Kết quả đúng, kể cả ở các bước chung gian. Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,... thoã mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bước chung gian cũng phải đúng. Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức,…
Yêu cầu này có ý nghĩa là lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả không có sai lầm về ngôn ngữ diễn đạt. Giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét kiểm tra lại kết quả giải bài toán và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán. Cần giúp học sinh biết kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề bài, xét tính hợp lí của đáp số với đầu bài hoặc bằng cách tìm một phương pháp giải khác nếu có thể, rồi so sách các kết quả giải được theo các phương pháp khác nhau. Cũng cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng hình thức vận dụng linh hoạt nhưng kiến thức đã học chứ không chỉ đơn thuần bằng cách so sánh với đáp số cho sẵn như nhiều học sinh vẫn làm.
Chẳng hạn khi giải phương trình x211x60m20 (m là tham số) nếu học sinh tìm được hai nghiệm là 4m và 15m thì bằng cách áp dụng định lí Vi-et, phải thấy ngay là sai, vì ở phương trình này các hệ số a = 1 và c = - 60m2 trái dấu nên hai
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 27 Lớp: SP Toán học K36
nghiệm phải trái dấu.
Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết , song điều quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó, bởi vì "con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình" (Pôlya 1975). Nguyên nhân chủ yếu về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là học sinh nắm không vững chắc các định nghĩa, định lí, quy tắc… Vận dụng chúng một cách máy móc, không chú ý đến điều kiện ấy hạn chế phạm vi tắc dụng của chúng.
Ví dụ, với bài toán "Giải phương trình tan 3 0 sin
x
x " thì lời giải sau đây của học sinh là có sai lầm: tan 3 0 tan 3 0
sin 3 x k x x x
Ở đây học sinh đã quên đặt điệu kiện sinx0 cho phương trình nên không loại được những giá trị không thích hợp khi k = 3.
Một ví dụ khác, khi giải bất phương trình 2
3
x thì ngay một số học sinh lớp 10 trung bình thường đi đến kết quả x 3 . Họ đã áp dụng "nguyên văn" cách giải phương trình bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai nên dẫn đến sai lầm.
Những sai lầm về mặt suy luận học sinh thường khó thấy hơn. Chẳng hạn trong Đại
số lớp 10 (Ngô Thúc Lanh…1990) có bài toán "Chứng minh rằng với mỗi số thực không âm bất kì a, b, c ta có bất dẳng thức a2 + b2 + c2 ab + bc + ca" mà có học
sinh đã giải như sau:
"Từ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + bc + ca) 0
Hay (a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 0
Bất đẳng thức sau cùng này đúng, do bất đẳng thức phải chứng minh cũng đúng". Lời giải này sai vì đã coi phép suy ngược tiến (phép phân tích đi xuống) là một phép chứng minh.
Trong giải toán, học sinh còn có thể mắc sai lầm do hấp tấp, cẩu thả, sơ suất trong tính toán, không ghi chép đúng và không xem xét kĩ đầu bài…