Sự hội tụ yếu trong không gian lp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THÚY LAN SỰ HỘI TỤ YẾU TRONG KHƠNG GIAN Lp KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THÚY LAN SỰ HỘI TỤ YẾU TRONG KHÔNG GIAN Lp KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS Bùi Kiên Cường HÀ NỘI – 2018 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường - người thầy tận tình hướng dẫn, bảo tạo điều kiện tốt cho em suốt q trình hồn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy tổ giải tích trang bị cho em nhiều kiến thức quý báu suốt năm học mái trường này, em xin cảm ơn ý kiến thầy giúp cho khóa luận hoàn thành Qua em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè người thân bên cổ vũ, động viên tiếp cho sức mạnh để em học tập hồn thành khóa luận cách tốt Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thúy Lan Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài: "Sự hội tụ yếu không gian Lp " nghiên cứu em hướng dẫn tận tình TS Bùi Kiên Cường Trong nghiên cứu, em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những phần sử dụng tài liệu tham khảo khóa luận nêu rõ phần Tài liệu tham khảo Các kết trình bày khóa luận hồn tồn trung thực, sai em xin chịu kỷ luật khoa nhà trường đề Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thúy Lan i Mục lục Mở đầu 1 Không gian Lp 1.1 Không gian định chuẩn 1.2 Toán tử phiếm hàm tuyến tính 1.3 Không gian Lp 1.4 1.3.1 Không gian Lp 1.3.2 Trường hợp p = ∞ 1.3.3 Phiếm hàm đối ngẫu không gian Banach Không gian đối ngẫu Lp 10 1.4.1 Không gian đối ngẫu Lp ≤ p < ∞ 10 1.4.2 Định lí Hahn - Banach 14 1.4.3 Một vài hệ 14 Sự hội tụ yếu không gian Lp 2.1 2.2 17 Khái niệm hội tụ yếu không gian định chuẩn 17 2.1.1 Khái niệm 17 2.1.2 Tính chất 18 2.1.3 Ví dụ 19 Sự hội tụ yếu dãy không gian Lp 20 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan 2.2.1 Khái niệm 20 2.2.2 Các định lí 22 2.2.3 Một vài hành vi điển hình dãy hội tụ yếu 25 2.2.4 Tính compact yếu L1 30 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 41 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Trong tốn học, khơng gian Lp không gian hàm xác định cách sử dụng khái qt hóa tự nhiên chuẩn bình phương cho không gian véc tơ hữu hạn chiều Chúng gọi không gian Lebesgue Không gian Lp tạo thành lớp không gian Banach quan trọng giải tích hàm giải tích tốn học lý thuyết xác suất ngành khác Nói đến giải tích hàm khơng thể không nhắc tới hội tụ yếu dãy, giữ vị trí quan trọng khơng gian Lp Cho nên từ niềm say mê thân giúp đỡ tận tình thầy Bùi Kiên Cường, em thực luận văn với đề tài: “Sự hội tụ yếu không gian Lp ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lớp không gian Lp hội tụ yếu dãy lớp khơng gian Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp tổng kết tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Không gian Lp , hội tụ yếu không gian Lp Cấu trúc khóa luận Bài khóa luận gồm chương: Chương : Không gian Lp Chương : Sự hội tụ yếu dãy không gian Lp Do làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên vấn đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận nhiều ý kiến đóng góp thầy bạn đọc, để đề tài hồn thiện Chương Khơng gian Lp 1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi khơng gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P ( P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu · đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: (1) (∀x ∈ X) x ≥ , x = ⇔ x = θ; (2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ P ) αx = |α| x ; (3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y Số x gọi chuẩn véc tơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1) 2) 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Ví dụ 1.1.1 Cho Rk = {x = (ξ1 , ξ2 , , ξk ) | ξj ∈ R, j = 1, 2, , k} Do Rk khơng gian tuyến tính thực nên tồn k (ξ1 , ξ2 , , ξk ) ∈ R Ta kiểm tra tiên đề chuẩn x = max |ξj |, x = 1≤j≤k Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan + Tiên đề ∀x ∈ X, |ξJ | ≥ 0, ∀j = 1, k ⇒ x = max |ξj | ≥ 1≤j≤k x = ⇔ max |ξj | = ⇔ |ξj | = 0∀j = 1, k ⇒ x = θ 1≤j≤k + Tiên đề ∀x ∈ Rk , λ ∈ R, λx = max |λξj | = max(|λ||ξj |) = |λ| max |ξj | = 1≤j≤k 1≤j≤k |λ| x + Tiên đề ∀x, y ∈ Rk , y = (ηj ), j = 1, k ta có x + y = max |ξj + ηj | ≤ max (|ξj | + |ηj |) 1≤j≤k 1≤j≤k ≤ max |ξj | + max |ηj | = x + y 1≤j≤k 1≤j≤k ⇒ x+y ≤ x + y Do chuẩn Rk Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, limn→∞ xn −x = Ký hiệu limn→∞ xn = x hay xn → x (n → ∞) 1.2 Toán tử phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.2.1 Cho hai khơng gian tuyến tính X Y trường P (P trường số thực R trường số phức C) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính, ánh xạ A thỏa mãn điều kiện: (1) (∀x, x ∈ X) A(x + x ) = Ax + Ax ; Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan mà bao hàm (nhờ làm mịn bổ đề Fatous Brezis-Lieb) un → u Lp (0, 2π) Định lý 2.2.6 Cho ≤ p ≤ ∞ u hàm Y tuần hoàn Lp (Y ) Với n = 1, 2, , đặt un (x) := u(nx) Khi đó, ≤ p < ∞, n ↑ ∞, un với tập mở bị chặn O ⊂ RN ∗ Nếu p = ∞, n ↑ ∞, un |Y | 2.2.3.2 |Y | u(y)dy Lp (O) Y u(y)dy L∞ (RN ) Y Sự tập trung Hàm Dirac δ nảy sinh khái niệm tập trung, tượng tập trung sinh ngữ cảnh hàm Ta xác định hàm un : (−1, 1) → R  n, un (x) =  0, x ∈ [0, 1/n] trái lại Có thể kiểm tra dễ dàng un ∗ δ0 M(−1, 1) Một ví dụ khác, dãy un : (−1, 1) → R    −n,   un (x) = n,     0, x ∈ (−1/n, 0), x ∈ (0, 1/n), trái lại 27 (2.2) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan thỏa mãn un ∗ u := M(−1, 1), un khơng có dãy hội tụ yếu L1 (−1, 1) Thực vậy, cho ϕ = χ(0,1) ∈ L∞ (−1, 1) ta có 1 un ϕdx = −1 un dx = 1, uϕdx = −1 Nói cách khác, dãy khơng tiền compact tô pô yếu L1 (−1, 1) , |un |dx = ∀n, −1 tức là, dãy un bị chặn L1 (−1, 1) Quan sát ý có tượng "mất lượng": 0= u L1 (−1,1) < lim inf un n↑∞ L1 (−1,1) = Ở lượng biến độ đo Cuối cùng, ý un Lp (−1,1) →∞ với p > Tất nhiên, tượng tập trung xuất không gian Lp với p > Cho p > 1, định nghĩa un : (−1, 1) → R  n p1 , un (x) =  0, x ∈ [0, 1/n] trái lại Thì ta có un Lp (−1,1) = 1, ∀n, un 28 Lp (−1, 1), Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan un không hội tụ mạnh Lp (−1, 1) vi dãy un Lp (−1,1) tập trung Nhưng ta có un Tức ta có Lq (−1, 1) ≤ q < p q −1 q q p |un | dx = n → < p −1 Do dãy un 2.2.3.3 Lp (−1,1) khơng tập trung Tính phi tuyến tính triệt tiêu hội tụ yếu Nếu un hội tụ yếu - khơng mạnh tới u, cho hàm phi tuyến tính nói chung f làm cho dãy f (un ) làm không hội tụ yếu tới f (u) Sau ví dụ Giả sử un (x) = sin(nx), x ∈ (0, 2π), f (ξ) = ξ , ξ ∈ R Thì un u := Lp (0, 2π)∀p ≥ 1( ∗ L∞ (0, 2π) p = ∞, f (un ) = sin2 (nx) = (1 − cos(2nx)) = f (u) = Quan sát thấy f (un ) bị chặn L∞ (0, 2π) 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.4 Nguyễn Thị Thúy Lan Tính compact yếu L1 Định nghĩa 2.2.1 (Khả tích đều) Cho Ω ⊂ RN U ⊂ L1 (Ω) họ hàm khả tích Ta nói U họ khả tích thỏa mãn hai điều kiện sau: Với ε > 0, tồn tập hợp đo A với |A| < ∞ cho |u| < ε, Ω\A với u ∈ U (Điều liện thỏa mãn |Ω| < ∞) ta lấy A = Ω.) Với > 0, tồn δ > cho tập hợp đo E với |E| < δ giữ |u| < ε E u ∈ U Bổ đề 2.2.2 Cho Ω ⊂ RN U ⊂ L1 (Ω) họ hàm khả tích Thì U khả tích với dãy tập hợp đo En với En ↓ ∅, xẩy |u|dx = lim sup n↑∞ u∈U En Nếu |Ω| < ∞ U bị chặn L1 (Ω), U khả tích U⊂ u ∈ L1 (Ω) : Ψ (|u|) dx ≤ , Ω 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan hàm tăng Ψ : [0, ∞] → [0, ∞] thỏa mãn Ψ(ξ) → ∞ ξ↑∞ ξ lim Nếu |Ω| < ∞ U bị chặn L1 (Ω), U khả tích |u|dx = lim sup ξ↑∞ u∈U {|u|>ξ} Định lý 2.2.7 (Dunford-Pettis) Cho un : Ω → R dãy L1 (Ω) Giả sử Dãy un bị chặn L1 (Ω), tức sup un L1 (Ω) < ∞, n Dãy un khả tích Thì tồn dãy un hội tụ yếu L1 (Ω) Ngược lại, un hội tụ yếu L1 (Ω), điều kiện xảy Định lý 2.2.8 (Đặc điểm hội tụ yếu L1 ) Cho un : Ω → R dãy L1 (Ω) u ∈ L1 (Ω) Giả sử dãy un bị chặn L1 (Ω) khả tích Thì mệnh đề sau tương đương: u L1 (Ω) un un un ∗ u M(Ω) u D (Ω) 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Cho tập Bore l E ⊂ Ω, |E| > 0, (un )E → (u)E Cho hình lập phương Q ⊂ Ω, |Q| > 0, (un )Q → (u)Q Bổ đề 2.2.3 (Tích dãy hội tụ mạnh hội tụ yếu) Cho un , u, , v : Ω → R hàm đo Nếu un → u hầu khắp nơi Ω, un L∞ (Ω) ≤ C n, v L1 (Ω) un Nếu un → u Ω, un uv L1 (Ω) L∞ (Ω) ≤ C n, v L1 (Ω) un uv L1 (Ω) Bổ đề 2.2.4 (Vitali) Cho Ω ⊂ RN bị chặn, un : Ω → R dãy L1 (Ω) Giả sử lim un (x) tồn hữu hạn với hầu khắp nơi x ∈ Ω, n↑∞ Dãy un khả tích Khi lim n↑∞ un (x)dx = Ω lim un (x)dx Ω n↑∞ Bổ đề 2.2.5 Cho Ω ⊂ RN bị chặn, un : Ω → R dãy L1 (Ω) Giả sử 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan un → u hầu khắp nơi Ω Dãy un bị chặn Lp (Ω) với vài p > Khi un → u Lr (Ω), ∀1 ≤ r < p Chứng minh Từ định lí trên, u ∈ Lp (Ω)( un u Lp (Ω)) Định nghĩa = |u − un |r , r < p Thì → hầu khắp nơi Ω p bị chặn L r (Ω) p/r > Do dãy khả tích đều, cho bổ đề Vitali lim n↑∞ dx = 0, un → u Lr (Ω) Bổ đề 2.2.6 (Tính nửa liên tục yếu hàm lồi) Nếu F : R → R lồi un u L1 , F (u)dx ≤ lim inf n↑∞ 33 F (un )dx Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Nếu F : R → R lõm u L1 , un F (u)dx ≥ lim sup F (un )dx n↑∞ Định nghĩa 2.2.2 (Hội tụ theo độ đo) Cho un , u : Ω → R hàm đo Ta nói un → u theo độ đo lim | {x ∈ Ω : |un (x) − u(x)| > } | = 0, n↑∞ ∀ > Sự hội tụ hầu khắp nơi hội tụ theo độ đo dễ dàng so sánh Thực ra, ta có phát biểu sau: Nếu |Ω| < ∞ un → u hầu khắp nơi un → u theo độ đo Nếu un → u theo độ đo, dãy un hội tụ hầu khắp nơi tới u Chú ý un → u Lp (Ω), có dãy un hội tụ hầu khắp nơi tới u Điều tầm thường p = ∞, sau cho ≤ p < ∞ cách sử dụng bất đẳng thức Chebyshev | {x ∈ Ω : g(x) > ε} | ≤ ε gdx, ∀ε > 0, ≤ g ∈ L1 (Ω), Ω từ un → u theo độ đo, (2.2) thỏa mãn 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Bổ đề 2.2.7 Cho un : Ω → R dãy Lp (Ω), ≤ p < ∞, giả sử un → u hầu khắp nơi Ω, un Lp (Ω) → un Lp (Ω) Khi un → u Lp (Ω) Bây làm mịn bổ đề Fatou Giả sử   un → u Lp (Ω) (2.3)  un → u hầu khắp nơi Ω Hiện tượng tập trung nảy sinh ta có hội tụ yếu (2.3) lúc với hội tụ hầu khắp nơi (2.3) Từ hội tụ hầu khắp nơi bổ đề Fatou u Lp (Ω) ≤ lim inf un n↑∞ Lp (Ω) Những điều ta biết từ hội tụ yếu Brezis Lieb phân tích tình hình cẩn thận chứng minh làm sắc bén khẳng định sau: Định lý 2.2.9 (Brezis - Lieb) Giả sử (2.3) khơng đổi với ≤ p < ∞ Thì lim n↑∞ un p Lp (Ω) − un − u p Lp (Ω) = u Lp (Ω) Thông tin un giới hạn (Khi đo tiêu chuẩn Lp ) tách rời vào un − u u Chú ý trường hợp p = tức thời cần hội 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan tụ hầu khắp nơi (2.3) Thật vậy, un u L2 (Ω), ta có |un |2 dx − lim n↑∞ Ω Ω |un |2 − |un |2 + 2un u − |u|2 dx = lim n↑∞ Ω 2un u − |u|2 dx = lim n↑∞ |un − u|2 dx |u|2 dx = Ω Ω Nếu |Ω| < ∞, hội tụ hầu khắp nơi tương đương với hội tụ đều, sai khác tập nhỏ tùy ý, nội dung định lí Egoroff Định lý 2.2.10 (Egoroff) Giả sử |Ω| < ∞ dãy hàm đo un : Ω → R hội tụ hầu khắp nơi tới u Ω Khi với ε > tồn tập hợp đo Ωε cho |Ω \ Ωε | < ε un → u Ωε Định lý 2.2.11 Cho un : Ω → R dãy Lp (Ω), < p < ∞, hội tụ hầu khắp nơi theo độ đo đến u với un Lp (Ω) ≤ C, ∀n Thì u ∈ Lp (Ω) un u Lp (Ω) Định lý 2.2.12 (Randon-Riesz) Với < p < ∞, cho un : Ω → R 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan dãy Lp (Ω) hội tụ yếu tới u ∈ Lp (Ω) un Lp (Ω) → u Lp (Ω) Khi un → u Lp (Ω) Định lý dãy hội tụ yếu Lp , < p < ∞ không hội tụ mạnh Lp , phải khơng bảo tồn lượng Lp Hệ 2.2.1 (Dạng yếu định lý Radon-Riesz) Cho un : Ω → R dãy Lp (Ω) u ∈ Lp (Ω), < p < ∞ Giả sử un → u hầu khắp nơi Ω, un Lp (Ω) → u Lp (Ω) Khi un → u Lp (Ω) Nhận xét 2.2.1 Định lí Randon-Riesz khơng với p=1 Thật vậy, Cho n ∈ N xác định un (x) = 1+sin(nx) x ∈ [−π, π], un u L1 [−π, π] u ≡ x lim n↑∞ x un dt −π = lim n↑∞ (1 + sin(nt))dt = lim n ∞ −π t − cos(nt) n 1 = lim (x − cos(nx)) − (π − cos(nπ)) n↑∞ n n π =x+π = −π 37 |π−π Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Hơn nữa, x lim un n↑∞ |1 + sin(nt)|dt = 2π = f = lim n↑∞ −π Tuy nhiên, {un } = {1 + sin(nx)} không hội tụ tới u ≡ L1 [−π, π] Từ x lim un − u n↑∞ |sin(nx)dc = lim n↑∞ π/n −π = lim 2n − cos(nx) n↑∞ n Vậy un = lim n↑∞ 38 sin(nx)dx π/n |0 = lim (−2cosπ + 2cos0) = = u L1 [−π, π], limn↑∞ un hội tụ mạnh tới u L1 [−π, π] 2n n↑∞ = u , un không KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khố luận em Trong khố luận tốt nghiệp này, em trình bày hiểu biết khơng gian Banach, khơng gian Lp hội tụ yếu không gian Nghiên cứu đề tài giúp em hiểu sâu lớp kiến thức giải tích hàm, đặc biệt khơng gian Lp vai trò quan trọng hội tụ yếu đó, hội giúp em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Mặc dù cố gắng, thời gian có hạn, vấn đề thân em, nên trình viết trình in ấn, khố luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cơ, để khố luận em hoàn thiện tốt Một lần nữa, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo, Tiến sĩ Bùi Kiên Cường hướng dẫn tận tình nghiêm khắc, để em hồn thành khố luận này, thầy giáo tổ Giải tích, thầy Khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện giúp em hồn thành khố luận 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thúy Lan Em xin chân thành cảm ơn! 40 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật, Hà Nội [2] Walter Rudin (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 978-0-07-054236-5 [3] Kenneth H Karlsen (2006), Notes on weak convergence, www.uio.no/studier/emner/matnat/math/ /Weakconvergence.pdf [4] Elias M Stein, Rami Shakarchi (2011), Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis, Princeton Lectures in Analysis, Part IV 41 ... tượng phạm vi nghiên cứu Không gian Lp , hội tụ yếu không gian Lp Cấu trúc khóa luận Bài khóa luận gồm chương: Chương : Không gian Lp Chương : Sự hội tụ yếu dãy không gian Lp Do làm quen với việc... Từ Chương Sự hội tụ yếu không gian Lp 2.1 Khái niệm hội tụ yếu không gian định chuẩn 2.1.1 Khái niệm Dãy {xn } không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới véc tơ x ∈ X x − xn → n → ∞ Trong trường... hàm không nhắc tới hội tụ yếu dãy, giữ vị trí quan trọng không gian Lp Cho nên từ niềm say mê thân giúp đỡ tận tình thầy Bùi Kiên Cường, em thực luận văn với đề tài: Sự hội tụ yếu không gian Lp