T − Từ Chương Sự hội tụ yếu khơng gian Lp 2.1 Khái niệm hội tụ yếu không gian định chuẩn 2.1.1 Khái niệm Dãy {xn } không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới véc tơ x ∈ X x − xn → n → ∞ Trong trường hợp ta viết xn → x x gọi giới hạn dãy (xn ) Ta nói dãy {xn } khơng gian định chuẩn X hội tụ yếu tới véc w tơ x viết xn − → x f (xn ) → f (x) với phiếm hàm tuyến tính f ∈X Véc tơ x gọi giới hạn yếu dãy (xn ) Một dãy (fn ) đối ngẫu X ∗ không gian định chuẩn X hội tụ yếu tới phiếm hàm tuyến tính f ∈ X ∗ F (fn ) → F (f ) với F ∈ X ∗∗ Ta nói dãy (fn ) đối ngẫu X ∗ không gian định chuẩn X hội tụ yếu ∗ w∗ tới phiếm hàm tuyến tính f ∈ X ∗ viết fn −→ f fn (x) → 17 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan f (x), véc tơ x ∈ X Chú ý, hội tụ yếu ∗ trùng với hội tụ theo điểm w Nếu fn − → f , Jx(fn ) = fn (x) → f (x) = Jx(f ) với véc tơ x ∈ X, w∗ nên fn −→ f Nếu X phản xạ, chiều ngược lại 2.1.2 Tính chất Mệnh đề 2.1.1 Giả sử X không gian định chuẩn (xn ) dãy X w a Nếu xn → x, xn − → x w w w b Nếu xn − → x yn − → y αxn + βyn − → αx + βy với α, β ∈ K Chứng minh: a Nếu f ∈ X ∗ , |f (x) − f (xn )| ≤ f x − xn → b Nếu f ∈ X ∗ , f (αxn + βyn ) = αf (xn ) + βf (yn ) → αf (x) + βf (y) = f (αx + βy) Định lý 2.1.1 Giả sử X không gian Banach w w a Nếu xn − → x xn − → y, x = y w b Nếu xn − → x, (xn ) bị chặn x ≤ lim inf xn n→∞ Bổ đề 2.1.1 Giả sử X không gian định chuẩn Nếu x, y ∈ X f (x) = f (y) với phiếm hàm tuyến tính f ∈ X ∗ x = y Chứng minh Ta có f (x − y) = với phiếm hàm tuyến tính f ∈ X ∗ , x − y = sup f ≤1 |f (x − y)| = 18 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Bây ta chứng minh định lí Chứng minh a Giả thiết bao hàm f (x) = f (y) với phiếm hàm tuyến tính f ∈ X ∗ Khi theo bổ đề trên, x = y b • Cho J phép nhúng tắc X vào X ∗∗ • Thì Jxn (f ) → Jx(f ) với f ∈ X ∗ , Jxn (f ) = f (xn ) Jx(f ) = f (x) • Định lí Banach - Steinhaus cho thấy sup Jxn < ∞ Jx ≤ lim inf Jxn n→∞ n • J phép đẳng cự: Jxn = xn với n Jx = x Định lý 2.1.2 Giả sử X không gian Banach đặt (fn ), (gn ) hai dãy X ∗ w∗ a Nếu fn → f , fn −→ f w∗ w∗ w∗ w∗ w∗ b Nếu fn −→ f gn −→ g αfn + βgn −→ αf + βg với α, β ∈ K c Nếu fn −→ f fn −→ g f = g w∗ d Nếu fn −→ f (fn ) bị chặn f ≤ lim fn n→∞ 2.1.3 Ví dụ Ví dụ 2.1.1 Mỗi phiếm hàm tuyến tính f ∈ (K d ) có phép biểu diễn d f (x) = xj yj j=1 19 với x ∈ K d Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan y ∈ K d Do dãy (xn ) ⊂ K d hội tụ yếu tới x ∈ K d d d (n) xj y j → j=1 x j yj n → ∞ j=1 với y ∈ K d (n) Nếu ta đặt y = ek , xk → xk n → ∞ với k = 1, 2, , d 1/2 d Điều bao hàm x − xn (n) |xj − xj |2 = → n → ∞ j=1 d Do hội tụ yếu K bao hàm hội tụ K d w Chú ý: Nó cho thấy dimX < ∞, xn − → x xn → x 2.2 2.2.1 Sự hội tụ yếu dãy không gian Lp Khái niệm Cho U tập mở, bị chặn, tập trơn nhẵn RN với N ≥ Ta giả sử ≤ p < ∞ đặt p số mũ liên hợp, tức 1 + =1 p p (p := ∞ p = 1) Dãy {un }n≥1 ⊂ Lp (U ) hội tụ yếu tới u ∈ Lp (U ), trường hợp ta viết un u Lp (U ), 20 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan un vdx → U uvdx, ∀v ∈ Lp (U ) U Khi p = ∞, ta nói dãy {un }n≥1 ⊂ Lp (U ) hội tụ yếu ∗ tới u ∈ L∞ (U ), viết un ∗ u Lp (U ), un vdx → U uvdx, ∀v ∈ L1 (U ) U Ví dụ 2.2.1 Giả sử ≤ p < ∞ Mỗi phiếm hàm tuyến tính f ∈ (lp ) có phép biểu diễn ∞ f (x) = x j yj x ∈ lp , j=1 y ∈ lp Do dãy xn ⊂ lp hội tụ yếu tới x ∈ lp ∞ ∞ (n) x j yj j=1 → xj yj n → ∞ j=1 với y ∈ lp (n) Nếu ta đặt y = ek , xk → xk n → ∞ với k = 1, 2, Ví dụ 2.2.2 Giả sử ≤ p < ∞ Mỗi phiếm hàm tuyến tính f ∈ Lp (a, b) có phép biểu diễn b x(t)y(t)dt x ∈ Lp (a, b) f (x) = a Trong y ∈ Lp (a, b) 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Dãy (xn ) ⊂ Lp (a, b) hội tụ yếu để x ∈ Lp (a, b) b b xn (t)y(t)dt → x(t)y(t)dt n → ∞ a a hàm số y ∈ Lp (a, b) Ví dụ 2.2.3 Xét dãy (xn ) ⊂ L2 (0, 1) cho xn = √ nχ(0,1/n) , n = 1, 2, Nếu y ∈ L2 (0, 1) thỡ bt ng thc Hăolders v nh lớ tớnh hội tụ bị trội cho thấy √ xn (t)y(t)dt ≤ 1/n |y(t)|dt n 0 √ ≤ 1/2 1/n n |y(t)|2 dt 1dt 0 1/2 1/n |y(t)|2 dt = 1/2 1/n → n → ∞ w → L2 (0, 1) Do xn − Tuy nhiên xn không hội tụ đến L2 (0, 1), từ xn = n ≥ 2.2.2 Các định lí Định lý 2.2.1 (Tính bị chặn dãy hội tụ yếu) Giả sử < p < ∞ un u Lp (Ω) ( ∗ L∞ (Ω) p = ∞) Khi un bị chặn Lp (Ω) u Lp (Ω) ≤ lim inf un n↑∞ Lp (Ω) Định lý 2.2.2 (Hội tụ yếu Lp ) Giả sử < p < ∞ dãy {un }n≥1 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan bị chặn Lp (U ) Thì có dãy con, kí hiệu {un }n≥1 hàm số u ∈ Lp (U ) cho un u Lp (U ) Nếu p = ∞, kết không đổi với thay ∗ Định lí khơng trường hợp p = L1 (U ) khơng đối ngẫu L∞ (U ) Nhưng có thay tốt thay L∞ (U ) không gian độ đo có dấu Radon U với khối lượng hữu hạn, khơng gian kí hiệu M(U ) dùng tơ pơ yếu* M(U ) Kí hiệu Cc (U ) không gian hàm số liên tục U với giá compact Nếu µ ∈ M(U ) µ, v = vdµ, ∀v ∈ Cc (U ) U Nhớ lại µ ∈ M(U ) | µ, v | ≤ C v L∞ (U ) , ∀v ∈ C0 (U ) Chúng ta định nghĩa µ M(U ) = sup | µ, v | : v ∈ Cc (U ), v Không gian M(U ), L∞ (U ) ≤1 không gian Banach đẳng cấu M(U ) đẳng cự tới không gian đối ngẫu Cc (U ), L∞ (U ) Dãy {µn }n≥1 ⊂ M(U ) hội tụ yếu * tới µ ∈ M(U ), trường hợp ta viết µn ∗ µ M(U ), vdµn → U vdµ, U 23 ∀v ∈ Cc (U ) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Định lý 2.2.3 Giả sử µn ∗ µ M(Ω) Khi lim sup µn (K) ≤ µ(K), n↑∞ tập compact K ⊂ Ω, µ(O) ≤ lim inf µn (O), n↑∞ tập mở O ⊂ Ω Định lý 2.2.4 (Hội tụ yếu M(U )) Giả sử dãy {un }n≥1 bị chặn M(U ) Khi có dãy con, kí hiệu {un }n≥1 , độ đo µ ∈ M(U ) cho µn ∗ µ M(U ) Định lý 2.2.5 (Đặc trưng hội tụ yếu Lp ) Đặt un : Ω → R dãy Lp (Ω), u ∈ Lp (Ω), < p < ∞ Giả sử dãy un bị chặn Lp (Ω) Thì phát biểu sau tương đương: u Lp (Ω) un un un ∗ u M(Ω) u D (Ω) Cho tập Bore l E ⊂ Ω, |E| > 0, (un )E := |E| un dx → (u)E := E 24 |E| udx E Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Cho hình lập phương Q ⊂ Ω, |Q| > 0, (un )E := |E| un dx → (u)E := E |E| udx E Bổ đề 2.2.1 (Tích dãy hội tụ mạnh với dãy hội tụ yếu) Cho < p < ∞, un : Ω → R dãy Lp (Ω), u ∈ Lp (Ω) Cho : Ω → R p 1 ) Giả sử dãy Lp (Ω), + = (hoặc p = p p p−1 u Lp (Ω) un → v Lp (Ω) Khi uv L1 (Ω) un 2.2.3 Một vài hành vi điển hình dãy hội tụ yếu 2.2.3.1 Dao động x ∈ (0, 2π), Giả sử un (x) = sin(nx), n = 1, 2, Có thể dễ dàng kiểm tra un u := Lp (0, 2π)∀p ≥ 1( ∗ L∞ (0, 2π) p = ∞), un Lp (0,2π) = C(p) > Do un khơng hội tụ mạnh Lp (0, 2π) ≤ p ≤ ∞ Ngồi ra, ta có u Lp (0,2π) < lim inf un n↑∞ 25 Lp (0,2π) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan u Lp , tính nửa liên tục yếu Nhớ lại un chuẩn Lp ln có u ≤ lim inf un Lp (0,2π) n↑∞ (2.1) Lp (0,2π) Nếu un → u Lp , có đẳng thức (2.1), có đẳng thức hội tụ yếu đơn có ví dụ sau: Giả sử x ∈ (0, 2π), un (x) = + sin(nx), n = 1, 2, Có thể dễ dàng kiểm tra un u := Lp (0, 2π)∀p ≥ 1( 2π     L∞ (0, 2π) p = ∞), 2π |un |dx = 2π    ∗ |u|dx = 2π, ∀n, 2π |un − u|dx = |sin(nx)|dx = 4, ∀n, un hội tụ yếu - không hội tụ mạnh đến u L1 (0, 2π) Mặt khác có 2π |u|p dx < lim inf |un |p dx, n↑∞ ∀p > 1, từ cách khác, qua đến dãy cần, có p > un u Lp (0, 2π) un 26 Lp (0,2π) → u Lp (0,2π) , Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan mà bao hàm (nhờ làm mịn bổ đề Fatous Brezis-Lieb) un → u Lp (0, 2π) Định lý 2.2.6 Cho ≤ p ≤ ∞ u hàm Y tuần hoàn Lp (Y ) Với n = 1, 2, , đặt un (x) := u(nx) Khi đó, ≤ p < ∞, n ↑ ∞, un với tập mở bị chặn O ⊂ RN ∗ Nếu p = ∞, n ↑ ∞, un |Y | 2.2.3.2 |Y | u(y)dy Lp (O) Y u(y)dy L∞ (RN ) Y Sự tập trung Hàm Dirac δ nảy sinh khái niệm tập trung, tượng tập trung sinh ngữ cảnh hàm Ta xác định hàm un : (−1, 1) → R  n, un (x) =  0, x ∈ [0, 1/n] trái lại Có thể kiểm tra dễ dàng un ∗ δ0 M(−1, 1) Một ví dụ khác, dãy un : (−1, 1) → R    −n,   un (x) = n,     0, x ∈ (−1/n, 0), x ∈ (0, 1/n), trái lại 27 (2.2) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan thỏa mãn un ∗ u := M(−1, 1), un khơng có dãy hội tụ yếu L1 (−1, 1) Thực vậy, cho ϕ = χ(0,1) ∈ L∞ (−1, 1) ta có 1 un ϕdx = −1 un dx = 1, uϕdx = −1 Nói cách khác, dãy không tiền compact tô pô yếu L1 (−1, 1) , |un |dx = ∀n, −1 tức là, dãy un bị chặn L1 (−1, 1) Quan sát ý có tượng "mất lượng": 0= u L1 (−1,1) < lim inf un n↑∞ L1 (−1,1) = Ở lượng biến độ đo Cuối cùng, ý un Lp (−1,1) →∞ với p > Tất nhiên, tượng tập trung xuất không gian Lp với p > Cho p > 1, định nghĩa un : (−1, 1) → R  n p1 , un (x) =  0, x ∈ [0, 1/n] trái lại Thì ta có un Lp (−1,1) = 1, ∀n, un 28 Lp (−1, 1), Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan un không hội tụ mạnh Lp (−1, 1) vi dãy un Lp (−1,1) tập trung Nhưng ta có un Tức ta có Lq (−1, 1) ≤ q < p q −1 q q p |un | dx = n → < p −1 Do dãy un 2.2.3.3 Lp (−1,1) khơng tập trung Tính phi tuyến tính triệt tiêu hội tụ yếu Nếu un hội tụ yếu - không mạnh tới u, cho hàm phi tuyến tính nói chung f làm cho dãy f (un ) làm không hội tụ yếu tới f (u) Sau ví dụ Giả sử un (x) = sin(nx), x ∈ (0, 2π), f (ξ) = ξ , ξ ∈ R Thì un u := Lp (0, 2π)∀p ≥ 1( ∗ L∞ (0, 2π) p = ∞, f (un ) = sin2 (nx) = (1 − cos(2nx)) = f (u) = Quan sát thấy f (un ) bị chặn L∞ (0, 2π) 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.4 Nguyễn Thị Thúy Lan Tính compact yếu L1 Định nghĩa 2.2.1 (Khả tích đều) Cho Ω ⊂ RN U ⊂ L1 (Ω) họ hàm khả tích Ta nói U họ khả tích thỏa mãn hai điều kiện sau: Với ε > 0, tồn tập hợp đo A với |A| < ∞ cho |u| < ε, Ω\A với u ∈ U (Điều liện thỏa mãn |Ω| < ∞) ta lấy A = Ω.) Với > 0, tồn δ > cho tập hợp đo E với |E| < δ giữ |u| < ε E u ∈ U Bổ đề 2.2.2 Cho Ω ⊂ RN U ⊂ L1 (Ω) họ hàm khả tích Thì U khả tích với dãy tập hợp đo En với En ↓ ∅, xẩy |u|dx = lim sup n↑∞ u∈U En Nếu |Ω| < ∞ U bị chặn L1 (Ω), U khả tích U⊂ u ∈ L1 (Ω) : Ψ (|u|) dx ≤ , Ω 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan hàm tăng Ψ : [0, ∞] → [0, ∞] thỏa mãn Ψ(ξ) → ∞ ξ↑∞ ξ lim Nếu |Ω| < ∞ U bị chặn L1 (Ω), U khả tích |u|dx = lim sup ξ↑∞ u∈U {|u|>ξ} Định lý 2.2.7 (Dunford-Pettis) Cho un : Ω → R dãy L1 (Ω) Giả sử Dãy un bị chặn L1 (Ω), tức sup un L1 (Ω) < ∞, n Dãy un khả tích Thì tồn dãy un hội tụ yếu L1 (Ω) Ngược lại, un hội tụ yếu L1 (Ω), điều kiện xảy Định lý 2.2.8 (Đặc điểm hội tụ yếu L1 ) Cho un : Ω → R dãy L1 (Ω) u ∈ L1 (Ω) Giả sử dãy un bị chặn L1 (Ω) khả tích Thì mệnh đề sau tương đương: u L1 (Ω) un un un ∗ u M(Ω) u D (Ω) 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Cho tập Bore l E ⊂ Ω, |E| > 0, (un )E → (u)E Cho hình lập phương Q ⊂ Ω, |Q| > 0, (un )Q → (u)Q Bổ đề 2.2.3 (Tích dãy hội tụ mạnh hội tụ yếu) Cho un , u, , v : Ω → R hàm đo Nếu un → u hầu khắp nơi Ω, un L∞ (Ω) ≤ C n, v L1 (Ω) un Nếu un → u Ω, un uv L1 (Ω) L∞ (Ω) ≤ C n, v L1 (Ω) un uv L1 (Ω) Bổ đề 2.2.4 (Vitali) Cho Ω ⊂ RN bị chặn, un : Ω → R dãy L1 (Ω) Giả sử lim un (x) tồn hữu hạn với hầu khắp nơi x ∈ Ω, n↑∞ Dãy un khả tích Khi lim n↑∞ un (x)dx = Ω lim un (x)dx Ω n↑∞ Bổ đề 2.2.5 Cho Ω ⊂ RN bị chặn, un : Ω → R dãy L1 (Ω) Giả sử 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan un → u hầu khắp nơi Ω Dãy un bị chặn Lp (Ω) với vài p > Khi un → u Lr (Ω), ∀1 ≤ r < p Chứng minh Từ định lí trên, u ∈ Lp (Ω)( un u Lp (Ω)) Định nghĩa = |u − un |r , r < p Thì → hầu khắp nơi Ω p bị chặn L r (Ω) p/r > Do dãy khả tích đều, cho bổ đề Vitali lim n↑∞ dx = 0, un → u Lr (Ω) Bổ đề 2.2.6 (Tính nửa liên tục yếu hàm lồi) Nếu F : R → R lồi un u L1 , F (u)dx ≤ lim inf n↑∞ 33 F (un )dx Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Nếu F : R → R lõm u L1 , un F (u)dx ≥ lim sup F (un )dx n↑∞ Định nghĩa 2.2.2 (Hội tụ theo độ đo) Cho un , u : Ω → R hàm đo Ta nói un → u theo độ đo lim | {x ∈ Ω : |un (x) − u(x)| > } | = 0, n↑∞ ∀ > Sự hội tụ hầu khắp nơi hội tụ theo độ đo dễ dàng so sánh Thực ra, ta có phát biểu sau: Nếu |Ω| < ∞ un → u hầu khắp nơi un → u theo độ đo Nếu un → u theo độ đo, dãy un hội tụ hầu khắp nơi tới u Chú ý un → u Lp (Ω), có dãy un hội tụ hầu khắp nơi tới u Điều tầm thường p = ∞, sau cho ≤ p < ∞ cách sử dụng bất đẳng thức Chebyshev | {x ∈ Ω : g(x) > ε} | ≤ ε gdx, ∀ε > 0, ≤ g ∈ L1 (Ω), Ω từ un → u theo độ đo, (2.2) thỏa mãn 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Bổ đề 2.2.7 Cho un : Ω → R dãy Lp (Ω), ≤ p < ∞, giả sử un → u hầu khắp nơi Ω, un Lp (Ω) → un Lp (Ω) Khi un → u Lp (Ω) Bây làm mịn bổ đề Fatou Giả sử   un → u Lp (Ω) (2.3)  un → u hầu khắp nơi Ω Hiện tượng tập trung nảy sinh ta có hội tụ yếu (2.3) lúc với hội tụ hầu khắp nơi (2.3) Từ hội tụ hầu khắp nơi bổ đề Fatou u Lp (Ω) ≤ lim inf un n↑∞ Lp (Ω) Những điều ta biết từ hội tụ yếu Brezis Lieb phân tích tình hình cẩn thận chứng minh làm sắc bén khẳng định sau: Định lý 2.2.9 (Brezis - Lieb) Giả sử (2.3) không đổi với ≤ p < ∞ Thì lim n↑∞ un p Lp (Ω) − un − u p Lp (Ω) = u Lp (Ω) Thông tin un giới hạn (Khi đo tiêu chuẩn Lp ) tách rời vào un − u u Chú ý trường hợp p = tức thời cần hội 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan tụ hầu khắp nơi (2.3) Thật vậy, un u L2 (Ω), ta có |un |2 dx − lim n↑∞ Ω Ω |un |2 − |un |2 + 2un u − |u|2 dx = lim n↑∞ Ω 2un u − |u|2 dx = lim n↑∞ |un − u|2 dx |u|2 dx = Ω Ω Nếu |Ω| < ∞, hội tụ hầu khắp nơi tương đương với hội tụ đều, sai khác tập nhỏ tùy ý, nội dung định lí Egoroff Định lý 2.2.10 (Egoroff) Giả sử |Ω| < ∞ dãy hàm đo un : Ω → R hội tụ hầu khắp nơi tới u Ω Khi với ε > tồn tập hợp đo Ωε cho |Ω \ Ωε | < ε un → u Ωε Định lý 2.2.11 Cho un : Ω → R dãy Lp (Ω), < p < ∞, hội tụ hầu khắp nơi theo độ đo đến u với un Lp (Ω) ≤ C, ∀n Thì u ∈ Lp (Ω) un u Lp (Ω) Định lý 2.2.12 (Randon-Riesz) Với < p < ∞, cho un : Ω → R 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan dãy Lp (Ω) hội tụ yếu tới u ∈ Lp (Ω) un Lp (Ω) → u Lp (Ω) Khi un → u Lp (Ω) Định lý dãy hội tụ yếu Lp , < p < ∞ khơng hội tụ mạnh Lp , phải khơng bảo tồn lượng Lp Hệ 2.2.1 (Dạng yếu định lý Radon-Riesz) Cho un : Ω → R dãy Lp (Ω) u ∈ Lp (Ω), < p < ∞ Giả sử un → u hầu khắp nơi Ω, un Lp (Ω) → u Lp (Ω) Khi un → u Lp (Ω) Nhận xét 2.2.1 Định lí Randon-Riesz khơng với p=1 Thật vậy, Cho n ∈ N xác định un (x) = 1+sin(nx) x ∈ [−π, π], un u L1 [−π, π] u ≡ x lim n↑∞ x un dt −π = lim n↑∞ (1 + sin(nt))dt = lim n ∞ −π t − cos(nt) n 1 = lim (x − cos(nx)) − (π − cos(nπ)) n↑∞ n n π =x+π = −π 37 |π−π ... tượng phạm vi nghiên cứu Không gian Lp , hội tụ yếu không gian Lp Cấu trúc khóa luận Bài khóa luận gồm chương: Chương : Không gian Lp Chương : Sự hội tụ yếu dãy không gian Lp Do làm quen với việc... Từ Chương Sự hội tụ yếu không gian Lp 2.1 Khái niệm hội tụ yếu không gian định chuẩn 2.1.1 Khái niệm Dãy {xn } không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới véc tơ x ∈ X x − xn → n → ∞ Trong trường... hàm không nhắc tới hội tụ yếu dãy, giữ vị trí quan trọng không gian Lp Cho nên từ niềm say mê thân giúp đỡ tận tình thầy Bùi Kiên Cường, em thực luận văn với đề tài: Sự hội tụ yếu không gian Lp